[Physique] [L1] Masse reliée à un cylindre vertical

[invite8241b23e]

Voici un exercice que m'a suggéré 09Jul85. Je vais maintenant, essayer de le résoudre, avec son aide. Libre à tout le monde d'y participer.

Une masse m est reliée par l'intermédiaire d'une corde sans masse de longueur à un cylindre vertical de rayon R fixe.

A t=0, on lance la masse avec une vitesse orthoradiale (ie comme pour un mouvement circulaire). On suppose que la corde et la masse restent dans un plan horizontal.

a) Décrire le mouvement.

b) Quelle est la longueur de corde enroulée à l'instant t ?
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[invite8241b23e]

a) Décrire le mouvement.

Alors là, ça commence bien ! Je pense qu'il faut se placer en coordonnées de Frénet.

Somme des forces = ma ==>je vois pas trop comment l'exploiter, tu dis qu'il tourne dans un plan horizontal, on considère que le poids n'influe pas ?

[invitea3eb043e]

Je suppose qu'on néglige la pesanteur, sinon c'est coton.
Si tel est le cas, la bonne question est le choix de la variable qui donne la position de la masse M. Je crois que le plus simple est de considérer le point I où la corde touche le cylindre et de prendre ses coordonnées R cos(@) et R sin(@). On peut facilement calculer les coordonnées du point M connaissant la longueur IM = (L - R@) et la tangente en I, de coordonnées ( - sin(@), cos(@ )
En dérivant 2 fois et en écrivant que l'accélération (la force sur M, quoi) est parallèle à la tangente en I, on trouve une équation différentielle en @ du genre (L - R@) @" = R @'².
Il est normal qu'il n'y ait pas de sin ni de cos car le point de départ des @ est arbitraire.
Maintenant, n'y a plus qu'à intégrer.

[invite8241b23e]

crois que le plus simple est de considérer le point I où la corde touche le cylindre et de prendre ses coordonnées R cos(@) et R sin(@)

Tu veux traiter ça en coordonnée paramétriques ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9c9b9968]

Salut à tous,

Je n'avais pas vu (oraux des mines obligent) que benjamin avait posté ce message.

Tout d'abord, je vous suggère d'analyser le problème tel qu'il est posé. Vous vous êtes spontanément lancé dans une étude dynamique à l'aide des forces et du principe fondamental de la dynamique. Mais est-ce vraiment la bonne chose à faire ? Notamment, combien y-a t'il de paramètres caractéristiques du système étudié, a-t'on dissipation d'énergie quelque part ?

L'idée de JeanPaul est bonne concernant l'introduction de I point de contact. La suite de son raisonnement est presque bonne, mais l'équation à la fin n'est pas géniale... A exploiter, en tenant compte de mes remarques ci-dessus

Si jamais ça coince vraiment, je vous donnerai le début.

[invite9c9b9968]

a) Décrire le mouvement.

Alors là, ça commence bien ! Je pense qu'il faut se placer en coordonnées de Frénet.

Somme des forces = ma ==>je vois pas trop comment l'exploiter, tu dis qu'il tourne dans un plan horizontal, on considère que le poids n'influe pas ?

La question suggère juste un petit raisonnement qualitatif. Un petit dessin par exemple pourra parfaitement convenir

[invite8241b23e]

Bon, ben je dois vraiment être une catastrophe.

On introduit le point I qui fait contact avec le cylindre de rayon R.

Les coordonnées du point I sont donc :




Les coordonnées du point M sont... compliquées ! IM est tangent au cylindre logiquement ! Donc déjà, la longueur IM est :



Si je ne m'abuse et si mon shéma est correct :



Mais bon, à part ça, ça m'aide pas tant que ça...

[invite9c9b9968]

Bon, ben je dois vraiment être une catastrophe.

Il ne faut pas dire ça, ce n'est pas vrai. L'exercice n'est pas super simple, il faut bien voir ce qui se passe.

On introduit le point I qui fait contact avec le cylindre de rayon R.

Ça c'est une bonne idée.

Les coordonnées du point I sont donc :

Mais ! Pourquoi donc vouloir à tout prix se placer en cartésien ?

Les coordonnées du point M sont... compliquées ! IM est tangent au cylindre logiquement ! Donc déjà, la longueur IM est :

Super, là c'est parfait. Maintenant il te reste à trouver une autre équation, où apparaît (par exemple) d@/dt.

Je te donne un indice : raisonne sur l'énergie de la masse m.

[invite8241b23e]

Ça c'est une bonne idée.

Elle est pas de moi !

Mais ! Pourquoi donc vouloir à tout prix se placer en cartésien ?

heu... Coordonnées cylindriques ?

Super, là c'est parfait. Maintenant il te reste à trouver une autre équation, où apparaît (par exemple) d@/dt.

Heu d'accord je vais cherchez des pistes.

Je te donne un indice : raisonne sur l'énergie de la masse m.

Aors avec tout ça : J'ai pensé au théorème de l'énergie cinétique, mais je pense qu'il tombe à l'eau. L'énergie de la masse m est constante, mais bon, ça m'avance peu.

Je vais raisonner sur les accélération :




Là, je rentre dans une impasse je crois.



Pas mieux...

[invite9c9b9968]

Et pourquoi le théorème de l'énergie cinétique tomberait-il à l'eau ?

C'est bien d'y avoir pensé, c'est LA bonne idée

Je te laisse creuser de ce côté-ci...

[invite8241b23e]

Je te laisse creuser de ce côté-ci...

Monstre de cruauté !

Alors le théorème de l'énergie cinétique nous dit que la variation d'énergie cinétique est égale à la somme de travaux de forces.

Partant de ça...

Travail des forces : on a la force centrifuge qui ne travaille pas.. Ah si ! Le mouvement du point M est une spirale, dont la force centrifuge n'est pas perpendiculaire au déplacement.

Mais je pense que le travail de la force centrifuge est l'opposé du travail de la force centripète (tension du fil), donc .

Ce qui voudrait dire que la vitesse est constante, mais ce n'est pas le cas. Grrrrr !! C'est un sacré exercice dis-moi !

[invite9c9b9968]

Et pourtant, et pourtant... La vitesse en module est bien constante, c'est la vitesse angulaire qui varie

Ton intuition ( contrairement aux équations que tu obtiens et qui sont bonnes) te fais penser que v varie, mais en fait ce n'est pas le cas. Mais comme on se rapproche du cylindre, c'est la vitesse angulaire qui va varier.

Maintenant, je te laisse finir, tu es presque arrivé (attention, à la fin il faut faire bien attention aux calculs, et notamment au sens à donner aux résultats)

Bonne soirée

[invitea3eb043e]

L'équation (L - R @) @" = @'² est absolument simple à intégrer. On peut déjà remarquer que ce n'est rien d'autre que l'accélération centripète.
On pose L - R @ = u et on trouve : u.u" = - u'² donc :
u"/u' = - u'/u soit Log(u') = - Log(u) +A donc u' = B/u
Pas trop dur, non ?

[invite9c9b9968]

Ok. Mais j'attend toujours le résultat final

[invite8241b23e]

L'équation (L - R @) @" = @'² est absolument simple à intégrer.

Comment tu arrives là ?

Bon, étant bien aidé, je lance une proposition pour retomber sur la réponse de Jeanpaul :



avec :



==> C'est peut être un peut facile comme proposition ?

D'où :

Et on retombe sur l'équation Jeanpaul. Mais suis-je bien rigoureux ?

[invite9c9b9968]

Salut benjy,

Euh... pas super homogène la ligne v= ...

J'aurais préféré voir, après ce que vers quoi je t'ai guidé, l'équation (l0 - R @ ) d@/dt = v0, qui, tu en conviendra, est nettement plus facile à intégrer.

Maintenant, dis-moi comment y arriver

[invite8241b23e]

Alors j'ai cherché les pistes suivantes :

- est constante, ça c'est sûr mais ça m'a pas aidé.

- Je me suis dit que le vitesse de M était celle de I + celle de M par rapport à I, mais je n'arrive pas bien à mettre en équation.

- Je ne peux pas utiliser le théorème de l'énergie cinétique, ne pouvant calculer le travail des forces.

- Ouvrir la fenêtre et crier à l'aide.

Tout ça pour rien !

[invite56acd1ad]

Je crois que ca a déjà été un peu dit, mais j'en rajoute un peu....

On introduit donc I le oint de la corde qui va venir en contact avec le cylindre à un instant t. Il vient alors que sa vitesse est nulle. Comme la corde reste tendue (sinon je vois pas trop...), I est le centre instantanné de rotation du système corde + masse. Par suite, . Donc T reste perpendiculaire au mouvement, et donc ne travaille pas... je pense que ca devrait t'aider ben...

[invite8241b23e]

Ah mais mince, j'avais pas compris que le point I était fixe. Je croyais qu'il tournait en même temps que le contact du "bout" de la corde avec le cylindre !

[invite8241b23e]

On introduit donc I le oint de la corde qui va venir en contact avec le cylindre à un instant t. Il vient alors que sa vitesse est nulle.

Ah ben non, je me suis trompé, I bouge. Remarque, c'était logique, comme IM = L0 - R.@. Mais alors comment se fait-il que sa vitesse est nulle ?

[zoup1]

Ah ben non, je me suis trompé, I bouge. Remarque, c'était logique, comme IM = L0 - R.@. Mais alors comment se fait-il que sa vitesse est nulle ?

Le point I est le point matériel de contact entre le fil et le cylindre. Il se déplace à la vitesse du cylindre qui va d'ailleurs être la même que la vitesse du fil en ce point là... donc il ne se déplace pas. Sa vitesse est nulle. C'est pour cela que les forces qui s'exercent en ce point ne travaillent pas.
Cependant ce point I n'est jamais le même... il change au fur et à mesure que le fil s'enroule autour du cylindre. Mias ce n'est pas le point matériel qui se déplace mais bien l'emplacement des points matériels.

C'est la même chose que lorsque tu fais rouler un cylindre sur un plan sans glissement. La vitesse au point de contact est celle du plan est nulle (pas de glissement) mais lieu du contact se déplace à la vitesse du cylindre.

[invite9c9b9968]

Zoup1 et Jackoo ont parfaitement décrit le phénomène. Le point de contact I s'appelle centre instantané de rotation. En effet, intuitivement, si je fais une photo à l'instant t, tout se passe comme si la corde était en rotation autour de ce point I.

Mais ce point, comme le fait remarquer Zoup1, change à chaque instant. Tout comme le point de contact d'une roue en roulement sans glissement avec le sol : à chaque instant, le point de contact sol-roue est immobile, mais ce point change puisque la roue tourne.

[invite8241b23e]

Au risque de passer pour le dernier des crétins, tout ça m'aide peu. Je n'arrive pas à retrouver l'équation différentielle du message #16...

Help help !

[invite56acd1ad]

Donc tu te souviens que reste perpendiculaire au mouvement, et que donc elle ne travaille pas.

Appliquons le théorème de l'énergie cinétique : est une constante du mouvement. Donc .

Cherche alors à exprimer v(M) en fonction de l'angle...
Puis traduit le fait que la longueur de la corde reste constante...

Bon courage !

[invite8241b23e]

Donc tu te souviens que reste perpendiculaire au mouvement, et que donc elle ne travaille pas.

Appliquons le théorème de l'énergie cinétique : est une constante du mouvement. Donc .

OK, là je comprends bien.

Cherche alors à exprimer v(M) en fonction de l'angle...

Alors là c'est une autre paire de manche. Je me suis fait un petit schéma.

Je vais exprimer le vecteur si O est au centre du cylindre, puis dériver pour avoir le vecteur vitesse.

Par contre je trouve un truc de folie :



En quoi je suis sur la mauvaise piste ?

[invite56acd1ad]

Ouh là ! Je vois pas trop d'où vient ta formule (un peu barbare avouons le...). Tu ne connais pas l'expression de la vitesse en coordonnées cylindriques ?

En coordonnées cylindriques, on a :


On a donc :

[invite8241b23e]

Ouh là ! Je vois pas trop d'où vient ta formule (un peu barbare avouons le...).

Ben j'ai fait un schéma, mais bon, je crois que je suis à côté de la plaque !

Tu ne connais pas l'expression de la vitesse en coordonnées cylindriques ?

En coordonnées cylindriques, on a :


On a donc :

Et ben non justement, je ne connais pas ! J'ai vraiment un niveau très faible en mécanique à ce que je vois. Ca t'embête de me donner la démonstration pour arriver là ? Par ce que je vois pas pourquoi il n'y a pas de terme avec le vecteur ...

[invite56acd1ad]

Ah ok, je savais pas, désolé...

Donc reprenons les différentes "formules" en cylindriques (je les donne d'abord puis j'expliquerai d'où elles viennent) :








cf la figure pour les notations ()...

enfin, tout ceci vient du fait que les vecteurs ne sont pas des constantes du mouvement et que l'on doit donc dériver aussi les vecteurs sachant que :

[invite8241b23e]

Où est passé alors le terme en ?

Puis que tu me dis que

[invite56acd1ad]

Cela vient de ce que j'ai dit plus haut : I étant le centre instantanné de rotation, reste perpendiculaire à , donc est porté par .
Il n'y a donc pas de terme selon u_r...