[Maths] [BacS] Comparaison asymptotique d'une suite avec n!

[invitec314d025]

Voici un exercice proposé par Romain ayant un lien direct avec la formule de Stirling, bien qu'il ne permette pas de la démontrer.

Soit la suite définie pour tout n strictement positif par:

1- Montrer que:

2- En déduire que pour tout n>0:

3- Démontrer alors pour tout n>0:

4- En déduire que pour tout n>1:

On rappelle que :

5- Démontrer que pour tout n>1:

6- En déduire que pour tout n>1:

7- Démontrer alors que:

On dit alors que la suite est négligeable par rapport à la suite .

8- Montrer que ce résultat est conforme à la formule de Stirling qui dit:

-----

[invitefffb8ef1]

pour le 1) je montre que la différence est négative.
soit donc qui est négatif sur [0,1] donc f est décroissante et f(0)=-1 donc f(t) est négatif d'où
dsl j'ai pas trouvé plus court. En plus je sais pas si c'est bien rigoureux.

[invitefffb8ef1]

pour la 2) on utilise la 1) et on pose:
t=1/n ce qui donne

en multipliant de chaque coté par n>0 on a

puis on prend l'exponentiel de chaque terme et on a:
}

[invitefffb8ef1]

Pardon mais j'ai du mal avec les inégalité large en laTEX . Toute les inégalité sont larges !

[A voir en vidéo sur Futura]

[doryphore]

[tex[ \geq [/tex] et [tex[ \leq [/tex]
pour les inégalité larges.

Sinon, n'oublie pas de préciser que les fonctions que tu dérives sont dérivables sur l'intervalle considéré.

Dans la 1), il ne devrait pas y avoir de "n" mais seulement des t.

Et n'oublie pas la puissance n sur ton

Et prends le temps de prévisualiser tes messages avant de les envoyer.

Sinon, pas d'erreur de calcul ni de raisonnement repérés.

[invitefffb8ef1]

oui pardon je commence tout juste avec le laTEX il me manque de l'entrainement. ça commence à se compliquer et je suis fatigué (il est déjà tard chez moi!) bon courage à ceux qui vont faire la suite.

[invitec314d025]

Il faut tout de même préciser que l'on peut prendre t=1/n car pour tout n>0, 1/n est dans l'intervalle [0;1]

[inviteaeeb6d8b]

J'ai répondu à la première question en dérivant la fonction différence et en étudiant ses variations et son signe.

[invite39dcaf7a]

Pour la troisième question, faut faire par récurrence ou c'est juste du calcul qu'il faut faire ?

[invitec314d025]

Pour la troisième question, faut faire par récurrence ou c'est juste du calcul qu'il faut faire ?

Juste un peu de calcul (rien de méchant) et utiliser les résultats démontrés avant.

[invite39dcaf7a]

Soit la suite définie pour tout n strictement positif par:

Juste une petite question : pourquoi ne pas commencer la suite à 0 ?
0!=1 donc existe... et vaut 1.

[invitec314d025]

Juste une petite question : pourquoi ne pas commencer la suite à 0 ?
0!=1 donc existe... et vaut 1.

J'ai hésité à le faire et j'ai finalement décidé de reprendre l'exercice que m'avait soumis Romain tel quel. En plus, on est obligé de supposer n non nul pour certaines questions.
Le but étant uniquement de trouver la limite de la suite, les premiers termes n'ont pas d'importance.

[invite2c6a0bae]

Pour la troisième question, faut faire par récurrence ou c'est juste du calcul qu'il faut faire ?

salut

non pas de reccurence

moi j'ai procedé comme suit

je en redige pas tout, mais je donne les grandes lignes

je developpe Un+1/Un
je en perd pas de vu que (n+1)!=n! (n+1)
pas mal de simplification s'opere pour obtenir


je reprend le resultat de 2/ en multipliant de part et d'autre par 1/e
(pour el membre de droite utilisez la proriété exp(a+b)=exp a . exp b)

on remarque que le membre de droite vaut Un+1/Un et voila ...

[invitec314d025]

Nickel.
Un volontaire pour la 4) ?

[inviteb9a01aa7]

4) l'inegalite voulut s'obtient tout simplement par iteration de l'inegalite obtenue a la question 3
5) par integration sur [k,k+1] on obtient aisement que
ln(k+1)-ln(k)<1/k
donc par sommation de 1 a n on obtient la majoration voulue car le membre de gauche est egal a ln(n)
6)trivial en combinant 4 et 5
7)Un est minoree par 0 d ou par encadrement on obtient lim Un=0
8) je saisis pas trop la question doit-on remarquer que la suite sqrt(2*Pi*n) tend vers +oo et donc qu'il est "pseudo-logique" que le produit tende vers 1

[invite2c6a0bae]

peut tu developpé ta reponse 4/ stp, je ne vois pas trop trop bien ....

merci

[invite56acd1ad]

Lephysicien, une autre facon de voir pour la question 4) est de faire le produit des différentes inégalités obtenues à la question 3) :
.

On en déduit alors le résultat...

[inviteb9a01aa7]

peut tu developpé ta reponse 4/ stp, je ne vois pas trop trop bien ....

merci

en fait tu as une inegalite portant sur et donc tu peux l'itere n-1 fois pour en obtenir une entre et

c'est juste une redaction plus rapide que celle qu'as explicitee jackoo, mais si tu veux vraiment etre rigoureix, une recurrence marche surement parfaitement

[invite2c6a0bae]

ah, ok, merci a vous deux, plus simple que je ne le pensais...

[inviteb9a01aa7]

les maths de term S c'est rarement complique

[invitec314d025]

en fait tu as une inegalite portant sur et donc tu peux l'itere n-1 fois pour en obtenir une entre et

c'est juste une redaction plus rapide que celle qu'as explicitee jackoo, mais si tu veux vraiment etre rigoureix, une recurrence marche surement parfaitement

Il vaut mieux s'habituer à utiliser les notations de sommes et produit. Cela permet de faire des démonstrations compactes claires et rigoureuses (voir message de Jackoo), sans mettre des "..." partout, et sans faire des récurrences à tout bout de champ.

[invitec314d025]

8) je saisis pas trop la question doit-on remarquer que la suite sqrt(2*Pi*n) tend vers +oo et donc qu'il est "pseudo-logique" que le produit tende vers 1

Non, on ne peut pas démontrer simplement la formule de Stirling à partir de cet exercice. J'avoue que la question est mal formulée. Il faut simplement montrer qu'on peut retrouver le résultat à partir de la formule de Stirling.

[inviteb9a01aa7]

ok alors de la formule de stirling on tire Un ~ 1/(2*Pi*n)^(1/2) d ou Un tend vers 0

[invitec314d025]

Oui tout simplement, encore que l'équivalence des suites ne doive pas être au programme de terminale

[invite2c6a0bae]

en effet Matthias, mais le raisonement est tout de meme facilement comprehensible...

[invite980a875f]

4) l'inegalite voulut s'obtient tout simplement par iteration de l'inegalite obtenue a la question 3
5) par integration sur [k,k+1] on obtient aisement que
ln(k+1)-ln(k)<1/k
donc par sommation de 1 a n on obtient la majoration voulue car le membre de gauche est egal a ln(n)

Salut,
tu peux en effet faire comme cela, mais e e pense pas que c'est ce qui était attendu vu que tu utilises le fait que le membre de gauche est ln(n) alors qu'il fallait apparemment utiliser ce résultat dans la question suivante (6).
On peut aussi faire comme ça:


Cette relation se voit très bien graphiquement Le terme de gauche est l'aire du rectangle de longueur 1, de hauteur 1/k+1, le terme de droite est l'aire du rectangle de longueur 1 de hauteur 1/k. Ces deux rectangles encadrent l'intégrale de 1/t sur [k;k+1]. Seule l'inégalité de droite nous intéresse ici, et en faisant la somme pour k allant de 1 à (n-1), on a:

Ce qui donne evidemment:

[inviteb9a01aa7]

ce qui est exactement ce que j'ai fait...(l integrale que tu encadres est exactement egale a ln(k+1)-ln(k)) sauf que moi je l'ai prouve(enfin jai dit comment faire-par integration) au lieu de dire que ca se "voyait bien graphiquement"

cordialement

[invite7ca77ae5]

bobbyfisher : Surtout pas !!!

Ce n'est pas parce qu'une suite u tend vers 0 et une suite v vers l'infini que le produit cartésien va tendre vers 1.

Exemple :
u_n = 1/n
v_n = n

Le produit tend vers 1 car w = u.v est constant (produit cartésient)

Si tu prends v_n = 2n, le produit cartésien va tendre vers 2.

[invite7ca77ae5]

Matthias : non, mais on peut s'en sortir autrement, en revenant à la définition de la limite que l'on connait en teminale.

Si on note w_n la suite indiquée dans la question 8, on peut écrire que pour tout epsilon supérieur à 0, il existe un N à partir duquel, pour tout n > N, 1 - epsilon < w_n < 1 + epsilon, c'est à dire [1 - espilon] / sqrt(2*pi*n) < u_n < [1 + epsilon] / sqrt(2*pi*n). Par conséquent u_n tend vers 0 à l'infini.

Promis je vais voir comment on rédige ca sous latex

[invitec314d025]

ce qui est exactement ce que j'ai fait...(l integrale que tu encadres est exactement egale a ln(k+1)-ln(k)) sauf que moi je l'ai prouve(enfin jai dit comment faire-par integration) au lieu de dire que ca se "voyait bien graphiquement"

Ce n'est pas très important, mais Sharp a raison, tu n'as pas besoin de calcul.

sur [k; k+1] implique directement: