Suite/Série, Développement Asymptotique

[invitea87a1dd7]

Bonjour tout le monde,

Voilà, je n'arrive pas à faire cet exo :
Soit une suite définie par :
et

Bon, il est facile de montrer que la suite est décroissante, minorée par 2, donc convergente. Elle converge vers 2.

Ensuite, on demande de donner la nature de la série
Bon, je pense qu'elle converge. Il s'agit d'étudier la vitesse de convergence vers 2 de la suite

Voici ce que j'ai tenté : soit il faut faire un développement asymptotique de l'expression avec plein de racines emboîtées, soit utiliser la transfo suite série.
Avec cette dernière méthode, j'ai :


D'où :


Donc :


Or cette série converge (transfo suite/série), Donc :
Mais après, je ne sais pas comment faire... pour aboutir à la série demandée.

Est-ce la bonne méthode ?

Merci à vous !
-----

[invite4ef352d8]

Salut !

ouai, le principe dans 99% des cas dans ce genre de question c'est d'obtenir un dévelopement assymptotique de Un suffisent precis pour conclure.

ici on a un vrai point attracteur (la dérivé est strictement inférieur a 1...), on est donc pas du tous dans un cas litigeux, ca ne va posser aucun probleme (si la suite converge, alors la convergence est géométrique donc la serie converge...)


bon reste a prouver tous sa.

tu as déja prouvé que Un->2 ?

si oui alors on pose Un=Vn+2, et on a en faisantun dévelopement assymptotique de la relation de récurence :

V(n+1)=sqrt(Vn+4)-2=Vn/4+o(Vn)

donc (Vn+1)/Vn tend vers 1/4


ln(Vn+1)-ln(Vn) tend vers -ln(4), donc (césaro) Ln(Vn) ~ -nln(4)

bon on a pas droit de passer a l'exponentielle tous de suite bien sur, mais ici on a meme pas bessoin de ca puisqu'on veut juste montrer que la serie des Vn converge, donc par exemple que n²*Vn tend vers 0.

et pour ca on prend le log, on a ln(n²*Vn)=2*ln(n)-nln(4)+o(n)=-n*ln(4)+o(n) et ca tend biens vers -inf.

donc n²Vn-> 0 d'ou le résultat.

[inviteaf1870ed]

Tu pourrais utiliser le critère de D'alembert : la suite v_n=u_n-2 est à terme positif et v_n+1/v_n est de l'ordre de 1/4

[invite3478a1d3]

J'ai la solution suivante. Il y a probablement mieux/plus rapide, mais en 3 minutes c'est tout ce que j'ai trouvé...
On a donc , et on cherche la nature de .
On pose , et on définit dans le disque ou la somme converge. "Moralement", on cherche f(1). Pour ça, on va calculer le rayon de convergence de cette série.
Pour cela, on applique la règle de d'Alembert :
quand .
Donc, la série des a un rayon de convergence de 4. En particulier, f(1) existe dans : ta série converge.

[edit]Grillé [/edit]

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

oups ! je vien de redémontrer d'alembert moi :S



... j'en connait un qui ferai mieux de réviser un peu son cours avant ses oraux

[invitea87a1dd7]

Merci à tous ! C'est vrai, j'avais pas pensé à D'Alembert ! C'est quand même plus simple !

@++

[erff]

Bonjour,
Pose Vn=Un - 2 (Vn tend donc vers 0 et est positive)

Caclule V(n+1) en fonction de Vn et remarque que V(n+1)/Vn tend vers 1/4 lorsque n tend vers +oo (en utilisant des développements limités)...Après ca devrait aller

EDIT : grillé