Développement asymptotique de cotan

[invite8b04eba7]

Bonsoir à tous,

Y'a-t'il un moyen de prouver la formule donnant le développement asymptotique de cotan :

sans utiliser de développement en série de Fourier ou d'équations différentielles ? Je voudrais pouvoir utiliser un argument du style : "la différence des deux fonction méromorphes est sans pôles, donc holomorphe sur C, et elle est bornée (?) donc constante, donc nulle" mais je ne vois pas très bien comment montrer le caractère borné...

Toutes les suggestions sont les bienvenues ! Merci !
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[invite6b1e2c2e]

Salut,

Peut être aue je dis des betises, mais il me semble que ta fonction nést bornée que sur une bande du plan complexe, non ?

Ca me rappelle certains résultats du Stein qui doit s´appeler Analyse harmonique et série de Fourier tordues (je te rassure, ce n´est pas vraiment le titre ...)
En gros, Ça parle de zéros de fonctions holomorphes, et de comment les compter. Et je suis sûr que tu dois pouvoir te servir dún théorème dont j´ai oublié la nom (je me sens très vague aujourd´hui, désolé...) et qui compte le noñbre de zéro de certaines fonctions.
Ah oui, juste une remarque, dont tu es certainement conscient, mais on ne sait jamais, cotan est la dérivée d´un logarithme de sinus, et est donc de la forme f´/f...

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rvz, toujours en week end

[invite8b04eba7]

Peut être que je dis des betises, mais il me semble que ta fonction n'est bornée que sur une bande du plan complexe, non ?

Salut !

En fait la fonction que je cherche à borner, elle est sensée être nulle, c'est la différence des deux membres de mon égalité.

Je vais regarder dans le bouquin que tu me conseilles, merci pour la référence !

noñbre

C'est joli comme écriture vive les claviers espagnols !

[invite6b1e2c2e]

Re bonjour,


Je disais qu'elle n'était bornée que sur une bande à prioiri.

Bon, sinon, j'ai retrouvé ledit bouquin (faut dire qu'il est sur mon bureau en permanence, donc ça aide ! ): Ca s'appelle An introduction to nonharmonic fourier series, de Robert M. Young, et la formule à laquelle je fais allusion s'appelle la formule de Carleman (chap2, part2, Sec2). En la revoyant ceci dit, je ne suis plus sûr que ce soit exactement ce que tu cherches, mais bon, c'est le matin, je suis peut-être pas encore bien réveillé

Et puis, de toute façon, ça sent le développement d'agreg à plein nez, alors c'est une bonne référence. Tu y trouveras notamment des trucs originaux sur la transformée de Fourier et sur l'analyse complexe. Notamment l'inégalité d'Ingham est une jolie application qui permet de te démontrer en 2 lignes que l'équation des ondes 1D est controlable au bord sur tout segment borné. Si tu veux, je chercherai une référence convenable, sinon, je te l'écrirai moi-même (C'est vraiment facile, mais il faut savoir ce qu'est la controlabilité, c'est sûr ! )

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rvz, qui préfére écrire sur son clavier

PS : Félicitations pour l'admissibilité

[A voir en vidéo sur Futura]