[Physique du Solide] Masse effective

[Gwyddon]

Salut à tous

Je suis en train de faire un DM de physique du solide, et il y a un de mes résultats qui me chagrine.

Je replace le contexte : chaîne linéaire de N atomes équidistants (paramètre de chaîne = a). On prend le modèle des liaisons fortes, où chaque atome fournit un électron à la bande étudiée.

Hypothèses de travail : on fait une LCAO, avec orbitale atomique localisée au site l. Il n'y a pas de recouvrement (les sont orthogonaux), et si on note H le hamiltonien du problème, ssi m et l sont voisins immédiats, et .

On prend a= 3 angström, .

Si j'étudie la relation de dispersion, j'obtiens . Je fais un DL autour de 0, et j'obtiens donc .

J'en déduis que la masse effective est

Et c'est là que j'ai un problème, car si je fais l'application numérique, j'obtiens m^*=0.85 m où m est la masse de l'électron libre

Ça me chiffonne, parce que j'ai l'impression que la masse effective doit être au minimum égale à m, et dans mon modèle elle devrait être élevée car les électrons interagissent fortement avec le cristal....

Où est l'erreur ?

Merci d'avance
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[mariposa]

Salut à tous

Je suis en train de faire un DM de physique du solide, et il y a un de mes résultats qui me chagrine.

Je replace le contexte : chaîne linéaire de N atomes équidistants (paramètre de chaîne = a). On prend le modèle des liaisons fortes, où chaque atome fournit un électron à la bande étudiée.

Hypothèses de travail : on fait une LCAO, avec orbitale atomique localisée au site l. Il n'y a pas de recouvrement (les sont orthogonaux), et si on note H le hamiltonien du problème, ssi m et l sont voisins immédiats, et .

On prend a= 3 angström, .

Si j'étudie la relation de dispersion, j'obtiens . Je fais un DL autour de 0, et j'obtiens donc .

J'en déduis que la masse effective est

Et c'est là que j'ai un problème, car si je fais l'application numérique, j'obtiens m^*=0.85 m où m est la masse de l'électron libre

Ça me chiffonne, parce que j'ai l'impression que la masse effective doit être au minimum égale à m, et dans mon modèle elle devrait être élevée car les électrons interagissent fortement avec le cristal....

Où est l'erreur ?

Merci d'avance

.
Après une lecture rapide je ne vois pas d'erreur.
Par contre ton interpretation est erronée. En effet quand le couplage est faible (la largeur de bande est nulle) et à la limite nul, tu ne pourras pas déplacer les électrons (coincés sur leur site), cad la masse effective est inifini (il s'agit de la masse d'inertie). A contrario si les atomes sont fortement couplés tes électrons seront fortement allégéss et peuvent avoir une masse nulle (la bande est très large).
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Ca c'est la vision scolaire. En pratique elle marche grossièrement pour les bandes de valence des semiconducteurs, mais pas mal du tout pour les bandes "d" des métaux et oxides de métaux de transition. en général les masses sont lourdes, voire tres lourdes. Tout cela est vrai si l'ypothèse du champ moyen est valable. Malheureusement quand les masses sont lourdes, cad les électrons localisés sur leur site les corrélatons électroniques entre en jeu et il faut faire appel a des modèles style Hubbard.

[Gwyddon]

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Après une lecture rapide je ne vois pas d'erreur.
Par contre ton interpretation est erronée. En effet quand le couplage est faible (la largeur de bande est nulle) et à la limite nul, tu ne pourras pas déplacer les électrons (coincés sur leur site), cad la masse effective est inifini (il s'agit de la masse d'inertie). A contrario si les atomes sont fortement couplés tes électrons seront fortement allégéss et peuvent avoir une masse nulle (la bande est très large).

Ok merci pour ta réponse, effectivement dans le cadre d'un modèle liaison forte, plus les atomes sont proches plus l'électron peut se déplacer, d'où masse plus petite que si les atomes sont loin...

En fait je raisonnais avec en tête une histoire de collision sur les atomes du cristal, mais ce n'est pas le bon cadre du modèle, c'est ça ? Mais alors si par exemple on prend un modèle presque libre, et que l'on rapproche les atomes, la masse effective varie comment ?

[Gwyddon]

Bonjour à tous,

J'ai un autre souci maintenant qui suit.

On me demande de calculer la densité d'états en fonction de k, ce qui me donne une densité d'états constante. Avec tout ça, je calcule le moment de Fermi puis l'énergie de Fermi et la vitesse de Fermi en utilisant la relation de dispersion au voisinage de k=0 et faisant apparaître la masse effective.

Mais j'ai l'impression que je n'ai pas le droit de faire ça, donc pour le calcul de la densité d'état il faut que j'utilise la relation de dispersion que j'ai au début ? Ça me trouble profondément...

[A voir en vidéo sur Futura]

[mariposa]

Ok merci pour ta réponse, effectivement dans le cadre d'un modèle liaison forte, plus les atomes sont proches plus l'électron peut se déplacer, d'où masse plus petite que si les atomes sont loin...

En fait je raisonnais avec en tête une histoire de collision sur les atomes du cristal, mais ce n'est pas le bon cadre du modèle, c'est ça ? Mais alors si par exemple on prend un modèle presque libre, et que l'on rapproche les atomes, la masse effective varie comment ?

En fait c'est pas comme ça qu'il faut raisonner.

Idéalement il faudrait d'abord pouvoir écrire l'hamiltonien a 1 électron puis le résoudre, comme tu l'as fait pour un électron dans un puit de potentiel.
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S'agissant des solides on va chercher a exploiter la symétrie de translation et de là on peut avoir 2 hypothèses extrèmes.
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1- le potentiel vu par 1 électron au voisinage d'un atome est celui de l'atome libre (prenons l'exemple d'un cristal linéaire de sodium).

Donc aura une base naturelle pour écrire les éléments de matrice de l' hamiltonien seront l'ensemble des orbitales 's" des atomes de sodium. Les éléments diagonaux seront donc l'énergie des orbitales "s". Après on fera l'hypothèse que les éléments non diagonaux ne sont pas négligeable entre état "s" premiers voisins. La résolution de l'hamiltonien est immédiate en appliquant la relation de commutation [H,T]=0 T opérateur de translation discrète.
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2- L'hypothèse opposée consiste à dire que les potentiels atomiques sont tellement lissés qu' a l'ordre zéro le potentiel est constant.

les solutions sont donc des ondes planes (avec conditions aux limites) qui vont constituées une base naturelle pour améliorer la description. En effet on peut considérer que le lissage est imparfait et qu'il reste un résidu de potentiel périodique que l'on va traiter en perturbation dans la base naturelle ci-dessus

[Gwyddon]

Je sais bien tout ce que tu racontes (d'un côté le modèle liaison forte, adapté tout particulièrement aux isolants et aux semi-conducteurs, de l'autre le modèle électrons presques libres adapté tout particulièrement aux métaux), en fait j'oublie ma vision des collisions et basta.

Par contre je suis troublé pour la suite, comme je l'ai dit. Soit je calcule tout avec la relation au voisinage de k=0, mais ça me paraît abusif... Soit j'utilise la formule générale de la densité d'état , mais cette dernière donne des calculs plus ou moins compliqués

[mariposa]

Je sais bien tout ce que tu racontes (d'un côté le modèle liaison forte, adapté tout particulièrement aux isolants et aux semi-conducteurs, de l'autre le modèle électrons presques libres adapté tout particulièrement aux métaux), en fait j'oublie ma vision des collisions et basta.

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Ca ce sont les poncifs que l'on retrouve toujours dans les livres. Les livres sont écrits par des personnages qui n'ont jamais traités un problème de bandes,et qui répètent ce qu'ils peuvent comprendre à partir d'autres cours et/ou bouquins..
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1- Pour les semiconducteurs classiques (Si, III-V) je t'ai fait remarquer que à la limite le modèle liaison forte convient pour la bande de valence, mais en aucun cas pour la bande de conduction.

2- Pour beaucoup de métaux, notamment ceux qui contiennent des atomes de transition c'est la méthode des liaisons fortes qui convient et non celle des ondes planes.
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En matière de bandes j'ai fait un effort d'expliquer la "philosophie" profonde de celle-ci dans mon post précédent et j'aimerais(je rève) que tous les enseignants de physique de solide aient compris cela!!!

[Gwyddon]

Mon prof de physique du solide ne m'a pas l'air complètement idiot sur le sujet, et m'a dit que le modèle des liaisons fortes pour la plupart des métaux était bien entendu applicable mais que les calculs étaient plus complexes car il faut prendre en compte plus de voisins par exemple..

Je ne nie pas que pour certains métaux elle soit bien, mais bon je ne crois pas que ce soit le cadre de mon énoncé

[Gwyddon]

Bonjour à tous,

Je remonte ce sujet parce que je suis vraiment à l'ouest sur le DM, je crois que je me pose trop de questions métaphysiques

Bon j'ai la densité d'états en terme de vecteur d'onde, qui elle a l'avantage d'être très simple puisque elle ne dépend pas du matériau (enfin d'après ce que j'ai compris), c'est en terme d'énergie que la dépendance apparaît ; j'ai donc .

Je dois trouver ensuite le vecteur d'onde de Fermi, donc je suis bête et consciencieux, je dis donc que si N est le nombre d'électrons, j'ai d'où j'en déduis que .

On me demande après l'énergie de Fermi, et la vitesse de Fermi. C'est là que ça me gêne pas mal... En effet, je dis que l'énergie de Fermi est l'énergie qui est associée au vecteur d'onde de Fermi, donc logiquement .

Or je réfléchis trente secondes, et je me rappelle que l'autre définition possible de l'énergie de Fermi est "énergie maximale atteignable par un électron dans l'état fondamental du système à N électrons", or la relation de dispersion me donne comme énergie maximale possible l'énergie eV... Donc je me dis que c'est parce que dans le remplissage du système avec les N électrons, cette énergie n'apparaît pas quand on veut respecter le principe de Pauli, mais ça me semble.. douteux

Ensuite, pour la vitesse de Fermi je fais comment ? Parce que si je veux créer une vitesse là-dedans, je pensais utiliser la formule classique de l'énergie cinétique, mais ça ne colle pas, puisque l'énergie de Fermi est négative.. Puis-je quand même, en prenant la valeur absolue ?


Enfin, et après je ne vous embête plus (enfin dans ce message ) dans la deuxième partie on fait de la dimérisation, ie on décale de dx les atomes de rang impair. On voit apparaître alors un motif à deux atomes, dans un réseau toujours carré, de paramètre de maille a'=2a.

Il y a donc deux relations de dispersion qui apparaissent, avec une bande interdite au milieu (logique et cohérent tout ça). On me redemande la densité de vecteur d'onde, et j'obtiens la même (confirmation ?), puis on me demande de calculer l'énergie totale du système de N électrons dans son état fondamental, donc a priori je prend bien la relation de dispersion "la plus basse" en énergie (ie celle de la bande la plus basse), qu'en pensez-vous ?

Merci d'avance

Julien

[mariposa]

Bonjour à tous,

Je remonte ce sujet parce que je suis vraiment à l'ouest sur le DM, je crois que je me pose trop de questions métaphysiques

Bon j'ai la densité d'états en terme de vecteur d'onde, qui elle a l'avantage d'être très simple puisque elle ne dépend pas du matériau (enfin d'après ce que j'ai compris), c'est en terme d'énergie que la dépendance apparaît ; j'ai donc .

Dans ton énoncé initial chaque atome fournit 1 électron (comme le sodium). Apres formation de la bande tu mets 2 électrons par niveau (1 de chaque spin) donc ta bande sera a moitié remplie. Ce sera donc 1 métal et le niveau de Fermi (qui sépare les niveaux vides des niveaux pleins) sera à moitié de la bande. Voilà c'est tout simple!!!
.
Plus formellement tu écris que le nombre d'électrons N est égal à l'intégrale de la densité d'état dans l'espace des k entre la borne k=0 qui est le bas de bande et le vecteur d'onde de Fermi que tu recherches.
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De manière équivalente tu écris que le nombre d'électrons N est égal à l'intégrale de la densité d'état en énergie entre la borne E=0 qui est l'énergie en bas de bande (pris comme référence) et et l'énergie de Fermi que tu recherches.

[Gwyddon]

Dans ton énoncé initial chaque atome fournit 1 électron (comme le sodium). Apres formation de la bande tu mets 2 électrons par niveau (1 de chaque spin) donc ta bande sera a moitié remplie. Ce sera donc 1 métal et le niveau de Fermi (qui sépare les niveaux vides des niveaux pleins) sera à moitié de la bande. Voilà c'est tout simple!!!
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Plus formellement tu écris que le nombre d'électrons N est égal à l'intégrale de la densité d'état dans l'espace des k entre la borne k=0 qui est le bas de bande et le vecteur d'onde de Fermi que tu recherches.
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De manière équivalente tu écris que le nombre d'électrons N est égal à l'intégrale de la densité d'état en énergie entre la borne E=0 qui est l'énergie en bas de bande (pris comme référence) et et l'énergie de Fermi que tu recherches.

Merci pour la réponse, mais ça ne répond pas à mes questions....

D'abord ma densité d'état dans l'espace des k est-elle juste ? Ensuite, pourquoi intégrer entre k=0 et kF ?? Les k négatifs sont contributeurs aussi non (k est vectoriel ?) ?

Ensuite pour le reste de mes questions, j'attend toujours une réponse

EDIT : je suis médisant là... En effet ça répond quand même à ma question sur l'énergie de Fermi qui est donc juste puisque au milieu de la bande. Mais zalors, je fais comment pour calculer la vitesse de Fermi ?

Et lorsque l'on me demande l'énergie de cohésion, définie comme la différence entre l'énergie d'un électron dans l'atome isolé (égale à ) et l'énergie moyenne d'un électron dans le cristal, j'obtiens une énergie positive, est-ce juste ?

Parce que dans la deuxième partie, en dimérisation l'énoncé donne une énergie de cohésion positive, est-ce cohérent avec le fait que la dimérisation transforme la chaîne en isolant (enfin c'est ce que j'intuite, peut-être que je me plante) ?

[mariposa]

[QUOTE=Gwyddon;843780]....

D'abord ma densité d'état dans l'espace des k est-elle juste ?

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Non je ne l'ai pas lu. Normalement à 1 dimension c'est L/2.pi

Ensuite, pourquoi intégrer entre k=0 et kF ?? Les k négatifs sont contributeurs aussi non (k est vectoriel ?) ?

Parceque k= 0 est la valeur de k qui correspond au bas de bande en énergie.
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oui les k varie de -pi/a à pi/a. Comme ta courbe de dispersion E(k) est symétrique il faut multiplier par 2 l'intégrale (une faute de ma part) 'il y a pour une même énergie un électron qui se propage a gauche en même temps qu'un autre se propage à droite)
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k est un scalaire parceque tu as un problème à 1 dimension. Ce serait 1 vecteur à 2 composantes pour un problème à 2 dimensions.

Ensuite pour le reste de mes questions, j'attend toujours une réponse

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Ouis mais il faut partir sur une bonne base. poco à poco!

[Gwyddon]

Ok donc les bases étaient correctes, tu m'as confirmé mes résultats merci

Sinon bien entendu j'avais compris que k est un vecteur en toute généralité

Donc en gros je résume mes problèmes :

_ La vitesse de Fermi, quid ? L'énergie de fermi étant négative, j'ai une vague envie de la prendre en valeur absolue pour calculer la vitesse de Fermi comme étant où m est la masse de l'électron (la masse libre).

_ L'énergie de cohésion que j'obtiens est positive, good pour un métal ? Mon sens physique me fait dire que oui, mais peut-être est-il rouillé

_ Pour la dimérisation, une analyse physique me fait dire que l'on transforme le métal en isolant. On me redemande des calculs de densité d'état et d'énergie de cohésion

Pour la densité d'état pas de souci, c'est la même (car a'=2a mais dans le même temps il n'y a plus que N/2 atomes principaux sur le réseau).

Quelle relation de dispersion choisir pour calculer l'énergie totale ? En effet, on trouve (logique, motif à 2 atomes) ce qui a notamment comme conséquence l'ouverture d'un gap. Je prend +E2 ou - E2(k) pour calculer l'énergie totale dans le fondamental ? Je dirais -E2(k), mais... qui sait, je suis peut-être dans le faux ..


En tout cas merci pour ta patience, ça me fait chaud au coeur

[mariposa]

:

_ La vitesse de Fermi, quid ? L'énergie de fermi étant négative, j'ai une vague envie de la prendre en valeur absolue pour calculer la vitesse de Fermi comme étant où m est la masse de l'électron (la masse libre).

Une énergie est définie à une constante près, donc pour définir une énergie de Fermi il vaut donner du sens à celle-ci. Si tu prends comme origine des énergies le bas de bande (parceque k=0 implique une vitesse nulle) tu auras des électrons de plus en plus rapides jusqu'au niveau de Fermi kF.

_ L'énergie de cohésion que j'obtiens est positive, good pour un métal ? Mon sens physique me fait dire que oui, mais peut-être est-il rouillé

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Comment calcul-tu l'énergie de cohésion?

_ Pour la dimérisation, une analyse physique me fait dire que l'on transforme le métal en isolant. On me redemande des calculs de densité d'état et d'énergie de cohésion

Pour la densité d'état pas de souci, c'est la même (car a'=2a mais dans le même temps il n'y a plus que N/2 atomes principaux sur le réseau).

oui

Quelle relation de dispersion choisir pour calculer l'énergie totale ? En effet, on trouve (logique, motif à 2 atomes) ce qui a notamment comme conséquence l'ouverture d'un gap. Je prend +E2 ou - E2(k) pour calculer l'énergie totale dans le fondamental ? Je dirais -E2(k), mais... qui sait, je suis peut-être dans le faux ..

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Il y a des idées, mais en fait il faut d'abord calculer une nouvelle structure de bandes, ce qui veut dire:

1-Soit définir des nouveaux éléments de matrice entre atomes premiers voisins et refaire le type de calcul initial de structure de bandes
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2- Soit considerer qu'il y une perturbation périodique de période double. dans ce cas il suffit que calculer les effets de la perturbation en bord de bande de la nouvelle zone de Brillouin

On voit immédiatement qualitativement que l'on ouvre un gap (transition métal-isolant) et la contribution des électrons à l'énergie de cohésion a diminuée.
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[Gwyddon]

L'énergie de cohésion est définie ainsi dans l'énoncé (et ça paraît fort logique) : la différence entre l'énergie d'un électron dans l'atome isolé (égale à -alpha ici) et l'énergie moyenne d'un électron dans le cristal.


Sinon pour ce qui est de la dimérisation, j'ai déjà calculé E1 et E2(k).

J'ai , où caractérise le couplage entre atomes du motif. Cette formule est juste, là il n'y a pas de souci.

[mariposa]

L'énergie de cohésion est définie ainsi dans l'énoncé (et ça paraît fort logique) : la différence entre l'énergie d'un électron dans l'atome isolé (égale à -alpha ici) et l'énergie moyenne d'un électron dans le cristal.

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En fait c'est quelquechose de tres intuitif qui permet de faire des calculs simples "scolaires". Pour se convaincre que c'est loin de la réalité il suffit d'appliquer ce raisonnement à la molécule d'hydrogéne pour comprendre ce qui ne va pas..

Sinon pour ce qui est de la dimérisation, j'ai déjà calculé E1 et E2(k).

J'ai , où caractérise le couplage entre atomes du motif. Cette formule est juste, là il n'y a pas de souci.

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Là j'ai la flemme de calculer. Puisque tu as l'air d'être convaincu!

[Gwyddon]

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Là j'ai la flemme de calculer. Puisque tu as l'air d'être convaincu!

Disons que j'obtiens ça, et l'énoncé me dit "montrer que..." donc je n'ai pas de raisons de mettre en doute mon résultat


Mais donc pour ma question sur l'énergie de cohésion ? Beh que quoi dire ? Je vois bien que dans la molécule de dihydrogène ça donne pile poil 0, mais bon il faut bien que je me contente de cette formule malheureusement...

[mariposa]

Mais donc pour ma question sur l'énergie de cohésion ? Beh que quoi dire ? Je vois bien que dans la molécule de dihydrogène ça donne pile poil 0, mais bon il faut bien que je me contente de cette formule malheureusement...

En fait c'est un problème très difficile techniquement parce que l'énergie de cohésion c'est excatement la différence de l'énergie totale des atomes séparès moins l'énergie totale du cristal. C'est donc une petite différence (10 eV par exemple) entre des nombres tres élevés.
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Ce que l'on fait en chimie est de considerer la cohesion comme un effet de liaison (calqué sur la modèle de la molécule d'hydrogène).

[Gwyddon]

Ok merci pour l'info, mais je vais peut-être me contenter pour ce DM de la formule donnée

Dans ce contexte, qu'elle soit positive pour le métal ça semble logique, ou pas ?

[mariposa]

Ok merci pour l'info, mais je vais peut-être me contenter pour ce DM de la formule donnée

; Tu as d'autant raison qu'il n'y a rien d'autre de simple!

Dans ce contexte, qu'elle soit positive pour le métal ça semble logique, ou pas ?

Non c'est pas logique puisque la bande est à moitié occupée et donc que la moyenne des énergies occupées est inférieure à zéro. zéro étant l'énergie de référence pris au centre de la bande.

[Gwyddon]

Bon je relance la machine parce que je ne comprend pas où est ma faute.

Je récapitule :

_ mon vecteur d'onde (j'intègre de -kF à + kF dans la suite, car incident gauche et incident droit)

_ ma relation de dispersion

J'ai donc à T= 0 K , jusque là c'est bon ?

Si je calcule jusqu'au bout, j'obtiens donc

Alors si j'applique la définition de l'énergie de cohésion comme étant "la différence entre l'énergie d'un électron dans l'atome isolé (ici pris égale à ) et l'énergie moyenne d'un électron dans un état stationnaire du solide", j'obtiens

Où est l'erreur ?

Merci d'avance

[Gwyddon]

Un petit up

[Gwyddon]

Un deuxième up, si quelqu'un veut bien confirmer/infirmer ce que je raconte