[Maths] [L1] Invitation à la théorie des groupes I (Similitudes du plan) [R]

[martini_bird]

Pour la 11), je dirais en cherchant très tordu, que l'ensemble des isomorphismes de G dans H, muni de la loi de composition interne de H, est un groupe

C'est ce que j'attendais.

isomorphe à l'ensemble des isomorphismes de H dans G, muni de la loi de composition interne de G

C'est juste et, avec des notations évidentes, l'isomorphisme entre Iso(G, H) et Iso(H, G) est simplement .

Bien sûr, il faudrait délayer un peu toutes ces démonstrations (i.e. écrire!).

En particulier, je n'ai pas vu grand chose au sujet des questions 7 et 8...

Cordialement.
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[g_h]

Hop, c'est parti pour la rédaction !

Pour la 7), les similitudes possibles sont 3 symétries axiales et 3 rotations :

A -> A; B -> B; C-> C : identité (rotation)
A -> A; B -> C; C-> B : symétrie d'axe passant par A et le milieu de [BC]
A -> B; B -> C; C-> A : rotation d'angle de centre (si le triangle est un triangle direct) (centre = orthocentre, centre de gravité, etc...)
A -> B; B -> A; C-> C : symétrie d'axe passant par C et le milieu de [AB]
A -> C; B -> B; C-> A : symétrie d'axe passant par B et le milieu de [AC]
A -> C; B -> A; C-> B : rotation d'angle (si le triangle est un triangle direct)

Ce qui fait 6 pour un triangle équilatéral. (=3! pour le lien avec les permutations des lettres ABC)



8)
Pour un carré, on a 4 symétries axiales (axes : les 2 diagonales et les 2 droites qui coupent le carré en 2 rectangles isométriques), et 4 rotations de centre l'intersection des diagonales du carré, et d'angle avec (n=4 : c'est l'identité)
Ce qui fait bien 8 (lien avec les permutations des lettres ABCD ? 4! = 24 = 3*8... ???)
Ou voulais-tu en venir martini_bird ? Je ne comprends pas bien...




Pour la 9)... une translation est définie par un unique vecteur, et tout vecteur définit une translation, donc l'ensemble des translations est en bijection avec E (mais bon peut-être que ça ne sert à rien de dire ça selon ce que je dis après...)

De plus, l'ensemble des translations muni de la loi de composition est un groupe (prouvé dans l'énoncé )
Vérifions que E muni de la loi d'addition des vecteurs est bien un groupe.
Prenons un vecteur u(x, y) et un vecteur v(z, t) dans E.
On a donc u+v(x+z, y+t)
et v+u(z+x, t+y)

L'associativité découle de l'associativité de l'addition des nombres réels.
La loi d'addition des vecteurs est bien une loi de composition interne de E car u+v est dans E : c'est un vecteur.
L'élément neutre est le vecteur nul 0(0, 0)
Tout vecteur i(x, y) à un inverse j(-x, -y) car ainsi i+j = 0

Donc E muni de l'addition des vecteurs est un groupe.

Soit et

: c'est l'identité dans notre groupe de translations

: c'est l'identité dans (E, +)

De plus, pour tout i et j vecteurs de E,

Donc nos 2 groupes sont bien isomorphes.

J'essaierai de démontrer le 11 un peu plus tard, en espérant ne pas avoir fait de maladresses !

[martini_bird]

Hop, c'est parti pour la rédaction !

Pour la 7), les similitudes possibles sont 3 symétries axiales et 3 rotations :

A -> A; B -> B; C-> C : identité (rotation)
A -> A; B -> C; C-> B : symétrie d'axe passant par A et le milieu de [BC]
A -> B; B -> C; C-> A : rotation d'angle de centre (si le triangle est un triangle direct) (centre = orthocentre, centre de gravité, etc...)
A -> B; B -> A; C-> C : symétrie d'axe passant par C et le milieu de [AB]
A -> C; B -> B; C-> A : symétrie d'axe passant par B et le milieu de [AC]
A -> C; B -> A; C-> B : rotation d'angle (si le triangle est un triangle direct)

Ce qui fait 6 pour un triangle équilatéral. (=3! pour le lien avec les permutations des lettres ABC)

Et ainsi, on est sûr qu'il n'existe pas d'autres similitudes laissant globalement invariant un triangle équilatéral. Ce groupe est un groupe fini à 6 éléments, appelé groupe diédral d'ordre 6.

8)
Pour un carré, on a 4 symétries axiales (axes : les 2 diagonales et les 2 droites qui coupent le carré en 2 rectangles isométriques), et 4 rotations de centre l'intersection des diagonales du carré, et d'angle avec (n=4 : c'est l'identité)
Ce qui fait bien 8 (lien avec les permutations des lettres ABCD ? 4! = 24 = 3*8... ???)
Ou voulais-tu en venir martini_bird ? Je ne comprends pas bien...

C'est juste, mais comment s'assurer qu'il n'existe pas d'autres similitudes laissant globalement invariant un carré? Qu'en est-il des 16 autres permutations des lettres ABCD?

Pour la 9)... une translation est définie par un unique vecteur, et tout vecteur définit une translation, donc l'ensemble des translations est en bijection avec E (mais bon peut-être que ça ne sert à rien de dire ça selon ce que je dis après...)

De plus, l'ensemble des translations muni de la loi de composition est un groupe (prouvé dans l'énoncé )
Vérifions que E muni de la loi d'addition des vecteurs est bien un groupe.
Prenons un vecteur u(x, y) et un vecteur v(z, t) dans E.
On a donc u+v(x+z, y+t)
et v+u(z+x, t+y)

L'associativité découle de l'associativité de l'addition des nombres réels.
La loi d'addition des vecteurs est bien une loi de composition interne de E car u+v est dans E : c'est un vecteur.
L'élément neutre est le vecteur nul 0(0, 0)
Tout vecteur i(x, y) à un inverse j(-x, -y) car ainsi i+j = 0

Donc E muni de l'addition des vecteurs est un groupe.

Soit et

: c'est l'identité dans notre groupe de translations

: c'est l'identité dans (E, +)

De plus, pour tout i et j vecteurs de E,

Donc nos 2 groupes sont bien isomorphes.

J'essaierai de démontrer le 11 un peu plus tard, en espérant ne pas avoir fait de maladresses !

Rien à dire, sinon que tu as implicitement utiliser l'isomorphisme (encore un!) entre E et IR², muni de l'addition composante par composante.

Cordialement.

[invite21126052]

Isomorphismes
Plus précisément, est un isomorphisme si:
il existe une application telle que et

ce ne serait pas plutôt ça? (j'ai changé les indices au niveau de la fonction identité)

par exemple dans le premier cas, , on part de G, on applique , on se retrouve dans H, puis grâce à qu'on applique à un élément de H, on se retrouve dans G, avec le même élément... donc , c'est plutôt l'identité de G, non? ou je n'ai strictement rien compris?

(j'essaye de démontrer la question subsidiaire... pour l'associativité, ça va, mais il me reste les 2 autres conditions!)

[martini_bird]

Oui planck, merci pour la correction: je n'avais pas repéré cette coquille.

[g_h]

(j'essaye de démontrer la question subsidiaire... pour l'associativité, ça va, mais il me reste les 2 autres conditions!)

Ce qui me chagrine, c'est que avec élément neutre de H semble être un "élément neutre" dans l'ensemble des applications de G dans H muni de la loi de groupe de H, mais ce n'est pas un isomorphisme... !

[invite21126052]

je n'ai pas vraiment eu le temps de chercher depuis mon dernier message, mais effectivement, trouver un élément neutre (qui soit un isomorphisme, donc!) pour ce groupe ne m'a pas paru des plus évident...!

peut être qu'on peut démontrer son existence, sans nécessairement devoir l'exhiber... avec un raisonnement par l'absurde??...

[g_h]

Petite précision : ce dont je parle dans mon précédent message n'est pas un groupe, bien entendu (ça aurait posé quelques problèmes)

Essayons de formaliser tout ça :
Soit I l'ensemble des isomorphismes de G dans H.
On recherche un isomorphisme tel que

Tout isomorphisme admettant un inverse (définition),

implique que


Soit :


Ai-je le droit de dire que :


On en tire que
ssi

condition remplie ssi , car il n'existe qu'un seul isomorphisme inverse (bijection réciproque)
Donc j'en déduis qu'il n'y a pas d'élément neutre, puisque peut être n'importe quel élément de I...

Bon, je sais que la question a bien une réponse, c'est pourquoi je ne doute pas de m'être trompé...
Mais franchement je sèche !

[martini_bird]

Salut,

Bon, je sais que la question a bien une réponse, c'est pourquoi je ne doute pas de m'être trompé...

Non, ce que tu as écrit est très bien. L'ensemble des isomorphismes de G dans H ne forme pas un groupe pour la loi de l'espace d'arrivée.

Je suis le fautif et j'ai répondu n'importe quoi au message #31. Je ferais bien d'appliquer le même conseil que je vous ai donné dans ce même message: écrire.

Désolé.

[g_h]

Salut,

Non, ce que tu as écrit est très bien. L'ensemble des isomorphismes de G dans H ne forme pas un groupe pour la loi de l'espace d'arrivée.

Je suis le fautif et j'ai répondu n'importe quoi au message #31. Je ferais bien d'appliquer le même conseil que je vous ai donné dans ce même message: écrire.

Désolé.

Ya pas de mal, rien de tel qu'une erreur d'énoncé pour nous faire chercher encore plus ! (merci )

(d'ailleurs mon nouveau prof de maths vient de me donner un DM avec une erreur d'énoncé, ça m'a fait chercher pas mal...)

Bref, merci pour cet exo, je pense que ça me sera très utile quand on commencera le cours là-dessus !
(bon allez, au boulot ! vive la prépa... ! )