Soit A un anneau unitaire dont l'élément neutre pour la loi . est noté 1.
1) Soit nilpotent. Montrer que est inversible.
2)Si et x nilpotent, simplifier l'expression
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Soit A un anneau unitaire dont l'élément neutre pour la loi . est noté 1.
1) Soit nilpotent. Montrer que est inversible.
2)Si et x nilpotent, simplifier l'expression
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"Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein
Je souhaite répondre à la question 1 ...
Si x est nilpotent, j'appelle alors n tel que , =1.
Or,
Il s'ensuit que
puisque A est un anneau.
On en conclut que 1 - x est inversible dans A.
Dernière modification par AriesSith ; 26/10/2005 à 21h05.
Attention, un élément x d'un anneau est dit nilpotent s'il existe un exposant p pour lequel , l'élément neutre de la loi "additive" et non pas 1, l'élément neutre de la loi "multiplicative".
Attention aussi au fait que l'anneau n'est pas a priori commutatif, donc tu n'as pas vraiment démontré l'inversibilité...
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J'ai utilisé, dans ma démonstration, le fait que =0 ... j'ai fait une cocquille en tappant sur mon clavier à la première ligne
Ensuite j'utilise l'associativité de . pour justifier que et non la commutativité .
Il est vrai que ma démonstration n'est pas très rigoureuse ... je vais tâcher d'en trouver une autre ...
Non, c'est très bien, seulement tu n'as pas vraiment montré l'inversibilité, je rappelle la définition de l'inversibilité:
Un élément x d'un magma associatif unitaire (E,*) est dit inversible s'il existe un élément y de E tel que: x*y=y*x=e où e est l'élément neutre de (E,*).
Tu comprendras mieux pourquoi, je parle de commutativité...
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Si j'ai bien compris, ce qui manque dans ma démonstration c'est que
ce qui se justifie par le fait que . est associative et distribue l'addition.
C'est exact...et ce sont bien la distributivité et l'associativité qui permettent de justifier les identités remarquables dans un anneau.
La commutativité t'aurais permis de t'épargner d'écrire l'inversibilité à gauche, mais en L1, on commence à étudier des anneaux non commutatifs (Matrices) donc j'en profite pour en parler...
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Merci pour cette correction !
j'ai une question un peu bête mais que signifie L1 ?
Salut,
Ca veut dire "1ère année de licence"
Merci pour cette précision ...
est que vous pouvez m'expliquer les anneaux
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