[Maths] [BacS] Approximations du nombre d'or

[doryphore]

Le but de ce fil est de proposer aux élèves de Terminale qui le désirent de se lancer dans la résolution d'un problème de niveau bac avec l'aide bénévole et les explications des étudiants, enseignants, ingénieurs ou chercheurs qui fréquentent ce forum et qui le souhaitent.

Les débats entre élèves de Terminale sont aussi attendus et ils seront riches d'enseignement autant que pour les élèves que pour les enseignants...

Etant donnés que vous n'êtes pas mes élèves, il m'est très facile d'être très tolérant à votre égard car je n'éprouverai aucun sentiment de culbabilité face à vos erreurs... Donc n'hésiter pas à poser des questions qui vous taraude depuis la quatrième...

Le but du problème est de définir le nombre d'or et d'envisager trois suites convergeant vers le nombre d'or.

A) Le nombre d'or

1) Résoudre dans l'équation x² - x - 1 =0.

La solution positive notée est appelé le nombre d'or.

2) Démontrer les égalités:

, , et

A vous de jouer en attendant la suite...
-----

[Bleyblue]

Les démonstrations d'égalités ça marche, par contre pour trouver une suite qui converge vers le nombre d'or ...

En France vous voyez les suites infinies en terminales ?
En Belgique pas en tout cas ...

[doryphore]

Est-ce que tu veux bien m'expliquer ce que tu appelles suite infinie ?

[shokin]

Si vous connaissez la suite de Fibonacci (j'ai écrit juste ?), ... (Un+1)/Un tend vers ce nombre d'or lorsque n tend vers l'infini.

C'est un nombre algébrique que vous connaissez sûrement.

Et si vous connaissez sa notation algébrique, vous n'aurez pas trop de peine à démontrer les égalités.

Sachez que si on lui retranche 1, on obtient son inverse, et qu'il est positif (deuxième égalité).

Mais comment le démontrer...

Shokin

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Est-ce que tu veux bien m'expliquer ce que tu appelles suite infinie ?

Eh bien une suite possédant un nombre infini de termes. Quoi qu'il en soit les suites moi je ne les ai pas vues en terminales (en réthorique). Nous avons juste vu ce qu'est une suite numérique (algébrique, géométrique) ainsi que quelques infos générales destinées à introduire la notion de limites, en 5ième (l'année qui précède la terminale )

[doryphore]

Et si vous connaissez sa notation algébrique, vous n'aurez pas trop de peine à démontrer les égalités.

En fait, je ne recommande pas vraiment d'utiliser la valeur algébrique du nombre d'or pour trouver les égalités.

Il y a un autre moyen.

[doryphore]

Eh bien une suite possédant un nombre infini de termes. Quoi qu'il en soit les suites moi je ne les ai pas vues en terminales (en réthorique). Nous avons juste vu ce qu'est une suite numérique (algébrique, géométrique) ainsi que quelques infos générales destinées à introduire la notion de limites, en 5ième (l'année qui précède la terminale )

Il y a combien de termes alors dans la suite arithmétique suivante:

U0=0 ; Un+1 = Un + 2

[shokin]

En fait, je ne recommande pas vraiment d'utiliser la valeur algébrique du nombre d'or pour trouver les égalités.

Il y a un autre moyen.

J'imagine qu'il y en a d'autres. Mais de quoi veux-tu que nous partions ? si nous partons d'un certain nombre de propositions, il faudra les avoir démontrées au préalable (à moins que ce ne soient des axiomes). De quelles propositions veux-tu que nous partons ?

Tiens, au fait, je ne sais pas comment démontrer pour la suite définie par Un+2 = Un+1 + Un avec Un et Un+1 réels arbitraires que Un+2 / Un+1 tend vers ce nombre d'or lorsque n tend vers l'infini. Quelqu'un sait-il ? ce me serait ben utile !

Shokin

[doryphore]

J'imagine qu'il y en a d'autres. Mais de quoi veux-tu que nous partions ? si nous partons d'un certain nombre de propositions, il faudra les avoir démontrées au préalable (à moins que ce ne soient des axiomes). De quelles propositions veux-tu que nous partons ?

Non, pas d'axiomes ...
Mais, n'y a-t-il pas une façon de "caractériser " le nombre d'or autrement qu'en donnant directement sa valeur ?

Que sait-on sur le nombre d'or à ce stade de l'énoncé ?

[shokin]

Pourtant j'en sais rien, du nombre d'or.

On ne lui a même pas choisi une définition.

J'imagine seulement qu'il doit valoir de l'or, d'où mon grand intérêt.

Shokin

[doryphore]

Tiens, au fait, je ne sais pas comment démontrer pour la suite définie par Un+2 = Un+1 + Un avec Un et Un+1 réels arbitraires que Un+2 / Un+1 tend vers ce nombre d'or lorsque n tend vers l'infini. Quelqu'un sait-il ? ce me serait ben utile !

Tu poses Un = a* q^n avec a <>0 et q>0.

[doryphore]

Pourtant j'en sais rien, du nombre d'or.

On ne lui a même pas choisi une définition.

J'imagine seulement qu'il doit valoir de l'or, d'où mon grand intérêt.

Shokin

Si, dans l'énoncé que j'ai donné le nombre d'or a bien une définition...

[shokin]

En résolvant l'équation x^2-x-1=0 je suppose. Alors tu trouveras sa valeur algébrique !

Shokin

[invite4b9cdbca]

A) Le nombre d'or

1) Résoudre dans l'équation x² - x - 1 =0.

La solution positive notée est appelé le nombre d'or.

2) Démontrer les égalités:

, , et

Bon pour l'équation pas de problème, on trouve facilement :
x=(1+sqrt(5))/2 ou x=(1-sqrt(5))/2

On pose ensuite 1+sqrt(5)/2 = phi

phi est une solution de l'équation, il vérifie donc : phi² - phi - 1 = 0 d'ou phi² = phi + 1

De plus, phi est non nul donc on divise la précédente égalité par phi d'ou phi= 1 + 1/phi et si on mets une racine on obtient phi = sqrt(1 + 1/phi)

on a phi² = phi + 1
donc phi² + 1 = phi + 2

d'ou (phi² + 1)/(2phi - 1) = (phi + 2)/( 2phi - 1)

or, phi = 1 + 1/phi donc phi = (phi + 1)/phi

d'ou 2phi - 1 = (2phi +2- phi)/phi
donc 2phi - 1 = (phi + 2)/phi

Ainsi (phi + 2)/( 2phi - 1) = phi

D'où (phi² + 1)/(2phi - 1) = phi

CQFD (desolé je n'ai pas encore eu le temps de me familiariser avec les balises latex... j'espère que j'ai été suffisamment clair avec les parenthèses)

Kron

[doryphore]

Pour Shokin: la réponse de kron n'a pas fait appel à la valeur algébrique de phi, à aucun moment il ne s'en est servi pour déterminer que les égalités proposées sont vraies. Il s'est servi du fait que phi est une racine de l'équation sans utiliser sa valeur.

Pour kron, 1 ère et 2 ème égalité, c'est bien...

Pour la troisième, pourquoi as-tu le droit d'appliquer la racine carrée à l'égalité et est tu sur que la racine carré de Phi ² = Phi.

La dernière, ça doit être bon.

Aurais-tu pu réécrire l'égalité que tu recherches autrement ?

[invite4b9cdbca]

Pour la troisième, pourquoi as-tu le droit d'appliquer la racine carrée à l'égalité et est tu sur que la racine carré de Phi ² = Phi.

sqrt(phi²) = |phi|
or, Phi est positif donc sqrt(phi²) = phi (j'avais oublié de préciser)

Kron

edit : comment dois je comprendre "réecrire l'expression autremnt" ?

[matthias]

On peut aborder le nombre d'or par les fractions continues (lien avec la deuxième égalité). C'est pratique pour trouver une suite convergeant vers le nombre d'or, auquel s'ajoute l'intérêt historique.

[invite4b9cdbca]

On peut aborder le nombre d'or par les fractions continues (lien avec la deuxième égalité). C'est pratique pour trouver une suite convergeant vers le nombre d'or, auquel s'ajoute l'intérêt historique.

Je ne vois pas vraiment de relation entre les suites convergeant vers le nombre d'or et l'histoire... A part la suite de Fibonacci, y a t-il d'autres suies dont la limite est le nombre d'or ?

[g_h]

Toutes les suites définies par :
U_n+2 = U_n+1 + U_n, quels que soient U₀ et U₁
(la suite de Fibonacci est un cas particulier)

(évidemment, en écartant les cas ou par exemple U₀ = U₁ = 0...)

[matthias]

Je ne vois pas vraiment de relation entre les suites convergeant vers le nombre d'or et l'histoire... A part la suite de Fibonacci, y a t-il d'autres suies dont la limite est le nombre d'or ?

Un: la suite de Fibonacci ne converge pas vers le nombre d'or. C'est le rapport de 2 termes consécutifs qui converge vers le nombre d'or.
Deux: la relation est très forte, et elle est liée notamment à la diagonale d'un pentagone régulier et à un procédé nommé antiphérèse.

Il faudrait que je trouve un lien où on parle de ça, parce que ça risque de pas être très clair là (à moins que quelqu'un ait envie de se lancer dans les explications ?)

[doryphore]

Pour le nombre d'or, n'oubliez pas d'aller voir dans le forum "Les archives" où un spécialiste a répondu à des questions sur le sujet.

[doryphore]

edit : comment dois je comprendre "réecrire l'expression autremnt" ?

Tu peux transformer l'égalité afin de faire disparaître le quotient et t'épargner des calculs littéraux fastidieux.

[invite4b9cdbca]

Un: la suite de Fibonacci ne converge pas vers le nombre d'or. C'est le rapport de 2 termes consécutifs qui converge vers le nombre d'or.

Effectivement,petite erreur... veuillez m'excuser

Deux: la relation est très forte, et elle est liée notamment à la diagonale d'un pentagone régulier et à un procédé nommé antiphérèse.

Antiphérèse ?

[invite4b9cdbca]

Tu peux transformer l'égalité afin de faire disparaître le quotient et t'épargner des calculs littéraux fastidieux.

Eeeeeeeuh...

phi² + 1 = 2phi² - phi ??

je tourne en rond, là, non ?

[g_h]

Oups oui, merci matthias pour la rectification, ça ne converge pas vers phi en effet
Sinon, rien a voir, mais il est "amusant" de remarquer qu'on retrouve aussi le nombre d'or dans les solutions de l'équation différentielle f''(x) - f'(x) - f(x) = 0, qui est un peu semblable à x²-x-1=0

[matthias]

Oups oui, merci matthias pour la rectification, ça ne converge pas vers phi en effet
Sinon, rien a voir, mais il est "amusant" de remarquer qu'on retrouve aussi le nombre d'or dans les solutions de l'équation différentielle f''(x) - f'(x) - f(x) = 0, qui est un peu semblable à x²-x-1=0

et un rapport avec
ce qui se comprend mieux quand on aborde les méthodes générales de résolution de ce type d'équations différentielles, et d'étude de ce type de suites. Mais là, on déborde carrément.

Pour Kron, je propose qu'on attende que les questions de Doyphore aient trouvées une réponse, ensuite on peut continuer sur l'antiphérèse et les fractions continues.

[doryphore]

Eeeeeeeuh...

phi² + 1 = 2phi² - phi ??

je tourne en rond, là, non ?

Oui, tu vas voir qu'obtenir phi+2 à partir de 2phi²- phi est d'une facilité déconcertante...

Je vais enchaîner sur d'autres questions, kron va trouver d'une seconde à l'autre et Matthias pourra alors nous expliquer à tous ce qu'est l'antiphérèse.

[Romain-des-Bois]

Si je prends f(x) = x²/2 ....... f'(x)= x ..... f'(x)=1
et je retrouve ...

Edit with Matthias and Doryphore !

Re edit : c'est toujours pareil ! chaque fois qu'il y a un truc intéressant d'autres ont déjà répondu !

[doryphore]

Suite du questionnaire

On pose =2 et, pour tout ,

0) post-bac: pourquoi sait-on a priori que cette suite va converger vers Phi ?


1) Montrer que, pour tout ,

2) Prouver que, pour tout .

[invite77e86f54]

0)on prend la limite de l egalite(notons la L) et on a L=1+1/Lcad L^2-L-1=0...comme par hasard...