[Maths] [BacS] Approximations du nombre d'or

doryphore · 27/04/2005 - 17h26

Le but de ce fil est de proposer aux élèves de Terminale qui le désirent de se lancer dans la résolution d'un problème de niveau bac avec l'aide bénévole et les explications des étudiants, enseignants, ingénieurs ou chercheurs qui fréquentent ce forum et qui le souhaitent.

Les débats entre élèves de Terminale sont aussi attendus et ils seront riches d'enseignement autant que pour les élèves que pour les enseignants...

Etant donnés que vous n'êtes pas mes élèves, il m'est très facile d'être très tolérant à votre égard car je n'éprouverai aucun sentiment de culbabilité face à vos erreurs... Donc n'hésiter pas à poser des questions qui vous taraude depuis la quatrième...

Le but du problème est de définir le nombre d'or et d'envisager trois suites convergeant vers le nombre d'or.

A) Le nombre d'or

1) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation x² - x - 1 =0.

La solution positive notée $\Phi$ est appelé le nombre d'or.

2) Démontrer les égalités:

$\Phi^2 = \Phi + 1$ , $1+\frac {1} {\Phi} = \Phi$ , $\sqrt {1+ \Phi} = \Phi$ et $\frac {\Phi^2+1} {2 \Phi -1 } = \Phi$

A vous de jouer en attendant la suite...

Bleyblue · 27/04/2005 - 17h56

Les démonstrations d'égalités ça marche, par contre pour trouver une suite qui converge vers le nombre d'or ...

En France vous voyez les suites infinies en terminales ?
En Belgique pas en tout cas ...

doryphore · 27/04/2005 - 17h59

Est-ce que tu veux bien m'expliquer ce que tu appelles suite infinie ?

**shokin** · 27/04/2005 - 18h02

Si vous connaissez la suite de Fibonacci (j'ai écrit juste ?), ... (Un+1)/Un tend vers ce nombre d'or lorsque n tend vers l'infini.

C'est un nombre algébrique que vous connaissez sûrement.

Et si vous connaissez sa notation algébrique, vous n'aurez pas trop de peine à démontrer les égalités.

Sachez que si on lui retranche 1, on obtient son inverse, et qu'il est positif (deuxième égalité).

Mais comment le démontrer...

Shokin

Bleyblue · 27/04/2005 - 18h10

Envoyé par doryphore

Est-ce que tu veux bien m'expliquer ce que tu appelles suite infinie ?

Eh bien une suite possédant un nombre infini de termes. Quoi qu'il en soit les suites moi je ne les ai pas vues en terminales (en réthorique). Nous avons juste vu ce qu'est une suite numérique (algébrique, géométrique) ainsi que quelques infos générales destinées à introduire la notion de limites, en 5ième (l'année qui précède la terminale )

doryphore · 27/04/2005 - 18h11

Envoyé par shokin

Et si vous connaissez sa notation algébrique, vous n'aurez pas trop de peine à démontrer les égalités.

En fait, je ne recommande pas vraiment d'utiliser la valeur algébrique du nombre d'or pour trouver les égalités.

Il y a un autre moyen.

doryphore · 27/04/2005 - 18h16

Envoyé par Bleyblue

Eh bien une suite possédant un nombre infini de termes. Quoi qu'il en soit les suites moi je ne les ai pas vues en terminales (en réthorique). Nous avons juste vu ce qu'est une suite numérique (algébrique, géométrique) ainsi que quelques infos générales destinées à introduire la notion de limites, en 5ième (l'année qui précède la terminale )

Il y a combien de termes alors dans la suite arithmétique suivante:

U0=0 ; Un+1 = Un + 2

**shokin** · 27/04/2005 - 18h22

Envoyé par doryphore

En fait, je ne recommande pas vraiment d'utiliser la valeur algébrique du nombre d'or pour trouver les égalités.

Il y a un autre moyen.

J'imagine qu'il y en a d'autres. Mais de quoi veux-tu que nous partions ? si nous partons d'un certain nombre de propositions, il faudra les avoir démontrées au préalable (à moins que ce ne soient des axiomes). De quelles propositions veux-tu que nous partons ?

Tiens, au fait, je ne sais pas comment démontrer pour la suite définie par Un+2 = Un+1 + Un avec Un et Un+1 réels arbitraires que Un+2 / Un+1 tend vers ce nombre d'or lorsque n tend vers l'infini. Quelqu'un sait-il ? ce me serait ben utile !

Shokin

doryphore · 27/04/2005 - 18h26

Envoyé par shokin

J'imagine qu'il y en a d'autres. Mais de quoi veux-tu que nous partions ? si nous partons d'un certain nombre de propositions, il faudra les avoir démontrées au préalable (à moins que ce ne soient des axiomes). De quelles propositions veux-tu que nous partons ?

Non, pas d'axiomes ...
Mais, n'y a-t-il pas une façon de "caractériser " le nombre d'or autrement qu'en donnant directement sa valeur ?

Que sait-on sur le nombre d'or à ce stade de l'énoncé ?

**shokin** · 27/04/2005 - 18h29

Pourtant j'en sais rien, du nombre d'or.

On ne lui a même pas choisi une définition.

J'imagine seulement qu'il doit valoir de l'or, d'où mon grand intérêt.

Shokin

doryphore · 27/04/2005 - 18h32

Envoyé par shokin

Tiens, au fait, je ne sais pas comment démontrer pour la suite définie par Un+2 = Un+1 + Un avec Un et Un+1 réels arbitraires que Un+2 / Un+1 tend vers ce nombre d'or lorsque n tend vers l'infini. Quelqu'un sait-il ? ce me serait ben utile !

Tu poses Un = a* q^n avec a <>0 et q>0.

doryphore · 27/04/2005 - 18h33

Envoyé par shokin

Pourtant j'en sais rien, du nombre d'or.

On ne lui a même pas choisi une définition.

J'imagine seulement qu'il doit valoir de l'or, d'où mon grand intérêt.

Shokin

Si, dans l'énoncé que j'ai donné le nombre d'or a bien une définition...

**shokin** · 27/04/2005 - 18h42

En résolvant l'équation x^2-x-1=0 je suppose. Alors tu trouveras sa valeur algébrique !

Shokin

kron · 27/04/2005 - 18h43

Envoyé par doryphore

A) Le nombre d'or

1) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation x² - x - 1 =0.

La solution positive notée $\Phi$ est appelé le nombre d'or.

2) Démontrer les égalités:

$\Phi^2 = \Phi + 1$ , $1+\frac {1} {\Phi} = \Phi$ , $\sqrt {1+ \Phi} = \Phi$ et $\frac {\Phi^2+1} {2 \Phi -1 } = \Phi$

Bon pour l'équation pas de problème, on trouve facilement :
x=(1+sqrt(5))/2 ou x=(1-sqrt(5))/2

On pose ensuite 1+sqrt(5)/2 = phi

phi est une solution de l'équation, il vérifie donc : phi² - phi - 1 = 0 d'ou phi² = phi + 1

De plus, phi est non nul donc on divise la précédente égalité par phi d'ou phi= 1 + 1/phi et si on mets une racine on obtient phi = sqrt(1 + 1/phi)

on a phi² = phi + 1
donc phi² + 1 = phi + 2

d'ou (phi² + 1)/(2phi - 1) = (phi + 2)/( 2phi - 1)

or, phi = 1 + 1/phi donc phi = (phi + 1)/phi

d'ou 2phi - 1 = (2phi +2- phi)/phi
donc 2phi - 1 = (phi + 2)/phi

Ainsi (phi + 2)/( 2phi - 1) = phi

D'où (phi² + 1)/(2phi - 1) = phi

CQFD (desolé je n'ai pas encore eu le temps de me familiariser avec les balises latex... j'espère que j'ai été suffisamment clair avec les parenthèses)

Kron

doryphore · 27/04/2005 - 18h52

Pour Shokin: la réponse de kron n'a pas fait appel à la valeur algébrique de phi, à aucun moment il ne s'en est servi pour déterminer que les égalités proposées sont vraies. Il s'est servi du fait que phi est une racine de l'équation sans utiliser sa valeur.

Pour kron, 1 ère et 2 ème égalité, c'est bien...

Pour la troisième, pourquoi as-tu le droit d'appliquer la racine carrée à l'égalité et est tu sur que la racine carré de Phi ² = Phi.

La dernière, ça doit être bon.

Aurais-tu pu réécrire l'égalité que tu recherches autrement ?