[Maths] [BacS] Approximations du nombre d'or

[invite77e86f54]

pardon il manque un morceau...L est racine de L^2-L-1=0 et comme An>0 necessairement L>0 donc L=phi...
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[doryphore]

C'est en dehors de mes compétences professionnelles de validation mais je pense pouvoir dire sans risque que c'est bon. a_0 peut donc prendre n'importe quelle valeur positive...

[matthias]

Oui, la seule limite possible est donc Phi, mais ça ne prouve pas sa convergence.
Il y a des conditions pour utiliser le théorème du point fixe (pour les post-bac donc ...)

[invite77e86f54]

on est bien d accord mais bon...
on prend la fonction f(x)=1+1/x
donc f'(x)=-1/x^2
f est decroissante donc f°f est croissante donc les suites (A2n) et (A2n+1) sont monotones...on montre qu elles sont adjacentes et ca marche bien je pense...je finis pas le calcul...

[matthias]

Oui, on est d'accord.
Bon, on est pas obligé de calculer la dérivée pour avoir la décroissance, mais bon
Sinon on peut dire I=[3/2;2] est stable par f, f est contractante sur I, donc f admet un unique point fixe sur I, et la suite converge vers ce point fixe.

[doryphore]

Oui, j'attendais le thm du point fixe mais on peut avoir de bonnes surprises...

Quand des lycéens repasseront par là qu'ils n'hésitent pas à répondre aux deux questions qui leurs sont réservés à la discussion #29

[invite77e86f54]

je me suis fait la petite demo en version longue...pour me rappeler ma jeunesse...mais c est clair que l on peut aller beaucoup plus vite...

[matthias]

Bon en attendant je poste des liens sur l'antiphérèse (ou anthyphérèse, anthyphérésie, ... il y a le choix)
http://mediamaths.asso.fr/index.php?...id=41&Itemid=2
http://www.univ-lyon1.fr/IREM/c2ipc/arithmlb.pdf

[doryphore]

Je me permets de relancer un peu le sujet en reprenant les questions non résolues et en proposant d'autres questions.

1) Montrer que, pour tout ,

2) Prouver que, pour tout , .

3) En déduire, que pour tout :

puis que (pour ).

4) Prouver que est convergente er déterminer sa limite.

5) Déterminer un entier tel que, si , alors :

Bon courage !

[invite4b9cdbca]

Je me permets de relancer un peu le sujet en reprenant les questions non résolues et en proposant d'autres questions.

1) Montrer que, pour tout ,

On appelle P_n : pour tout n>0,

Initialisation : = 2 donc P₀ est vraie

Hérédité :
On supppose P_n vraie pour un entier n fixé, n>0
on a donc

Or, d'après l'énoncé, la suite n'est jamais nulle

Donc

Ainsi

Comme

On peut en déduire :

P_n+1 est donc vraie

D'après le principe de récurrence, on peut conclure que p_n est vraie pour tout n>0

Conclusion : Pour tout n>0

CQFD

[doryphore]

Il y a juste un truc qui me chagrine:

Si Pn est vraie, à quoi te sert-il de faire tous ces calculs pour montrer que Pn+1 est vraie aussi ?

Attention, c'est une question subtile...

[invite4b9cdbca]

Il y a juste un truc qui me chagrine:

Si Pn est vraie, à quoi te sert-il de faire tous ces calculs pour montrer que Pn+1 est vraie aussi ?

Attention, c'est une question subtile...

Ben, on a supposé P_n vraie pour un entier n fixé. On n'a pas dit que c'était vrai pour tout n de l'ensemble considéré. Or, il faut montrer que si P_n+1 est aussi vraie on peut déduire (grâce auprincipe de récurrence) que si un terme vérifie l'hypothèse, alors le terme suivant aussi et ainsi de suite, et comme on a montré que P₁ était vrai alors on peut en déduire que P_n est vraie pour tout n>0.

C'est la réponse ?

[matthias]

La subtilité c'est que tu as mis un "pour tout n" dans la définition de Pn.
Il faudrait définir Pn de cette manière:
pour tout n,

[invite4b9cdbca]

Aah oui d'accord effectivemet, j'ai pas fait attention...

[invite7961483e]

La question 1) est une formalité mais pour la question 2), je suis désolé mais je trouve pas le truc. Pourrait-on avoir ne serait-ce qu'un petit indice?

[matthias]

En exprimant en fonction de et de , et en utilisant une des relations du message #1, tu peux faire apparaître un facteur

[inviteb7c45703]

Bonjour à tous, je souhaiterais avoir la suite du corrigé...Ca m'intrigue...

[doryphore]

Je préfèrerais qu' un lycéen s'y essaie, plutôt...

[invite404b686c]

On sent bien le coté sadique du prof là.....

J'ai regardé ce probleme tout à l'heure, mais je bloque aussi à la 2)... j'arrive à faire apparaitre un mais divisé par lol (bon j'ai peut etre en plus fait une erreur de calcul... trop de math ca fait saturer mon cerveau :d)
Enfin bon.. j'essayerai de regardé ca demain (=quand j'aurais plus un controle de physiqe chimie à réviser lol) mais comme le disait si bien ma prof de math ce matin.. les élèves de terminales ne savent plus se servir des valeurs absolu, ou ils s'en servent mal... et c'est vrai que là, je suis pas tres à l'aise mdr

[invite85b84d4c]

c'est exactement le problème de math de mon Dm...et je n'arrive pas à voir comment resoudre le n) 2 et 3 et..4 et 5!! c'est koi le truc??

[doryphore]

Désolé, ce forum n'est pas du tout dédié à la résolution des devoirs à faire à la maison...

[invite85b84d4c]

on reconnait le prof! ca fait un bon bout de temps que je planche sur ce dm ...ct une petite tentative désespérée! mais à part ca ya deux autres suites qui convergent plus vite que an vers le nombre d'or. Bon je me replonge dans mon dm..que je vais décidément faire seule! mais bon je veux pas recopier bettement je voulais juste qu'on m'explique qq détails..