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[Maths] [BacS] Approximations du nombre d'or



  1. #1
    doryphore

    Post [Maths] [BacS] Approximations du nombre d'or


    ------

    Le but de ce fil est de proposer aux élèves de Terminale qui le désirent de se lancer dans la résolution d'un problème de niveau bac avec l'aide bénévole et les explications des étudiants, enseignants, ingénieurs ou chercheurs qui fréquentent ce forum et qui le souhaitent.

    Les débats entre élèves de Terminale sont aussi attendus et ils seront riches d'enseignement autant que pour les élèves que pour les enseignants...

    Etant donnés que vous n'êtes pas mes élèves, il m'est très facile d'être très tolérant à votre égard car je n'éprouverai aucun sentiment de culbabilité face à vos erreurs... Donc n'hésiter pas à poser des questions qui vous taraude depuis la quatrième...

    Le but du problème est de définir le nombre d'or et d'envisager trois suites convergeant vers le nombre d'or.

    A) Le nombre d'or

    1) Résoudre dans l'équation x² - x - 1 =0.

    La solution positive notée est appelé le nombre d'or.

    2) Démontrer les égalités:

    , , et

    A vous de jouer en attendant la suite...

    -----
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

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  3. #2
    Bleyblue

    Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or

    Les démonstrations d'égalités ça marche, par contre pour trouver une suite qui converge vers le nombre d'or ...

    En France vous voyez les suites infinies en terminales ?
    En Belgique pas en tout cas ...

  4. #3
    doryphore

    Smile Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or

    Est-ce que tu veux bien m'expliquer ce que tu appelles suite infinie ?
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  5. #4
    shokin

    Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or

    Si vous connaissez la suite de Fibonacci (j'ai écrit juste ?), ... (Un+1)/Un tend vers ce nombre d'or lorsque n tend vers l'infini.

    C'est un nombre algébrique que vous connaissez sûrement.

    Et si vous connaissez sa notation algébrique, vous n'aurez pas trop de peine à démontrer les égalités.

    Sachez que si on lui retranche 1, on obtient son inverse, et qu'il est positif (deuxième égalité).

    Mais comment le démontrer...

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Bleyblue

    Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or

    Citation Envoyé par doryphore
    Est-ce que tu veux bien m'expliquer ce que tu appelles suite infinie ?
    Eh bien une suite possédant un nombre infini de termes. Quoi qu'il en soit les suites moi je ne les ai pas vues en terminales (en réthorique). Nous avons juste vu ce qu'est une suite numérique (algébrique, géométrique) ainsi que quelques infos générales destinées à introduire la notion de limites, en 5ième (l'année qui précède la terminale )

  8. #6
    doryphore

    Smile Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or

    Citation Envoyé par shokin
    Et si vous connaissez sa notation algébrique, vous n'aurez pas trop de peine à démontrer les égalités.
    En fait, je ne recommande pas vraiment d'utiliser la valeur algébrique du nombre d'or pour trouver les égalités.

    Il y a un autre moyen.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

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  10. #7
    doryphore

    Smile Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Eh bien une suite possédant un nombre infini de termes. Quoi qu'il en soit les suites moi je ne les ai pas vues en terminales (en réthorique). Nous avons juste vu ce qu'est une suite numérique (algébrique, géométrique) ainsi que quelques infos générales destinées à introduire la notion de limites, en 5ième (l'année qui précède la terminale )
    Il y a combien de termes alors dans la suite arithmétique suivante:

    U0=0 ; Un+1 = Un + 2
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  11. #8
    shokin

    Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or

    Citation Envoyé par doryphore
    En fait, je ne recommande pas vraiment d'utiliser la valeur algébrique du nombre d'or pour trouver les égalités.

    Il y a un autre moyen.
    J'imagine qu'il y en a d'autres. Mais de quoi veux-tu que nous partions ? si nous partons d'un certain nombre de propositions, il faudra les avoir démontrées au préalable (à moins que ce ne soient des axiomes). De quelles propositions veux-tu que nous partons ?

    Tiens, au fait, je ne sais pas comment démontrer pour la suite définie par Un+2 = Un+1 + Un avec Un et Un+1 réels arbitraires que Un+2 / Un+1 tend vers ce nombre d'or lorsque n tend vers l'infini. Quelqu'un sait-il ? ce me serait ben utile !

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  12. #9
    doryphore

    Smile Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or

    Citation Envoyé par shokin
    J'imagine qu'il y en a d'autres. Mais de quoi veux-tu que nous partions ? si nous partons d'un certain nombre de propositions, il faudra les avoir démontrées au préalable (à moins que ce ne soient des axiomes). De quelles propositions veux-tu que nous partons ?
    Non, pas d'axiomes ...
    Mais, n'y a-t-il pas une façon de "caractériser " le nombre d'or autrement qu'en donnant directement sa valeur ?

    Que sait-on sur le nombre d'or à ce stade de l'énoncé ?
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  13. #10
    shokin

    Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or

    Pourtant j'en sais rien, du nombre d'or.

    On ne lui a même pas choisi une définition.

    J'imagine seulement qu'il doit valoir de l'or, d'où mon grand intérêt.

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  14. #11
    doryphore

    Lightbulb Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or

    Citation Envoyé par shokin
    Tiens, au fait, je ne sais pas comment démontrer pour la suite définie par Un+2 = Un+1 + Un avec Un et Un+1 réels arbitraires que Un+2 / Un+1 tend vers ce nombre d'or lorsque n tend vers l'infini. Quelqu'un sait-il ? ce me serait ben utile !
    Tu poses Un = a* q^n avec a <>0 et q>0.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  15. #12
    doryphore

    Smile Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or

    Citation Envoyé par shokin
    Pourtant j'en sais rien, du nombre d'or.

    On ne lui a même pas choisi une définition.

    J'imagine seulement qu'il doit valoir de l'or, d'où mon grand intérêt.

    Shokin
    Si, dans l'énoncé que j'ai donné le nombre d'or a bien une définition...
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

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  17. #13
    shokin

    Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or

    En résolvant l'équation x^2-x-1=0 je suppose. Alors tu trouveras sa valeur algébrique !

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  18. #14
    kron

    Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or

    Citation Envoyé par doryphore
    A) Le nombre d'or

    1) Résoudre dans l'équation x² - x - 1 =0.

    La solution positive notée est appelé le nombre d'or.

    2) Démontrer les égalités:

    , , et
    Bon pour l'équation pas de problème, on trouve facilement :
    x=(1+sqrt(5))/2 ou x=(1-sqrt(5))/2

    On pose ensuite 1+sqrt(5)/2 = phi

    phi est une solution de l'équation, il vérifie donc : phi² - phi - 1 = 0 d'ou phi² = phi + 1

    De plus, phi est non nul donc on divise la précédente égalité par phi d'ou phi= 1 + 1/phi et si on mets une racine on obtient phi = sqrt(1 + 1/phi)

    on a phi² = phi + 1
    donc phi² + 1 = phi + 2

    d'ou (phi² + 1)/(2phi - 1) = (phi + 2)/( 2phi - 1)

    or, phi = 1 + 1/phi donc phi = (phi + 1)/phi

    d'ou 2phi - 1 = (2phi +2- phi)/phi
    donc 2phi - 1 = (phi + 2)/phi

    Ainsi (phi + 2)/( 2phi - 1) = phi

    D'où (phi² + 1)/(2phi - 1) = phi

    CQFD (desolé je n'ai pas encore eu le temps de me familiariser avec les balises latex... j'espère que j'ai été suffisamment clair avec les parenthèses)

    Kron
    Life is music !

  19. #15
    doryphore

    Thumbs up Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or

    Pour Shokin: la réponse de kron n'a pas fait appel à la valeur algébrique de phi, à aucun moment il ne s'en est servi pour déterminer que les égalités proposées sont vraies. Il s'est servi du fait que phi est une racine de l'équation sans utiliser sa valeur.

    Pour kron, 1 ère et 2 ème égalité, c'est bien...

    Pour la troisième, pourquoi as-tu le droit d'appliquer la racine carrée à l'égalité et est tu sur que la racine carré de Phi ² = Phi.

    La dernière, ça doit être bon.

    Aurais-tu pu réécrire l'égalité que tu recherches autrement ?
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  20. #16
    kron

    Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or

    Citation Envoyé par doryphore
    Pour la troisième, pourquoi as-tu le droit d'appliquer la racine carrée à l'égalité et est tu sur que la racine carré de Phi ² = Phi.
    sqrt(phi²) = |phi|
    or, Phi est positif donc sqrt(phi²) = phi (j'avais oublié de préciser)

    Kron

    edit : comment dois je comprendre "réecrire l'expression autremnt" ?
    Life is music !

  21. #17
    matthias

    Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or

    On peut aborder le nombre d'or par les fractions continues (lien avec la deuxième égalité). C'est pratique pour trouver une suite convergeant vers le nombre d'or, auquel s'ajoute l'intérêt historique.

  22. #18
    kron

    Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or

    Citation Envoyé par matthias
    On peut aborder le nombre d'or par les fractions continues (lien avec la deuxième égalité). C'est pratique pour trouver une suite convergeant vers le nombre d'or, auquel s'ajoute l'intérêt historique.
    Je ne vois pas vraiment de relation entre les suites convergeant vers le nombre d'or et l'histoire... A part la suite de Fibonacci, y a t-il d'autres suies dont la limite est le nombre d'or ?
    Life is music !

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  24. #19
    g_h

    Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or

    Toutes les suites définies par :
    Un+2 = Un+1 + Un, quels que soient U0 et U1
    (la suite de Fibonacci est un cas particulier)

    (évidemment, en écartant les cas ou par exemple U0 = U1 = 0...)

  25. #20
    matthias

    Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or

    Citation Envoyé par kron
    Je ne vois pas vraiment de relation entre les suites convergeant vers le nombre d'or et l'histoire... A part la suite de Fibonacci, y a t-il d'autres suies dont la limite est le nombre d'or ?
    Un: la suite de Fibonacci ne converge pas vers le nombre d'or. C'est le rapport de 2 termes consécutifs qui converge vers le nombre d'or.
    Deux: la relation est très forte, et elle est liée notamment à la diagonale d'un pentagone régulier et à un procédé nommé antiphérèse.

    Il faudrait que je trouve un lien où on parle de ça, parce que ça risque de pas être très clair là (à moins que quelqu'un ait envie de se lancer dans les explications ?)

  26. #21
    doryphore

    Smile Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or

    Pour le nombre d'or, n'oubliez pas d'aller voir dans le forum "Les archives" où un spécialiste a répondu à des questions sur le sujet.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  27. #22
    doryphore

    Smile Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or

    Citation Envoyé par kron
    edit : comment dois je comprendre "réecrire l'expression autremnt" ?
    Tu peux transformer l'égalité afin de faire disparaître le quotient et t'épargner des calculs littéraux fastidieux.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  28. #23
    kron

    Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or

    Citation Envoyé par matthias
    Un: la suite de Fibonacci ne converge pas vers le nombre d'or. C'est le rapport de 2 termes consécutifs qui converge vers le nombre d'or.
    Effectivement,petite erreur... veuillez m'excuser

    Deux: la relation est très forte, et elle est liée notamment à la diagonale d'un pentagone régulier et à un procédé nommé antiphérèse.

    Antiphérèse ?
    Life is music !

  29. #24
    kron

    Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or

    Citation Envoyé par doryphore
    Tu peux transformer l'égalité afin de faire disparaître le quotient et t'épargner des calculs littéraux fastidieux.
    Eeeeeeeuh...

    phi² + 1 = 2phi² - phi ??

    je tourne en rond, là, non ?
    Life is music !

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  31. #25
    g_h

    Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or

    Oups oui, merci matthias pour la rectification, ça ne converge pas vers phi en effet
    Sinon, rien a voir, mais il est "amusant" de remarquer qu'on retrouve aussi le nombre d'or dans les solutions de l'équation différentielle f''(x) - f'(x) - f(x) = 0, qui est un peu semblable à x²-x-1=0

  32. #26
    matthias

    Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or

    Citation Envoyé par g_h
    Oups oui, merci matthias pour la rectification, ça ne converge pas vers phi en effet
    Sinon, rien a voir, mais il est "amusant" de remarquer qu'on retrouve aussi le nombre d'or dans les solutions de l'équation différentielle f''(x) - f'(x) - f(x) = 0, qui est un peu semblable à x²-x-1=0
    et un rapport avec
    ce qui se comprend mieux quand on aborde les méthodes générales de résolution de ce type d'équations différentielles, et d'étude de ce type de suites. Mais là, on déborde carrément.

    Pour Kron, je propose qu'on attende que les questions de Doyphore aient trouvées une réponse, ensuite on peut continuer sur l'antiphérèse et les fractions continues.

  33. #27
    doryphore

    Talking Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or

    Citation Envoyé par kron
    Eeeeeeeuh...

    phi² + 1 = 2phi² - phi ??

    je tourne en rond, là, non ?
    Oui, tu vas voir qu'obtenir phi+2 à partir de 2phi²- phi est d'une facilité déconcertante...

    Je vais enchaîner sur d'autres questions, kron va trouver d'une seconde à l'autre et Matthias pourra alors nous expliquer à tous ce qu'est l'antiphérèse.
    Dernière modification par doryphore ; 27/04/2005 à 18h35.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  34. #28
    Romain-des-Bois

    Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or

    Si je prends f(x) = x²/2 ....... f'(x)= x ..... f'(x)=1
    et je retrouve ...

    Edit with Matthias and Doryphore !

    Re edit : c'est toujours pareil ! chaque fois qu'il y a un truc intéressant d'autres ont déjà répondu !

  35. #29
    doryphore

    Post Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or

    Suite du questionnaire

    On pose =2 et, pour tout ,

    0) post-bac: pourquoi sait-on a priori que cette suite va converger vers Phi ?


    1) Montrer que, pour tout ,

    2) Prouver que, pour tout .
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  36. #30
    fred123

    Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or

    0)on prend la limite de l egalite(notons la L) et on a L=1+1/Lcad L^2-L-1=0...comme par hasard...
    Plus y a de fromage et plus y a de trous....mais plus y a de trous et moins y a de fromage

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