[Maths] [L1] Anneaux

[invite3bc71fae]

Soit A un anneau unitaire dont l'élément neutre pour la loi . est noté 1.

1) Soit nilpotent. Montrer que est inversible.

2)Si et x nilpotent, simplifier l'expression

.
-----

[invite2f886c49]

Je souhaite répondre à la question 1 ...

Si x est nilpotent, j'appelle alors n tel que , =1.

Or,
Il s'ensuit que

puisque A est un anneau.

On en conclut que 1 - x est inversible dans A.

[invite3bc71fae]

Attention, un élément x d'un anneau est dit nilpotent s'il existe un exposant p pour lequel , l'élément neutre de la loi "additive" et non pas 1, l'élément neutre de la loi "multiplicative".

Attention aussi au fait que l'anneau n'est pas a priori commutatif, donc tu n'as pas vraiment démontré l'inversibilité...

[invite2f886c49]

J'ai utilisé, dans ma démonstration, le fait que =0 ... j'ai fait une cocquille en tappant sur mon clavier à la première ligne

Ensuite j'utilise l'associativité de . pour justifier que et non la commutativité .

Il est vrai que ma démonstration n'est pas très rigoureuse ... je vais tâcher d'en trouver une autre ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3bc71fae]

Non, c'est très bien, seulement tu n'as pas vraiment montré l'inversibilité, je rappelle la définition de l'inversibilité:

Un élément x d'un magma associatif unitaire (E,*) est dit inversible s'il existe un élément y de E tel que: x*y=y*x=e où e est l'élément neutre de (E,*).

Tu comprendras mieux pourquoi, je parle de commutativité...

[invite2f886c49]

Si j'ai bien compris, ce qui manque dans ma démonstration c'est que
ce qui se justifie par le fait que . est associative et distribue l'addition.

[invite3bc71fae]

C'est exact...et ce sont bien la distributivité et l'associativité qui permettent de justifier les identités remarquables dans un anneau.

La commutativité t'aurais permis de t'épargner d'écrire l'inversibilité à gauche, mais en L1, on commence à étudier des anneaux non commutatifs (Matrices) donc j'en profite pour en parler...

[invite2f886c49]

Merci pour cette correction !
j'ai une question un peu bête mais que signifie L1 ?

[invite97a92052]

Salut,

Ca veut dire "1ère année de licence"

[invite2f886c49]

Merci pour cette précision ...

[invitea1edae53]

est que vous pouvez m'expliquer les anneaux

[invite3bc71fae]

Tu peux regarder les cours en ligne conseillés dans la bibliothèque des mathématiques de Martini-Bird en cliquant ici.
Si tu as des questions précises par la suite, poses les dans le forum de mathématiques ou pose-les moi en message privé.