anneaux et caractéristique

[invitefb06c31d]

salut
pouvez me donnez des exemples d'anneaux infinis à caractéristique fini.
& si possible comment les caractériser?
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[invite6b1e2c2e]

Salut,

Je crois que le plus simple est
.
Le corps le plus simple à caractéristique finie est du même modèle:
.

__
rvz

[invitefb06c31d]

Salut,

Je crois que le plus simple est
.
Le corps le plus simple à caractéristique finie est du même modèle:
.

__
rvz

salut
merci pr ta réponse.
pr cet exemple je crois que p doit être premier non?
Pouvez vous me donner d'autres exemples.
@+

[memphisto]

Et meme plus, on peut remplacer les nombres premiers p par une puissance d'un nombre premier: . On obtient alors les corps finis ,
ce dernier étant le corps des racines du polynôme de , donc un corps de caractéristique p.

Ensuite on peut considérer l'anneau des polynomes en une indéterminée ,
puis le corps des fractions ,
que l'on préfère noter ;
cela exprime le fait que l'on considère le corps auquel on a rajouté un élément transcendant t (et oui, t ne vérifie aucune relation algébrique).

Maintenant prenons , considérons l'anneau des polynômes en une indéterminée sur ce corps (attention X est pas le meme que plus haut hein).
et enfin considérons le polynôme dans cet anneau.
Soit une extension algébriquement close de . Donc tous les polynômes sont dissociés dans . Donc admet une racine dans , i.e on a la relation: . Or puisqu'en caractéristique p on a toujours: , cela donne ici:
, et donc ce polynôme admet une racine unique de multiplicité 3.
Comme n'appartient pas à , le polynôme est donc irréductible dans .

On est donc en présence d'un polynôme qui a une racine triple est qui est néanmoins irréductible. On dit alors qu'il n'est pas séparable, de meme que le corps , que l'on dit non séparable car il existe au moins un polynôme qui ne l'est pas.

Enfin, puisque est irréductible, l'anneau:
est un corps, dans lequel est entièrement décomposé. On le note également , dans lequel on a à la fois un élément transcendant t, et un élément algébrique de degré 3 et non séparable .

[A voir en vidéo sur Futura]