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Les anneaux



  1. #1
    invite43219988

    Les anneaux


    ------

    Bonjour tout le monde, je révise les groupes et les anneaux en ce moment donc j'essaie de faire des exercices et il y a encore deux ou trois trucs sur lesquels j'ai du mal.

    Tout d'abord on nous demande souvent de considérer le seul morphisme de groupe de G dans G' ou de déterminer tous les morphismes de groupe de G dans G' et j'aimerais une méthode générale pour savoir de quoi il s'agit.

    Par exemple, on me dit de déterminer tous les morphismes Phi de Z/nZ dans (R,+) (n entier naturel non nul) et on me dit de considérer l'image de Phi pour m'aider.

    Je me dis Im(Phi) sous groupe de (R,+), or les seuls sous groupes de R sont le groupe trivial et R lui même.
    Et maintenant je fais quoi ????
    J'imagine qu'il faut se servir des cardinaux ou écrire qu'il existe un isomorphisme entre gnzreklgnzrhgzoei.
    Je n'y arrive pas !

    Et tant que j'y suis, la seule loi valable pour Z/nZ est-elle l'addition ?

    Autre problème :

    On note A=Z[i.racine(2)]={x+i.y.racine(2) ; x et y dans Z}

    Je dois montrer que si z appartient à A, alors |z|² appartient à N. Ok ça c'est pas dur.

    Maintenant je dois montrer que
    Z[i.racine(2)]*={ z appartient à Z[i.racine(2)] ; |z|=1 }

    Ce sous groupe est le groupe des unités de A. Ici je note |.| le module d'un nombre complexe.

    Comment montrer que ce maudit module de z vaut 1 ????
    J'ai tourné tout ça dans tous les sens, et je n'arrive à rien.

    Question suivante :

    Si je dis que la caractéristique de l'anneau
    Z/15Z x Z/21Z x Z/35Z est 11025, est-ce que j'ai juste ?


    Je dis que 15, 21 et 35 sont premiers entre eux, donc Z/15Z x Z/21Z x Z/35Z est isomorphe à Z/11025Z.
    Alors la, dans le cours, pour trouver la caractéristique d'un anneau A, il me dit de considérer l'unique morphisme de Z->A, donc ici de Z -> Z/11025Z

    Etant donné que Z/Ker(Phi) est isomorphe à Z/11025Z et que Ker(Phi) est de la forme aZ, j'en ai déduit que a=11025 et a est la caractéristique de Z/11025.

    Cela dit le seul morphisme dont il parle, c'est lequel exactement et pourquoi ?

    Dernière question pour la route :
    Résoudre X²=1 dans Z/nZ, ça veut dire quoi ?
    X appartient à Z/nZ ok, mais le 1 c'est le 1 des entiers ? Où c'est un 1 de Z/nZ de l'espace tadagatsouintsouin ?

    En fait je dois montrer que si n est premier, l'équation a deux solutions (exactement).
    Je me suis dis que j'allais faire un truc de cochon genre je crée un morphisme de Z/nZ dans (et là je sais pas... (Z/nZ)² ????), puis dire que l'image de mon morphisme est un sous anneau de mon image, donc utiliser le fait que son cardinal divise le cardinal de mon image pis magouiller avec le fait que n premier et gnégnégné et gnégnégné !!!


    Merci d'avance pour votre aide !
    Cordialement.

    Ganash

    -----

  2. #2
    martini_bird

    Re : Les anneaux

    Salut,

    bon on va reprendre calmement...

    or les seuls sous groupes de R sont le groupe trivial et R lui même.
    Et , c'est pas un groupe ? Et ses sous-groupes ? Et ? Et Et l'ensemble des nombres algébriques ? Et...

    on me dit de déterminer tous les morphismes Phi de Z/nZ dans (R,+)
    Bref, il s'agit ici d'une question d'intégrité : pour tout , alors que dans , il y a pas beaucoup de solution pour l'équation ...

    j'aimerais une méthode générale
    Désolé, mais je n'en connais pas, et je ne suis pas certain qu'elle existe seulement... C'est souvent du cas par cas, et il faut bien avouer qu'en général ça revient à chercher la propriété que le prof voulait te faire utiliser !

    Et tant que j'y suis, la seule loi valable pour Z/nZ est-elle l'addition ?
    Argh ! Il y a deux lois dans un anneau : en général, une addition et... une multiplication !

    Maintenant je dois montrer que
    Z[i.racine(2)]*={ z appartient à Z[i.racine(2)] ; |z|=1 }

    Ce sous groupe est le groupe des unités de A. Ici je note |.| le module d'un nombre complexe.

    Comment montrer que ce maudit module de z vaut 1 ????
    est le groupe (multiplicatif !) des éléments inversibles de : on cherche donc les telles que ... Il n'y en a pas 36 (mais 6 en tout).

    Je dis que 15, 21 et 35 sont premiers entre eux,
    Mais bien sûr ! Faut arrêter de faire des maths à 2h du mat' !

    Résoudre X²=1 dans Z/nZ, ça veut dire quoi ?
    Ca veut dire trouver tous les tels que .

    X appartient à Z/nZ ok, mais le 1 c'est le 1 des entiers ?
    Oui et non... 1 est le de , mais par abus de notation, on le note aussi 1 (et ça se justifie largement du fait de la surjection canonique ).

    En fait je dois montrer que si n est premier, l'équation a deux solutions (exactement).
    Je me suis dis que j'allais faire un truc de cochon
    Tu as déjà une solution, x=1, et l'autre n'est pas bien loin... Reste à montrer que ce sont les seules.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  3. #3
    invite43219988

    Re : Les anneaux

    Pom Pom Pom j'avoue qu'à 2 heures du mat' je suis moins réceptif aux maths
    Merci pour tes réponses :

    Et , c'est pas un groupe ? Et ses sous-groupes ? Et ? Et Et l'ensemble des nombres algébriques ? Et...
    Où avais-je la tête...

    Bref, il s'agit ici d'une question d'intégrité : pour tout a de Z/nZ , n.a=0 alors que dans , il y a pas beaucoup de solution pour l'équation nx=0...
    Je ne comprends pas.
    J'imagine qu'on écrit : (f morphisme de groupe)
    0=f(0)=f(a+n)=f(a)+f(n)
    Or dans R, f(a)+f(n)=0 implique f(a)=-f(n) et étant donné que f est un morphisme, f(a)=f(-n) ??? Donc
    a=-n ?
    Mais en quoi ça me donne mon unique morphisme ?
    Ils me disent dans l'exercice de considérer l'image de f mais je ne vois pas en quoi ça peut aider. Sauf si peut-être l'image de f est fini et dans ce cas Imf={0} ?

    Argh ! Il y a deux lois dans un anneau : en général, une addition et... une multiplication !
    D'accord mais Z/nZ pour la multiplication n'est pas un groupe ! SI... ?

    est le groupe (multiplicatif !) des éléments inversibles de : on cherche donc les telles que ... Il n'y en a pas 36 (mais 6 en tout).
    J'avoue que je n'ai pas réussi à trouver les 6
    (j'ai : c=a/(a²-2b²) et d=-b/(a²-2b²) )
    Cela dit, j'imagine qu'il est plus rapide de raisonner directement sur le module, je vais chercher un peu.


    Mais bien sûr ! Faut arrêter de faire des maths à 2h du mat' !
    Lol j'ai rien dit !

    Merci pour ton aide

  4. #4
    invite43219988

    Re : Les anneaux

    D'autre part, je trouve trois solutions à l'équation
    a² congru à 1 modulo n
    a=1
    a=-1
    a=n-1

    Késako ????

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    fderwelt

    Re : Les anneaux

    Citation Envoyé par Ganash Voir le message
    D'autre part, je trouve trois solutions à l'équation
    a² congru à 1 modulo n
    a=1
    a=-1
    a=n-1

    Késako ????
    Bonjour,

    Modulo n, -1 et n-1 c'est la même chose...

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  7. #6
    invite43219988

    Re : Les anneaux

    Lol c'est pas faux !
    Merci

  8. #7
    invite43219988

    Re : Les anneaux

    Rebonjour !
    Bon alors par exemple :
    x²=1 dans Z/6Z

    x=1 ou x=5 puisque 6|x²-1
    Mais maintenant, quand je remplace x par 1+6Z, j'obtiens :

    (1+6Z)²=1+12Z+36Z=1+12(Z+3Z)=1 +12Z
    Or je devrais trouver 1+6Z non ?

    Et sinon, comment montrer que si n=8, cette équation a quatre solutions sans les déterminer (les solutions) ?

  9. #8
    fderwelt

    Re : Les anneaux

    Citation Envoyé par Ganash Voir le message
    Rebonjour !
    Bon alors par exemple :
    x²=1 dans Z/6Z

    x=1 ou x=5 puisque 6|x²-1
    Mais maintenant, quand je remplace x par 1+6Z, j'obtiens :

    (1+6Z)²=1+12Z+36Z=1+12(Z+3Z)=1 +12Z
    Or je devrais trouver 1+6Z non ?
    Rebonjour,

    Pas tout à fait... 1+12Z est inclus dans 1+6Z. Ça montre juste qu'un élément de Z/6Z n'est pas toujours un carré modulo 6 (par exemple 2: x²=2 mod 6 n'a pas de solution).

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  10. #9
    homotopie

    Re : Les anneaux

    Citation Envoyé par martini_bird Voir le message
    est le groupe (multiplicatif !) des éléments inversibles de : on cherche donc les telles que ... Il n'y en a pas 36 (mais 6 en tout).
    Tu es sûr qu'il y en ait 6 Martini ? Perso j'en compte 2, je crois que tu confonds avec un de ses cousins. Ceci ne retire rien au mérite d'avoir débrouillé le 1er post, bien sûr.

    Module=1, si z est inversible il existe z' tel que zz'=1
    or le module et les produits vont bien ensemble, et de plus il a déjà été dit que les modules des éléments de Z sont des entiers naturels.

  11. #10
    homotopie

    Re : Les anneaux

    Citation Envoyé par Ganash Voir le message
    J'imagine qu'on écrit : (f morphisme de groupe)
    0=f(0)=f(a+n)=f(a)+f(n)
    Or dans R, f(a)+f(n)=0 implique f(a)=-f(n) et étant donné que f est un morphisme, f(a)=f(-n) ??? Donc
    a=-n ?
    Mais en quoi ça me donne mon unique morphisme ?
    Ils me disent dans l'exercice de considérer l'image de f mais je ne vois pas en quoi ça peut aider. Sauf si peut-être l'image de f est fini et dans ce cas Imf={0} ?
    Martini t'as parlé de f(n.a) et non de f(a+n).
    f(n.a)=f(a+a+...+a)=f(a)+f(a)+ ...+f(a)=n.f(a) (on fait une belle récurrence pour le démontrer proprement mais l'idée y est).
    Ici, n.a qui "vit" dans Z/nZ est nul chez celui-ci. Son image par f est donc nulle chez R.
    f(a) est dans R et pour satisfaire l'égalité précédente il faut que n.f(a)=0, il n'y a qu'une valeur qui convienne pour f(a) et c'est 0.
    Donc pour un morphisme f :Z/Nz ->R tout élément a de Z/nZ est envoyé sur 0, i.e. il n'y a qu'un morphisme de Z/nZ dans R c'est le morphisme trivial.

  12. #11
    invite43219988

    Re : Les anneaux

    Merci beaucoup pour ces explications, j'ai compris.

    Module=1, si z est inversible il existe z' tel que zz'=1
    or le module et les produits vont bien ensemble, et de plus il a déjà été dit que les modules des éléments de Z sont des entiers naturels.
    J'avais pensé à écrire zz'=1, puis appliquer le module mais la seule chose que j'obtienne, c'est :
    |z|.|1/z|=1
    |z|/|z|=1, ce qui est vrai pour tout z non nul.
    Alors après peut-être faut-il remplacer z par son expression algébrique mais j'ai essayé et je n'obtiens rien de très convaincant !

  13. #12
    homotopie

    Re : Les anneaux

    Citation Envoyé par Ganash Voir le message
    |z|.|1/z|=1
    |z|/|z|=1, ce qui est vrai pour tout z non nul.
    Ce que tu écris implicitement ici, c'est que l1/zl=1/lzl, certes c'est vrai pour tout z mais ici l1/zl n'est pas un réel quelconque par hyp. et lzl non plus.

  14. #13
    invite43219988

    Re : Les anneaux

    Il faut donc écrire
    z=x1+i.racine(2).y1
    1/z=(x1-i.racine(2).y1)/(x1²+2.y1²)

    Calculer le produit des modules qui vaut 1 et en déduire des conditions sur x1 et y1 ?
    Puis ensuite recalculer le module de z avec les conditions sur x1 et y1 et montrer qu'il vaut 1.

    Ca me semble trop fastidieux pour être la bonne méthode, je ne sais plus quoi faire !

  15. #14
    homotopie

    Re : Les anneaux

    Mais pourquoi te compliques-tu la vie?
    z est dans Z[ donc lzl entier
    1/z est dans Z[ donc l1/zl entier
    Que vaut le produit des deux entiers positifs lzl et l1/zl ? Y a-t-il beaucoup d'entiers capables d'un tel produit ?

  16. #15
    invite43219988

    Re : Les anneaux

    Ah bah oui je suis bête !!!
    Merci beaucoup !

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