Anneaux Noetheriens

[inviteff82db75]

Allo,
j'aurais deux petites questions concernant les anneaux noetheriens:

1 - Soit K un corps, je veux montrer que le sous-anneaux de K[X,Y] donné par: n'est pas noetheriens.

2 - Soit R un anneau commutatif noetherien. On veut montrer que est noetherien. On sais déjà que R[X] est noetherien par Hilbert basis theorem. On veut utiliser le fait que si il existe un entier k tel que

merci pour votre aide
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[inviteff82db75]

Juste un petit ajout, R est bien entendu supposé unitaire

[inviteca3a9be7]

Salut,

Un essai non garanti (j'ai lu il y a 10 min ce que c'était qu'un anneau noethérien ).

Si In est l'ideal engendré par , j=1..n, alors n'appartient pas à In (bicose les degrés tout ça). In est donc une suite strictement croissantes d'idéaux qui ne peut être stationnaire => blème.


Pour le deux, un essai aussi : Si In est suite croissantes d'idéaux de R[X,1/X] alors il existe une suite u(k) € IN telle que soit une suite croissante d'ideaux de R[X] qui est noéthérien (théorème de Bébert), u(k) est croissant (c'est +- clair). Elle est donc stationnaire, on repasse dans R[X,1/X] après.

[invite206bb45f]

Salut,

Un essai non garanti (j'ai lu il y a 10 min ce que c'était qu'un anneau noethérien ).

Si In est l'ideal engendré par , j=1..n, alors n'appartient pas à In (bicose les degrés tout ça). In est donc une suite strictement croissantes d'idéaux qui ne peut être stationnaire => blème.


Pour le deux, un essai aussi : Si In est suite croissantes d'idéaux de R[X,1/X] alors il existe une suite u(k) € IN telle que soit une suite croissante d'ideaux de R[X] qui est noéthérien (théorème de Bébert), u(k) est croissant (c'est +- clair). Elle est donc stationnaire, on repasse dans R[X,1/X] après.

Oui pour le 1. A mon avis un moyen est de regarder la difference des degres en X et en Y pour chaque monome d'un polynome de In : elle est toujours >0 et egale a 1 uniquement pour les monomes qui engendrent In, d'ou le resultat.

Pour le 2 par contre, ca semble louche, car je ne vois pas pourquoi u(k) existerait (exemple : In=R[X,1/X]. Un peu extreme mais si on veut des exemples moins triviaux on peut aussi). Par contre ce qui est vrai c'est que si I est un ideal de R[X,1/X] la suite d'ideaux de R[X] est stationnaire par Hilbert. Soit n l'indice ou la suite devient stationnaire et J l'ideal de R[X] correspondant. Par l'indication de l'enonce, tout element de I s'ecrit fois un element de J. C'est-a-dire que I est l'ideal engendre par J. Maintenant si j'ai une suite croissante In d'ideaux de R[X,1/X], j'ai une suite croissante d'ideaux Jn qui va avec, et que je peux prendre croissante. Par Hilbert, Jn est stationnaire et donc In aussi.
C'est peut-etre pas la meilleure solution, je n'y connais rien dans ce domaine.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite206bb45f]

\cap veut dire intersection, le TEX n'est pas passe pour une raison que j'ignore.

[invite206bb45f]

Je me suis un peu emmele les pinceaux dans mon post en essayant de m'inspirer du post precedent. C'est en fait plus simple que ca : par l'indication de l'enonce, tout ideal de R[X,1/X] est engendre par son intersection avec R[X]. Par ailleurs si In est une suite croissante d'ideaux de R[X,1/X], les intersections des In avec R[X] forme une suite croissante d'ideaux de R[X] qui est donc stationnaire puisque R[X] et noetherien. Donc In=<In inter R[X]> est aussi stationnaire ce qui veut dire que
R[X,1/X] est noetherien.