Questions sur les dimensions d'espace

[invite5c528e25]

Je me suis amusé à remplacer les deux dimensions d'un plan disposant d'un repère orthonormé classique (X,Y) par une seule dimension en prenant pour postulat que nous ne manipulons que des points tels que soit P un point du plan, soient (x,y) ses coordonnées dans le plan, x=x'*a et y=y'*a, (x',y') appartenant à Z et a une constante réelle.

Ainsi je n'ai plus besoin que d'une seule dimension pour définir un point du plan, la seule chose à savoir étant la méthode de construction de mon unique dimension dans le plan.
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[invite5c528e25]

Pour le plan, c'est assez facile puisqu'il suffit de spiraler en carré le plan en partant de l'origine;
soit P'(n) le point du repère A de dimension 1, n appartenant à N, soit P(x,y) un point du plan orthonormé se déplaçant le long de l'axe A depuis l'origine, voici ses coordonnées :

P'(0)=P(0,0) origine
P'(1)=P(a,0)
P'(2)=P(a,-a)
P'(3)=P(0,-a)
P'(4)=P(-a,-a)
P'(5)=P(-a,0)
P'(6)=P(-a,a)
P'(7)=P(0,a)
P'(8)=P(a,a)
P'(9)=P(2a,a)
P'(10)=P(2a,0)
...

[invite5c528e25]

Une jolie spirale carrée, quoi...

dans le même ordre d'idée je me suis penché sur la question mais en trois dimensions d'espace.
Je n'ai pas formalisé la description d'une dimension unique parcourant tous les points de l'espace 3D, si je puis dire, 'a-normé' (en référence au plus petit écart possible entre deux points adjacents).

Il me semble qu'il est possible de construire ce repère, tel un fil qui parcourerait l'espace en changeant de direction tous les 'a-points'.

Ma question est donc simple :

A-t-on déjà un résultat démontrant la possibilité d'une telle réduction de 3 dimensions à 1 seule dimension (sans qu'il y ait de possibilité pour qu'un point P(x,y,z) puisse avoir deux correspondances P'(n)=P''(m), n<m, n et m appartenant à N) ?

Si oui quelle en est la construction ?

Merci par avance !

[invite3bc71fae]

Quelle est l'image de P(-a/2, -a/2) ??

A moins de n'avoir pas compris ce que tu voulais faire ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5c528e25]

Soit x=-a/2 et y=-a/2 => x=-1/2a , y=-1/2a
Selon la définition donnée dans mon premier post, tout point P(x,y) du plan, respectant la règle x=x'*a et y=y'*a, a constante réelle et {x',y'} € Z (ensemble des entiers relatifs) peut trouver ses coordonnées uniques dans le repère A de dimension 1 (défini par la suite).

Mais dans l'exemple de x=-1/2*a , y=-1/2*a on pourrait identifier x'=-1/2 et y'=-1/2 or ni x' ni y' n'appartiendraient à Z; donc le point P(-a/2;-a/2) n'est pas un point du plan qui bénéficie de coordonnées dans A.

Cela étant, on pourrait très bien résoudre le problème d'une autre manière si a n'était pas définie au départ; auquel cas je pourrais utiliser b, une constante dans R telle que b=1/2*a => x=-1/2*a=-1/2*2*b=-b et y=-b.
A serait donc construit non plus selon la constante a mais selon la constante b, ce qui ne fait que déplacer la solution. La question restant toujours d'actualité dans 3 dimensions.

[invite5c528e25]

J'en profite pour donner un éclairage complémentaire à la question principale (si ça n'était pas clair):

Je souhaite savoir en fait s'il existe une construction de la dimension unique A telle qu'elle décrive tous les points de l'espace 'a-normé' sans qu'il n'existe un point P(x,y,z) dont la correspondance, dans le repère A, P'(n) soit unique (bijection en somme).

Le problème me faisait un peu penser au problème de faire un dessin en passant par tous les points, sur une feuille de papier, une et une seule fois seulement mais en 3 dimensions.

Si le résultat existe il m'intéresse pour une autre question relative à d'autres disciplines.

[invite5c528e25]

Suite à une réflexion personnelle sur cette construction du plan, je me demandais aussi s'il n'est pas possible de considérer que tout point P(x,y) du plan peut être décrit sur A, pour peu que l'on choisisse un a (constante réelle) suffisament petit (en fait lorsque a tend vers 0).

Y a-t-il un défaut dans ce raisonnement ?

Cela étant, je souhaite surtout qu'il y ait une réponse sur le problème posé en 3 dimensions, voire en n-dimensions par extension.

[invitea0046ad4]

Bonjour

il me semble avoir vu (il y a longtemps) une démonstration que le plan R² était équipotent à R (ce qui est intuitivement assez surprenant : il y a "autant" de points sur R que dans le plan R²).
Si R² est en bijection avec R, ça doit pouvoir se généraliser à Rn par récurrence.

En réfléchissant un peu, cette idée peut avoir des conséquences assez amusantes en physique.

[invite9e95248d]

R est en bijection avec [0,1] c'est déjà bien surprenant
mais avec R^2 ça m'étonne un peu
Qqun aurait la démo ?

[invitea0046ad4]

Ca y est, j'ai retrouvé la référence : Cantor a démontré en 1878 que R2, et même Rn, était en bijection avec R !

http://assoc.wanadoo.fr/revue.de.livres/cr/belna.rtf

[mtheory]

Ca y est, j'ai retrouvé la référence : Cantor a démontré en 1878 que R2, et même Rn, était en bijection avec R !

http://assoc.wanadoo.fr/revue.de.livres/cr/belna.rtf

Salut , je ne me souviens plus bien mais cela pose un problème sur la définition de la dimension d'un objet géométrique puisqu'il existe une bijection entre R et Rⁿ .
La solution,dont je ne suis plus sur et d'exiger un bijection bicontinu sinon la dimension n'est plus un invariant et on a un big problème.
Des conditions de différentiabilités ne sont pas exigées ce me semble et on tombe alors sur les phénomènes associés aux dimensions non entières avec les fractales.
Il y a aussi des trucs incroyables comme le paradoxe de Banach-Tarski lorsque l'on applique la théorie de la mesure et l'axiome du choix (ou pas?).
En gros ,et si je me souviens bien ,si je découpe une orange en un nombre finis de parties je peux,sans déformations,recomposer continuement un volume de la taille du soleil.
Enfin un truc comme ça.
Y a t-il un mathématicien de passage pour infirmer/confirmer?

[mtheory]

J'ai trouvé deux bonne références en français sur le paradoxe de BT.

Jugez sur pieces!

http://www.prepas-victorhugo.com/mat.../hausdorff.htm

http://www.umpa.ens-lyon.fr/JME/Vol1...AReissman.html

[invitea0046ad4]

Waou ! Effectivement !
Je ne regarderais plus jamais les puzzles du même oeil. J'ai bien toujours pensé qu'il y avait quelque chose de diabolique dans les puzzles.
Au commencement, un démiurge mélangea les pièces et depuis essaye vainement de reconstituer la figure.

Les philosophes firent des systèmes et les physiciens s'interrogèrent sur l'expansion de l'univers....

Sinon, pour R=Rn :
Finalement, pas la peine de se compliquer la vie avec un univers à 4, 11 ou 26 dimensions : les mathématiciens nous diraient qu'une seule suffit

D'où les définitions mathématiques :
Espace-temps : nom donné à R par les physiciens
Particule : point de R
Physique : étude de la topologie et autres propriétés de R et de certains ensembles de points
Physicien : mathématicien dévoyé

Bye et bon week-end
A+

[invite5c528e25]

Cela dit je ne suis pas sûr d'avoir ma réponse...

Le fait qu'il existe une bijection entre R et Rn implique-t-il que je puisse effectivement construire un repère de dimension 1 passant par tous les points de l'espace 'a-normé', une et une seule fois ?
Si oui, quelle en est/sont la/les construction(s) ?

[mtheory]

Cela dit je ne suis pas sûr d'avoir ma réponse...

Le fait qu'il existe une bijection entre R et Rn implique-t-il que je puisse effectivement construire un repère de dimension 1 passant par tous les points de l'espace 'a-normé', une et une seule fois ?
Si oui, quelle en est/sont la/les construction(s) ?

La courbe de Peano passe arbitrairement près de tout les points d'un domaine carré(si je me souviens bien).C'est un exemple typique quand on parle des fractales et des difficultés de définition de la dimension.
Cela t'aide t'il ?

Zut j'ai oublié tes premiers posts ,je vais chercher

[invite5c528e25]

Bon, en attendant ma réponse je peux effectivement dire le pourquoi de cette idée.

Son application (ou implication) en physique serait de savoir comment on peut être certain de l'existence de 3 dimensions d'espace, car si l'on peut remplacer 'artificiellement' un repère dans l'espace par un équivalent à une seule dimension, quel intérêt (sinon de travail mathématique) de déclarer qu'il y a trois dimensions d'espace ?

Pourquoi ai-je introduit la constante a € R ?

Tout simplement parce que l'on pourrait considérer que a soit la dimension de Planck, soit a=1,6.10^-35 m, distance en deçà de laquelle on ne peut physiquement receuillir aucune donnée.
Dans ce cas, que ce soit en deux ou trois dimensions, on pourrait réduire la description de tout point P(x,y,z) dans A, repère de dimension 1, passant par tous les points de l'espace 'a-normé', en gros l'espace quantifié, ce qui semble être le cas réel en physique.

Tout se passerait comme si l'espace était tramé et que l'écart minimal entre ses points soit la distance de Planck. Une seule dimension suffirait pour décrire tous les points de cet espace (si la réponse à ma question initiale est 'oui').

Le résultat serait-il applicable pour le reste des dimensions qui parcoureraient notre monde physique ? mais là le débat se ferait plutôt dans un autre forum...

[mtheory]

Bon, en attendant ma réponse je peux effectivement dire le pourquoi de cette idée.

Son application (ou implication) en physique serait de savoir comment on peut être certain de l'existence de 3 dimensions d'espace, car si l'on peut remplacer 'artificiellement' un repère dans l'espace par un équivalent à une seule dimension, quel intérêt (sinon de travail mathématique) de déclarer qu'il y a trois dimensions d'espace ?

Pourquoi ai-je introduit la constante a € R ?

Tout simplement parce que l'on pourrait considérer que a soit la dimension de Planck, soit a=1,6.10^-35 m, distance en deçà de laquelle on ne peut physiquement receuillir aucune donnée.
Dans ce cas, que ce soit en deux ou trois dimensions, on pourrait réduire la description de tout point P(x,y,z) dans A, repère de dimension 1, passant par tous les points de l'espace 'a-normé', en gros l'espace quantifié, ce qui semble être le cas réel en physique.

Tout se passerait comme si l'espace était tramé et que l'écart minimal entre ses points soit la distance de Planck. Une seule dimension suffirait pour décrire tous les points de cet espace (si la réponse à ma question initiale est 'oui').

Le résultat serait-il applicable pour le reste des dimensions qui parcoureraient notre monde physique ? mais là le débat se ferait plutôt dans un autre forum...

Il y a des idées dans ce genre depuis les années 30.Aujourd'hui la gravitation en boucle de Ashtekar/Rovelli/Smolin repose sur le caractère 'granulaire' de l'espace-temps.(Plus si j'ai le temps! )
Sinon j'ai trouvé ceci:

http://www.yikes.com/~dgies/space_curve.pdf

[invite5c528e25]

Oui effectivement, cela semble prouver qu'il est donc possible de décrire un espace à 3 dimension en 1 dimension pour peu que l'on découpe chaque fragment d'espace régulièrement, ce qui est effectivement le cas dans mon problème.

Dans l'hypothèse de ce résultat acquis, je vais déplacer la discussion vers le Topic de physique...

Merci encore mtheory !

[invite5c528e25]

La suite en physique c'est par ici :

http://forums.futura-sciences.com/sh...532#post126532

[invite3f7c70f2]

Bonjours, tout d'abord n'y voyer point d'ostillité je cherche juste à corrigé ce me semble faut...

Je me suis efforcé de comprendre où était le bug. Me semble t'il, la démonstration est du même ordre que 1=2 à un niveau plus élevé.

Un point d'accroche:

Définition : On appelle dimension d'un R-ev la dimension d'une base de ce R-ev(Toutes les bases d'un Ev ayant le même nombre d'éléments (*) , c'est démontré)

(R^n,+,.R) est un R-Ev donc dim R^n = n. De même, Dim R^1=1.
(mathématiquement pas besoin d'allez plus loin)

De plus, slimounet va plus tard si je ne me trompe pas assimilé l'espace engendré par la spirale (noté maintenant An) un R-ev: faut (a/2,a/2,.........,a/2) n'appartient pas à A et 1/2 appartient à R (on n'a pas la stabilité du groupe par R.)

Pour continuer, passons nous de la continuité de l'espace mais cessons d'appeler ca R^n.

En effet, Slimounet propose la construction d'un repère à partir d'une spirale pour y d'écrire chaque point de R^2 (en locurence A)grace à un unique paramètre n. Là pas de problème.

L'ensemble décrit est A={(x1,x2) appartenant à R^2 tel qu'il existe k, k' appartenant à Z tel que x1=ak et x2=ak'}.(vivent les quantificateurs)
(Je précise ca car les résultats découle à mon avis d'un manque de rigueur.)

Or (A,+,.R) n'est pas un Ev il n'est pas stable par R.

Quand bien même essayons de généralisé mathématiquement, la définition de la dimension à quelque chose qui n'est pas un Ev...(c'est pas du gateau et je promet rien):
Donc s'il y a a redire c'est là; je propose:
Comme Pour un R-ev la dimension est la dimension de la base, dans un espace décrit de manière quelquonque est le nombre d'éléments nécessaire et suffisant pour exprimé de manière unique sur chaque base (c'est la où j'ai un doute: * découle des props de l'eV).


Cela ne change la faute est toujours repèrable:
Le théorème dis :
Il existe au moins une bijection de R dans R^n pas de problème soit p:R--->R^n une telle bijection
X--->(x1,x2,......,xn)

Erreur : donc dim R = dim R^n.
C'est faut: on fait là un changement de repère on ne change rien à la dim surtout pour un Ev (sinon ce n'est plus un changement de repère)
Or on a montré dim R=1 et dim R^n = n avec la définission commune de la dimensio.

L'erreur réside dans le mélange des notions base paramètre (que j'ai comise par imprécision sur le forum physique).
Le repère pour R^2 classique c'est les axes ("la dimension c'est le nombre d'axes", le nombre de vecteur necessaire pour décomposé de manière unique chaque vecteur de R^2 sur cette base)
Or, n est un paramètre et non un vecteur.
Soit N l'ensemble des entiers certes P(N)=A.(image de N par la spirale). LA SPIRALE EST LE REPERE. On décrit le repère classique par DEUX vecteurs de R^2. De là on dis dim R^2 = 2
Par analogie, avec combien de vecteurs de N peut on décrire la spirale? 1 seul? ce serait surprenant la spirale est définie par une suite pas facille à conjecturé tout de même... ni même à décrire sans la représentation visuelle.

Bref, globalemment je pense que les maths se porte mieux quand les définitions de bases sont précise et les principes solides. La notion de dim dans les R-ev apporte tant de facillité et de résultat qu'il serait génant de sans séparer. La physique utilisant les maths est toujours basé sur des résultats découlant de définition précise et solide. Comment établir le liens entre les dimensions, pire le modifié efficassement sans redéfinir la notion de dimension?
Désoler d'avoir été long mais il me semble qu'a chercher la simplicité où elle ne peut être on perd notre temps ("seek simplicity, but not simpler" A Einstein "cherche la simplicité, mais pas plus simple")

Amicalement, en espèrant avoir enfin permis à slimounet de voire ce qui n'allait pas sans être trop long bien que j'aie réduit... @+

[invite5c528e25]

Alors je ne trouve pas l'exposé très clair mais je prend le parti de vérifier les définitions des dimensions afin de confronter ma proposition aux définitions mathématiques car tu as entièrement raison sur ce point, il est nécessaire de travailler avec des bases claires pour éviter les erreurs.

Cela étant, tu as fait quelques confusions entre ce que j'ai dit et ce que d'autres m'ont prêté :

De plus, slimounet va plus tard si je ne me trompe pas assimilé l'espace engendré par la spirale (noté maintenant An) un R-ev: faut (a/2,a/2,.........,a/2) n'appartient pas à A et 1/2 appartient à R (on n'a pas la stabilité du groupe par R.)

Je démontrais plus tard justement qu'en tenant compte de mes définitions il ne fallait pas inclure 1/2 puisque 1/2 n'appartient pas à Z (et non pas R en suivant ma définition claire de x' tel que x=x'.a).

Je vais donc me replonger dans les définitions des dimensions.

A suivre...