Idée sur les dimensions d'espace réel

[invite5c528e25]

Suite à un topic lancé ici :

http://forums.futura-sciences.com/sh...d=1#post126521

Sur la base de résultats qui semblent attester la possibilité de décrire un espace de 3 dimensions (par extension, n-dimensions), je me demande comment être sûr de l'existence réelle des 3 dimensions d'espace avancée par la physique classique.

En effet, en découpant l'espace en cubes de a-mètres de côté, il est possible de passer par tous les cubes (donc de décrire tous les points de l'espace) une et une seule fois, c'est à dire de réduire à une seule dimension d'espace, un repère de 3 dimensions.

Si l'on prend a=1,6.10^-35 m (distance de Planck), on est en droit de se demander si l'on a réellement besoin de 3 dimensions d'espace, sinon dans le coté pratique des équations manipulées.
Par extension à n-dimensions, mais restons à n=4 (3 espace + 1 temps), et en prenant a=5,39.10^-44 (<<1,6.10^-35), on pourrait décrire tous les points de l'espace-temps physique dans une seule dimension.

Est-ce plausible ?
Y a-t-il des résultats démontrant la réalité physique irréductible des 3/4 dimensions décrites aujourd'hui ?
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[invite3f7c70f2]

salut
En fait, cette idée de réduire à une seule dimension l'espace me choque...
Je ne sais déjà pas si on peu parler de réalité d'une dimension, en fait le nombre de dimension de l'espace qu'on connait dépend des propriété qu'on veut y décrire. (j'entend le mot dimension comme le nombre de paramètre necessaire et suffisant pour décrire l'espace.)

De plus, même en prenant des cubes pour décrire R^3, il faudrait garder la notion de direction avec un seul parmamètre variable comment dire je vais sur le cube de droite puis celui de gauche puis en haut... au mieux on décrit un cercle.
Je pense qu'on peut affirmer qu'on a bien au moins 3 dimensions géométriques, on peut en rajouter une pour la charge, ... et toute grandeur supplémentaire qu'on ne peut pas écrire en fonction des autres... Certe peut être qu'on voit pas directement les liens mais au moins pour décrire une position dans R^3 on en a besoin d'au moins 3 (R^3 est appelé ainsi parce qu'il est de dimension 3). Eclaire moi si je ne suis pas vraiment ton idée.
Par contre, je pense qu'on peut pas affirmer que le nombre de dimension et limité, on peut concevoir qu'on soit dans un espace inclus dans un autre plus vaste ou déroule plus de phénomène qui nous échappe.... Qu'en penser vous?

[invite5c528e25]

Le fait d'être choqué par une construction à priori bizarre d'une dimension décrivant l'espace a-normé me choque tout autant puisque rien ne détermine une dimension réelle à devoir suivre une droite rigoureusement... droite. L'objet mathématique d'un repère à 3 composantes réelles (R^3 effectivement) n'est pas forcément applicable au domaine réel (réalité physique). Il ne semble pas que notre espace soit défini de manière continue comme sur un ensemble réel mathématique R, mais plutôt ponctuel ou discret, les dimensions de Planck semblant en être les plus petites unités.

De fait, la théorie de la relativité démontre la non-linéarité des dimensions d'espace et de temps, conditions sine qua non pour justifier une constance de la vitesse de la lumière.

De fait, il me semble que ma question reste pertinente.

Mais je suis très curieux de savoir si je me trompe et pourquoi je me trompe le cas échéant.

[invite5c528e25]

Pour reprendre un peu la controverse de Bret, je dirais qu'à partir du moment où l'on dispose de l'information de la construction réversible d'un repère à une dimension dans un espace qui en contient 3, et que l'on décide (mathématiquement parlant) ou que l'on constate (physiquement parlant) que tous les points 'utiles' sont déscriptibles dans un espace a-normé (où a € R est tel que pour tout P(x,y,z) point utile ou réel physiquement, il existe {x',y',z'} € Z tel que x=x'.a , y=y'.a , z=z'.a) il est possible de se passer des trois dimensions d'espace et de décrire tout point utile P'(n) de A, n € N
(cf. construction présentée dans le topic mathématique : http://forums.futura-sciences.com/s...ed=1#post126521)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5c528e25]

L'idée c'est que je souhaite faire une distinction entre espace mathématique (continu) et espace physique (ponctuel, de typa a-normé, ou plutôt a-ponctué).

Et dans ce cas précis, je ne vois pas d'utilité, sinon pour manipuler l'objet mathématique, d'utiliser 3 ou 4 dimensions d'espace ou de temps quand on peut tout décrire avec une seule !

[invite5c528e25]

J'irai même plus loin dans l'idée en utilisant une analogie très claire et à propos :

L'ordinateur !

Lorsque l'on numérise un signal analogique, on ne peut utiliser que des signaux ponctuels, donc discontinus pour décrire un phénomène que l'on considère comme continu (un son par exemple).

On va donc découper en tranches plus ou moins fines, selon le type de signal présupposé (ou utile), les dimensions dans lesquelles s'exprime le signal, dont une de temps (toujours pour le son, une dimension de temps, la fréquence, une dimension d'intensité, le décibel ou db codé en nombre de bits).
Ainsi on va pouvoir encadre le signal suffisament précisément pour qu'il nous apparaisse réaliste, tout en sachant que ce n'est qu'une approximation.

Mais où en est la limite ?

La physique quantique tend à montrer que numériser un signal ne pourra se faire théoriquement que jusqu'à une certaine limite, limite de temps de Planck (5,39.10^-44 s), limite d'espace (1,6.10^-35 m). Et l'on peut estimer qu'une numérisation faite à cette précision saura décrire parfaitement un signal physique.
Descendre en deça n'aurait vraisemblablement pas sens, voire pas de possibilité physique.

Je pousse encore l'analogie avec l'ordinateur, mais si l'on considère un disque dur comme un espace à deux dimensions de forme circulaire concentrique, les seules point utiles sont les bits de données 0 ou 1 qui s'enchaînent à la queue-leu-leu, en spirale.
On voit que même là, on pourrait se passer de l'espace plan circulaire, puisqu'un fichier pourrait potentiellment être décrit comme étant une portion de la spirale de 0 et de 1, sa position déterminée par le nombre de bits à parcourir avant qu'il ne commence (on oublie les problèmes inhérents à Windows de fragmentation), et le nombre de bits à parcourir avant qu'il ne soit terminé, comme un intervalle sur une droite !

Pourtant, s'il s'agit d'un fichier décrivant un objet en 3D sur Autocad, on doit admettre que l'on a réussi à décrire un objet s'exprimant en trois dimensions sur une seule dimension !

Mais ma question principale reste...

[invite3f7c70f2]

re
Suis toujours pas convaincu et ne demande qu'a l'être... Peut être est ce un manque de culture?
Que représente exactement ces limites de temps et d'espace? l'analogie avec la numérisation n'arrange pas mon cas car ce sont des limites me semble t'il purement technique lié au "micro fonctionnement du numérique".
Est-ce le plus petit temps et la plus petite longueur qui existe physiquement?
Par contre, afin de t'éviter de perdre ton temps suis qu'en prépa alors si tes propos ne peuvent que me dépasser dis le sans pitié et tous deux nous gagnerons du temps sinon poursuivons...
Qu'entends tu par nécessaire pour décrire?
Tout dépend à mon avis (restons prudent) de ce qu'on veut décrire:
Pour décrire un phénomène électrostatique : peut on attribué une charge à ses petits cube? Si oui, Comment décrire l'évolution de celle ci.
Pour reprendre l'EV a-normé, x' y' et z' peut on s'en passer
il y a un (x',y',z')€R^3 pour chaque point => il faut et il suffit d'y donner 3 coordonnée => 3 dimensions...
Décomposer x en x'a, y en y'a, ...avec a€R ne change pas le nombre de paramètre. si? Pour exprimé un autre point ne faut il pas (x'',y'',z'')?
(Ps le lien du forum math est mort)

[invite8c514936]

Je vois ce que tu veux dire Slimounet, c'est vrai qu'on peut ranger l'info d'un espace a trois dimensions dans un espace plus petit, mais la realite physique des dimensions ne reside pas la. Il y a plusieurs phenomenes physiques relies directement au nombre de dimensions de notre espace. Pour n'en citer que quelques-uns qui me passent par la tete :

1/ La solution de l'equation de Poisson pour le champ electrostatique est en 1/r², et c'est un fait peu conteste que les forces electrostatiques decroissent effectivement comme ca avec la distance.

2/ La capacite calorifique molaire d'un gaz monoatomique vaut 3R/2, et la physique statistique nous dit que chaque degre de liberte d'un systeme contribue molairement pour R/2. Ici les degres de liberte sont spatiaux, d'ou 3 dimensions.

3/ Si on range les informations 3D dans un espace plus petit (comme sur un disque dur), des points qui etaient voisins a l'origine seront ranges loin les uns des autres. Si un etre qui vit dans le disque dur (appelons-le un nerd...) essaie d'ecrire les lois de la physique dans son monde, elles seront d'une part extremement plus compliquees, mais surtout non-locales, ce qui est un peu embetant (oui, je sais, il est possible que deja dans notre monde 3D les lois de la physique ne soient pas locales... Je n'ai pas dit que nous etions des nerds sur le disque dur d'un monde a plus de dimensions ! ).

Il y a surement d'autres observations physiques au moins aussi pertinentes pour "compter" les dimensions, j'y reflechis encore...

[invite5c528e25]

Je vois ce que tu veux dire Slimounet, c'est vrai qu'on peut ranger l'info d'un espace a trois dimensions dans un espace plus petit, mais la realite physique des dimensions ne reside pas la. Il y a plusieurs phenomenes physiques relies directement au nombre de dimensions de notre espace. Pour n'en citer que quelques-uns qui me passent par la tete :

1/ La solution de l'equation de Poisson pour le champ electrostatique est en 1/r², et c'est un fait peu conteste que les forces electrostatiques decroissent effectivement comme ca avec la distance.

Le fait est que l'on utilise des équations mathématiques pour décrire des phénomènes réels; cependant on utilise des variables comme si elles étaient réelles c-à-d dans R. Or on devrait écrire toutes les équations avec une restriction sur les variables, à savoir que toute variable de l'espace réel est multiple de la distance de Planck (valable pour le temps de Planck) c'est à dire qu'il y a une infinité de valeurs mathématiques qui n'ont aucune existence dans le monde réel puisqu'une fonction mathématique continue et bijective, par exemple, sur un intervalle donné de R décrit une infinité de points, ce qui n'est pas vrai dans la définition du monde réel. Seuls les points de l'espace R³ tels que leurs coordonnées (x,y,z) puissent être des multiples de 1,61.10^-35 (ou x=x'.1,61.10^-35 , y=y'.1,61.10^-35 , z=z'.1,61.10^-35 , {x',y',z'} € Z) ont une existence.
Cela dit, bien entendu que nous nous servons de variables réelles pour résoudre les équations de Poisson notamment car cela n'a que peu ou pas d'incidence sur le résultat, puisque les résultats sont d'échelle macroscopique. Si l'on devait être très rigoureux on devrait dire que seuls les points définis dans un repère de Planck sont valables dans les équations.

Enfin la notion de distance existe tout à fait en une seule dimension.

2/ La capacite calorifique molaire d'un gaz monoatomique vaut 3R/2, et la physique statistique nous dit que chaque degre de liberte d'un systeme contribue molairement pour R/2. Ici les degres de liberte sont spatiaux, d'ou 3 dimensions.

Même réflexion que plus haut; ce n'est pas parce que nous manipulons des équations avec des variables réelles que toutes les solutions sont valables dans le monde réel. Il y en a une infinité à éliminer.

3/ Si on range les informations 3D dans un espace plus petit (comme sur un disque dur), des points qui etaient voisins a l'origine seront ranges loin les uns des autres. Si un etre qui vit dans le disque dur (appelons-le un nerd...) essaie d'ecrire les lois de la physique dans son monde, elles seront d'une part extremement plus compliquees, mais surtout non-locales, ce qui est un peu embetant (oui, je sais, il est possible que deja dans notre monde 3D les lois de la physique ne soient pas locales... Je n'ai pas dit que nous etions des nerds sur le disque dur d'un monde a plus de dimensions ! ).

Comme je l'ai dit, essayons d'éviter l'écueil de la fragmentation des données d'un disque dur géré par Windows qui est un cas particulier.

Mais même encore, un disque dur n'est qu'une succession de bits, que l'on pourrait qualifier de bit-normé. Tout bit peut être défini selon sa distance à l'origine avec une seule variable b relative au nombre total de bits le séparant du bit d'origine, soit un repère à une dimension.
Bien entendu, pour avoir une information complète sur le bit b on pourrait avoir besoin d'une dimension supplémentaire, à savoir la 'masse' du bit (0 ou 1). On pourrait dès lors créer un repère de dimension 1 passant par tous les points possibles d'état pondéré en restant dans un repère de dimension 1 mais comprenant 2 fois plus de degrés.

Quant à l'idée de réécrire les équations dépendantes des variables x, y et z (voire t) en degré sur le repère A de dimension 1, bien entendu que je ne pense pas à priori qu'elles seraient plus simples (elles dépendraient de la construction de A dans R³ et il me semble qu'il n'y a pas qu'une seule solution de construction possible), mais pour autant cela n'invalide pas leur viabilité; ce n'est pas parce que ça n'est pas très pratique que ça n'est pas vrai pour autant.

Il me semble que ma question reste d'actualité, non ?

[invite8c514936]

Seuls les points de l'espace R3 tels que leurs coordonnées (x,y,z) puissent être des multiples de 1,61.10-35 (ou x=x'.1,61.10-35 , y=y'.1,61.10-35 , z=z'.1,61.10-35 , {x',y',z'} € Z) ont une existence.

Houla non !! La distance de Planck a certes une définition précise en terme de constantes physiques, mais ce n'est pas du tout la "brique élémentaire" des longueurs qu'on peut construire ! Le fait que les effets quantiques sont censés se mêler aux effets gravitationnels sur cette échelle n'implique pas du tout que les coordonnées spatiales sont discrètes ! Toute la physique, y compris celle qui conduit à introduire cette échelle de Planck, est basée sur des coordonnées continues.

N'étant pas d'accord avec les premières phrases de ton dernier message, je réserve mes autres commentaires sur la suite.

[mtheory]

Bonjour tout le monde.
Comme je l'ai indiqué à slimounet je reviens dans la discussion.
Il y a des résultats ,dans l'approche d'Ashtekar et all pour la gravitation quantique ,montrant que les spectres des opérateurs de longueurs,aires,volumes sont discrets en relation étroite avec la longueur de Planck.

http://xxx.lanl.gov/PS_cache/gr-qc/pdf/9901/9901023.pdf

Bojowald a obtenu des choses très intéressantes en cosmologie quantique récement en utilisant cette géométrie quantique discrète


Il y a aussi ,d'après moi, des résultats/indications en ce sens dans la géométrie non-commutative de Connes.
Certains papiers de 't Hooft vont aussi dans la même direction.

[invite8c514936]

Je prends bonne note de ces remarques, mtheory.

Cependant, il ne faut pas en déduire que l'existence d'une longueur de planck induit une discrétisation des coordonnées d'espace ! Qu'on puisse approcher la gravitation quantique avec des coordonnées discrètes c'est une chose que j'accepte volontiers, que la gravitation quantique implique cette discrétisation serait un pas qui ne me semble absolument pas aller de soi... On est d'accord ?

Pour être très conservateur, la longueur de Planck est un nombre obtenu en mélangeant deux théories dans lesquelles les coordonnées sont continues, et tant qu'on ne sait pas faire de la gravitation quantique, il me semble hasardeux d'en dire plus !

[mtheory]

Je prends bonne note de ces remarques, mtheory.

Cependant, il ne faut pas en déduire que l'existence d'une longueur de planck induit une discrétisation des coordonnées d'espace ! Qu'on puisse approcher la gravitation quantique avec des coordonnées discrètes c'est une chose que j'accepte volontiers, que la gravitation quantique implique cette discrétisation serait un pas qui ne me semble absolument pas aller de soi... On est d'accord ?

Pour être très conservateur, la longueur de Planck est un nombre obtenu en mélangeant deux théories dans lesquelles les coordonnées sont continues, et tant qu'on ne sait pas faire de la gravitation quantique, il me semble hasardeux d'en dire plus !

Je suis désolé si mon post implique que les résultats obtenus sont des démonstrations reconnues par tous et que la cause est entendu
Je ne prétends pas comprendre parfaitement ni maitriser la gravitation en boucle de l'école d'Ashtekar ni quoi que ce soit d'ailleurs.
Toutefois comment interprétes-tu,comme indiqué dans le papier d'Ashtekar,qu'on ait obtenu des opérateurs d'aire,de volume et apparement de longeur avec un spectre discret?
Que ce soit utiliser pour suggérer avec plus de force qu'on à là un cutoff naturel pour les divergences?

[invite5c528e25]

Pourtant deep_turtle, quelque soit la réalité, discrète ou continue, ma question n'est pas pour autant dénuée de sens, puisque je peux tout à fait décider arbitrairement de prendre une constante a aussi petite que souhaitée, telle que toute description dans R³ puisse s'exprimer dans A.

On pourrait même considérer que lorsque a tend vers 0, A décrit R³ c-a-d tous les points de l'espace.

Ma question reste donc pertinente au sujet de la "réalité" ou du besoin du réel des dimensions qu'on lui impose aujourd'hui.
Est-ce bien nécessaire ? Dans quelle mesure ?

Enfin, il resterait à expliquer un paradoxe si notre espace est bel et bien continu, paradoxe évoqué il y a déjà quelques milliers d'années : une particule qui se déplace d'un point A vers un point B doit nécessairement parcourir au moins la moitié de cette distance, et pour atteindre cette moitié elle doit nécessairement parcourir le quart de la distance AB, et ainsi de suite... certains philosophes de la Grèce antique en déduisaient que la particule ne pourrait tout simplement jamais bouger. Ils raisonnaient comme si l'espace à parcourir était continu et dans cette hypothèse il est clair qu'une particule qui devrait parcourir tous les points d'un segment continu pour aller vers un point distant mettrait un temps infini pour avancer.

La réalité nous impose un saut de proche en proche des particules, quand bien même l'espace entre les deux points serait susceptible de contenir lui aussi tôt ou tard une particule.

Je ne nie pas à priori la possibilité qu'un espace puisse accueillir en tous ses points une particule, mais je constate qu'une particule ne peut se déplacer que dans un espace normé relativement à elle-même ce qui conserve d'ailleurs le principe de relativité. Et dans ce cadre ponctué l'idée de décrire tout l'espace potentiel de cette particule grâce à une seule dimension me semble possible et revient à ma question...

[invite8c514936]

Je suis désolé si mon post implique que les résultats obtenus sont des démonstrations reconnues par tous et que la cause est entendu

Non ton message était sans doute assez clair, c'est moi qui suis un peu parano et qui ai voulu mettre les choses a plat !

Toutefois comment interprétes-tu,comme indiqué dans le papier d'Ashtekar,qu'on ait obtenu des opérateurs d'aire,de volume et apparement de longeur avec un spectre discret?

C'est très intéressant en effet. Le problème est bien posé dans l'intro :

"Experience has taught us that the presence of a distinguished scale in a physical theory often marks a potential transition; physics below the scale can be very different from that above the scale. Now, all of our well-tested physics occurs at length scales much bigger than than ℓ_p. In this regime, the continuum picture works well. A key question then is: Will it break down at the Planck length? Does geometry have constituents at this scale? If so, what are its atoms? Its elementary excitations? Is the space-time continuum only a ‘coarse-grained’ approximation? Is geometry quantized? If so, what is the nature of its quanta?

La réalité nous impose un saut de proche en proche des particules, quand bien même l'espace entre les deux points serait susceptible de contenir lui aussi tôt ou tard une particule.

On est d'accord sur ce point, mais la dimensionnalité de l'espace concerne précisément les positions potentielles des particules, non ? Tu sembles parles de l'"atomicité" de la matière pour justifier une discrétisation de l'espace... Mais j'ai sans doute mal compris, car déjà je ne vois pas du tout pourquoi tu mentionnes le paradoxe de Zénon.

[invite5c528e25]

la longueur de Planck est un nombre obtenu en mélangeant deux théories dans lesquelles les coordonnées sont continues

Si tu veux mais il y a une manière plus simple d'arriver aux dimensions de Planck :

Si c est une vitesse limite, cela implique qu'aucune particule ne peut aller plus vite que cela.
Soit v=dx/dt, quelle sont les dx et dt lorsque v=c ?
en faisant un petit calcul on obtient c=(1,61.10^-35)/(5,39.10^-44)

Ce raisonnement implique effectivement une discontinuité de l'espace et du temps, c'est pourquoi je rappelais le paradoxe de Zénon (merci deep_turtle, j'avais oublié son nom ).

Mais je pense que l'on est réellement en droit de se demander si notre espace n'est pas "tramé" puisque si j'admets la possibilité que deux particules évoluent selon leur propre grille d'espace-temps à priori décalées l'une par rapport à l'autre d'une distance l (lambda), l'interaction possible entre les deux particules impliquerait éventuellement un problème sur c (à moins que l'on découvre une fluctuation de c possible sur des distances ou temps inférieurs aux dimensions de Planck).

Le problème ne serait pas envisageable si toutes les grilles potentielles d'espace temps étaient "synchronisées", mais cela impliquerait réellement une structure fixe voire absolue de notre univers (quid de la relativité qui précise qu'il n'y a aucun point absolu ???).

N'en reste pas moins ma question sur les dimensions : réelles ou simples outils mathématiques ?

[mtheory]

Voici des papiers de 't Hofft sur des toy models d'espace-temps discrets en MQ et sur son principe holographique,en relation avec l'information,les trous noirs,la gravitation quantique.

http://xxx.lanl.gov/PS_cache/gr-qc/pdf/9601/9601014.pdf

http://xxx.lanl.gov/PS_cache/hep-th/...03/0003004.pdf

Notez les relations avec Ashtekar.

[pmdec]

Mais je pense que l'on est réellement en droit de se demander si notre espace n'est pas "tramé"

Tout comme moi ... voir un vieux fil : http://forums.futura-sciences.com/sh...ad.php?t=12803

De plus, les objections de deep_turtle, du moins celle sur la décroissance en d² ne sont peut-être pas pertinentes : dans un espace "tramé", la longueur de l'hypothénuse pourrait être égale à la somme de côtés de l'angle droit (et non pas les carrés respectifs) : comme les pixels d'une image. Cette trame pose aussi pleinsss de problèmes quant aux rotations (impossibles sauf 1/4 de tour par 1/4 de tour, pour les même raisons). Mais je ne suis pas capable de dire quoi que ce soit sur l'exemple concernant le rapport entre la capacité calorifique ey le nombre de degrés de liberté ...

[invite5c528e25]

Merci pour tes références mtheory qui semblent aller très clairement dans mon sens et que je ne connaissais pas.

Je tenais aussi à dire que je trouve la tenue des discussions en général et ici en particulier de très bonne tenue; les intervenants sont cultivés et on évite souvent les raisonnements qui mélangent allègrement tout et n'importe quoi.
La plupart des gens du forum semblent s'y entendre en principes scientifiques et il n'est pas rare que les erreurs viennent de problèmes de communication, mais déjà bien moins que dans d'autres forums censés traiter de science.

L'esprit scientifique est très exigent et trop peu enseigné avec passion. On prépare surtout des techniciens, pas vraiment des scientifiques... mais c'est un autre débat.

Alors ? Univers tramé ? Quanta de volumes, d'aires et distances ? Dimensions réductibles ?

[invite8c514936]

De plus, les objections de deep_turtle, du moins celle sur la décroissance en d² ne sont peut-être pas pertinentes : dans un espace "tramé", la longueur de l'hypothénuse pourrait être égale à la somme de côtés de l'angle droit (et non pas les carrés respectifs) : comme les pixels d'une image.

Je suis d'accord avec ta remarque, mais à ce moment-là de la discussion je ne parlais pas de la discrétisation de l'espace mais du nombre de dimensions physiques, en donnant un argument qui nous dit que n=3 (ta remarque suppose aussi que n>1 puisque tu introduis une hypothénuse).

On est passé d'une question à une autre j'ai l'impression : du nombre de dimensions physiques à un éventuel tramage de la structure de l'espace-temps, qui sont deux points complètement indépendants, non ?

[invite5c528e25]

Complètement indépendants ? Pas si sûr...

C'est justement ce que j'essayais de démêler dans ce topic.

[invite8c514936]

Alors reprenons calmement. Imaginons que tu ranges les coordonnées de tout l'espace sur une ligne 1D. Comment fais-tu pour savoir si 2 points sont physiquement voisins ou pas (c'était la question que j'avais en tête quand je parlais de localité dans un message précédent) ?