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[Maths] [TS] Moyenne arithmético-géométrique

  1. doryphore

    Date d'inscription
    avril 2004
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    39
    Messages
    1 844

    [Maths] [TS] Moyenne arithmético-géométrique

    Les suites et sont définies par et pour :

    (moyenne géométrique de et ).

    1) Organiser le calcul de et jusqu'à à l'aide d'une calculatrice (algorithme) ou d'un tableur (opération dans les cellules), avec et .

    2) La construction ci-dessous permet d'obtenir géométriquement et à partir de et .



    Décrire cette construction et justifier l'affirmation précédente.

    3) Montrer que pour tout ,

    4)a) En déduire que pour tout : , puis que:

    b) Prouver que, pour tout .

    c) Quelle est la limite de ?

    5) Déduie des questions précédentes que les suites et sont adjacentes. Leur limite commune est appelée moyenne arithmético-géométrique des réels et .

    -----

    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein
     


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  2. sebpoirrier

    Date d'inscription
    décembre 2004
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    Messages
    263

    Re : [MATHS] [TS] Moyenne arithmético-géométrique

    on voit que des petites croix rouges...

    Seb
    chaque age porte ses fruits, il faut savoir les cueillir...
     

  3. sguerweed

    Date d'inscription
    février 2006
    Âge
    29
    Messages
    2

    Re : [MATHS] [TS] Moyenne arithmético-géométrique

    je crois que tu as oublié de définir Bn, qui (jai cherché sur internet) est définie par Bn+1= (An+Bn)/2

    merci
     

  4. Eiko

    Date d'inscription
    février 2006
    Âge
    29
    Messages
    46

    Re : [MATHS] [TS] Moyenne arithmético-géométrique

    Citation Envoyé par sguerweed
    je crois que tu as oublié de définir Bn, qui (jai cherché sur internet) est définie par Bn+1= (An+Bn)/2

    merci
    t sur? enfin merci pask sans sa jrrivais pas!!
    "Dreams are dreams"
    Akeboshi...
     

  5. Eiko

    Date d'inscription
    février 2006
    Âge
    29
    Messages
    46

    Re : [MATHS] [TS] Moyenne arithmético-géométrique

    jarrive pas!!! c'est quoi les algorythme?????
    "Dreams are dreams"
    Akeboshi...
     


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  6. matthias

    Date d'inscription
    février 2005
    Localisation
    IdF
    Messages
    4 439

    Re : [MATHS] [TS] Moyenne arithmético-géométrique

    Citation Envoyé par sguerweed
    je crois que tu as oublié de définir Bn, qui (jai cherché sur internet) est définie par Bn+1= (An+Bn)/2
    Oui il y a visiblement eu un petit oubli, mais c'est par contre assez clair sur le dessin.
     

  7. sguerweed

    Date d'inscription
    février 2006
    Âge
    29
    Messages
    2

    Re : [MATHS] [TS] Moyenne arithmético-géométrique

    désolé pour le retard j'avais oublié que j'avais commencé un post...

    donc

    An+1 = rad(AnBn)
    Bn+1 = (An+Bn)/2

    1) je laisse de côté la question de programmation parce que j'ai pas envie de recopier mon bouquin de cours qui explique très bien comment faire une suite (et d'ailleurs ma calculatric , casio65 a une fonction récurrence).

    2)je n'arrive pas tellement à lire votre construction, désolé

    donc nous arrivons à la partie algèbre

    3)Par récurrence sur n:

    0 < Ao < Bo .

    soient deux nombres quelconques An et Bn
    (An-Bn)²>(ou égal) 0
    An²+Bn²-2AnBn>0
    An²+Bn²+2AnBn>4AnBn
    (An+Bn)²>(2rad(AnBn))²
    An+Bn>2rad(AnBn)
    (An+Bn)/2>rad(AnBn)
    Bn+1>An+1
    récurrence établie

    donc pour tout n, An<Bn

    Bn+1-Bn= (An-Bn)/2
    or Bn>An donc Bn+1<Bn et donc (Bn) est décroissante

    An+1-An = rad(AnBn)-An=rad(An)(rad(Bn)-rad(An)) or rad(An)>0 et rad(Bn)-rad(An)>0
    An+1>An et donc (An) est croissante

    donc on obtient

    0<An<An+1<Bn+1<Bn.

    4)An<An+1
    -An+1<-An
    Bn+1-An+1<Bn+1-An
    Bn+1-An+1<(An+Bn)/2-An
    Bn+1-An+1<(Bn-An)/2

    Bn-An<(Bo-Ao)/2expn ?
    soit une suite (un) telle que
    Un+1= An-Bn /2
    alors (Un) est une suite géométrique de raison 1/2 et de premier terme Uo=Bo-Ao / 2
    Un= (1/2)expn * (Bo-Ao)
    Bn+1-An+1<Un+1
    Bn-An<Un
    Bn-An<(Bo-Ao)/2exp n


    or lim (Bo-Ao) (n->+oo) = Bo-Ao et lim 2 exp(n) (n->+00) = +00 donc lim (Bo-Ao)/2exp(n) (n->+00)=0

    et de plus Bn-An > o donc d'après le théorème des gendarmes lim Bn-An = 0

    lim (B-A)n=o
    (An) croissante
    (Bn) décroissante

    => les suites (An) et (Bn) sont adjacentes et tendent conséquemment vers une limite commune réelle L.
    Dernière modification par sguerweed ; 21/04/2006 à 20h28.
     

  8. matthias

    Date d'inscription
    février 2005
    Localisation
    IdF
    Messages
    4 439

    Re : [MATHS] [TS] Moyenne arithmético-géométrique

    Citation Envoyé par sguerweed
    3)Par récurrence sur n:

    0 < Ao < Bo .

    soient deux nombres quelconques An et Bn
    (An-Bn)²>(ou égal) 0
    An²+Bn²-2AnBn>0
    An²+Bn²+2AnBn>4AnBn
    (An+Bn)²>(2rad(AnBn))²
    An+Bn>2rad(AnBn)
    (An+Bn)/2>rad(AnBn)
    Bn+1>An+1
    récurrence établie

    donc pour tout n, An<Bn
    C'est pas mal, mais ce n'est pas tout à fait rigoureux. Tu devrais bien préciser ton hypothèse de récurrence, faire attention à ne pas passer d'une inégalité large à une inégalité stricte, et préciser quand tu passes à la racine carrée que les termes sont positifs (le montrer fait partie de la récurrence).

    Citation Envoyé par sguerweed
    Bn-An<(Bo-Ao)/2expn ?
    soit une suite (un) telle que
    Un+1= An-Bn /2
    alors (Un) est une suite géométrique de raison 1/2 et de premier terme Uo=Bo-Ao / 2
    Pourquoi y a-t-il un "+1" dans la définition de Un et pourquoi serait-elle géométrique ? Il vaut mieux faire une démonstration par récurrence.

    Sinon c'est bon, mais commme cet exercice ne présente pas de difficulté particulière, il est important d'être rigoureux dans la rédaction.
     

  9. Leonhardo

    Date d'inscription
    décembre 2009
    Messages
    152

    Re : [Maths] [TS] Moyenne arithmético-géométrique

    Comment est placé le point sur la figure ? Comment on justifie la construction géométriques des points ? Merci d'avance !
     


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