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[Maths] [TS] Moyenne arithmético-géométrique

  1. #1
    doryphore

    [Maths] [TS] Moyenne arithmético-géométrique

    Les suites et sont définies par et pour :

    (moyenne géométrique de et ).

    1) Organiser le calcul de et jusqu'à à l'aide d'une calculatrice (algorithme) ou d'un tableur (opération dans les cellules), avec et .

    2) La construction ci-dessous permet d'obtenir géométriquement et à partir de et .



    Décrire cette construction et justifier l'affirmation précédente.

    3) Montrer que pour tout ,

    4)a) En déduire que pour tout : , puis que:

    b) Prouver que, pour tout .

    c) Quelle est la limite de ?

    5) Déduie des questions précédentes que les suites et sont adjacentes. Leur limite commune est appelée moyenne arithmético-géométrique des réels et .

    -----

    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  2. Publicité
  3. #2
    sebpoirrier

    Re : [MATHS] [TS] Moyenne arithmético-géométrique

    on voit que des petites croix rouges...

    Seb
    chaque age porte ses fruits, il faut savoir les cueillir...

  4. #3
    sguerweed

    Re : [MATHS] [TS] Moyenne arithmético-géométrique

    je crois que tu as oublié de définir Bn, qui (jai cherché sur internet) est définie par Bn+1= (An+Bn)/2

    merci

  5. #4
    Eiko

    Re : [MATHS] [TS] Moyenne arithmético-géométrique

    Citation Envoyé par sguerweed
    je crois que tu as oublié de définir Bn, qui (jai cherché sur internet) est définie par Bn+1= (An+Bn)/2

    merci
    t sur? enfin merci pask sans sa jrrivais pas!!
    "Dreams are dreams"
    Akeboshi...

  6. #5
    Eiko

    Re : [MATHS] [TS] Moyenne arithmético-géométrique

    jarrive pas!!! c'est quoi les algorythme?????
    "Dreams are dreams"
    Akeboshi...

  7. #6
    matthias

    Re : [MATHS] [TS] Moyenne arithmético-géométrique

    Citation Envoyé par sguerweed
    je crois que tu as oublié de définir Bn, qui (jai cherché sur internet) est définie par Bn+1= (An+Bn)/2
    Oui il y a visiblement eu un petit oubli, mais c'est par contre assez clair sur le dessin.

  8. #7
    sguerweed

    Re : [MATHS] [TS] Moyenne arithmético-géométrique

    désolé pour le retard j'avais oublié que j'avais commencé un post...

    donc

    An+1 = rad(AnBn)
    Bn+1 = (An+Bn)/2

    1) je laisse de côté la question de programmation parce que j'ai pas envie de recopier mon bouquin de cours qui explique très bien comment faire une suite (et d'ailleurs ma calculatric , casio65 a une fonction récurrence).

    2)je n'arrive pas tellement à lire votre construction, désolé

    donc nous arrivons à la partie algèbre

    3)Par récurrence sur n:

    0 < Ao < Bo .

    soient deux nombres quelconques An et Bn
    (An-Bn)²>(ou égal) 0
    An²+Bn²-2AnBn>0
    An²+Bn²+2AnBn>4AnBn
    (An+Bn)²>(2rad(AnBn))²
    An+Bn>2rad(AnBn)
    (An+Bn)/2>rad(AnBn)
    Bn+1>An+1
    récurrence établie

    donc pour tout n, An<Bn

    Bn+1-Bn= (An-Bn)/2
    or Bn>An donc Bn+1<Bn et donc (Bn) est décroissante

    An+1-An = rad(AnBn)-An=rad(An)(rad(Bn)-rad(An)) or rad(An)>0 et rad(Bn)-rad(An)>0
    An+1>An et donc (An) est croissante

    donc on obtient

    0<An<An+1<Bn+1<Bn.

    4)An<An+1
    -An+1<-An
    Bn+1-An+1<Bn+1-An
    Bn+1-An+1<(An+Bn)/2-An
    Bn+1-An+1<(Bn-An)/2

    Bn-An<(Bo-Ao)/2expn ?
    soit une suite (un) telle que
    Un+1= An-Bn /2
    alors (Un) est une suite géométrique de raison 1/2 et de premier terme Uo=Bo-Ao / 2
    Un= (1/2)expn * (Bo-Ao)
    Bn+1-An+1<Un+1
    Bn-An<Un
    Bn-An<(Bo-Ao)/2exp n


    or lim (Bo-Ao) (n->+oo) = Bo-Ao et lim 2 exp(n) (n->+00) = +00 donc lim (Bo-Ao)/2exp(n) (n->+00)=0

    et de plus Bn-An > o donc d'après le théorème des gendarmes lim Bn-An = 0

    lim (B-A)n=o
    (An) croissante
    (Bn) décroissante

    => les suites (An) et (Bn) sont adjacentes et tendent conséquemment vers une limite commune réelle L.
    Dernière modification par sguerweed ; 21/04/2006 à 19h28.

  9. #8
    matthias

    Re : [MATHS] [TS] Moyenne arithmético-géométrique

    Citation Envoyé par sguerweed
    3)Par récurrence sur n:

    0 < Ao < Bo .

    soient deux nombres quelconques An et Bn
    (An-Bn)²>(ou égal) 0
    An²+Bn²-2AnBn>0
    An²+Bn²+2AnBn>4AnBn
    (An+Bn)²>(2rad(AnBn))²
    An+Bn>2rad(AnBn)
    (An+Bn)/2>rad(AnBn)
    Bn+1>An+1
    récurrence établie

    donc pour tout n, An<Bn
    C'est pas mal, mais ce n'est pas tout à fait rigoureux. Tu devrais bien préciser ton hypothèse de récurrence, faire attention à ne pas passer d'une inégalité large à une inégalité stricte, et préciser quand tu passes à la racine carrée que les termes sont positifs (le montrer fait partie de la récurrence).

    Citation Envoyé par sguerweed
    Bn-An<(Bo-Ao)/2expn ?
    soit une suite (un) telle que
    Un+1= An-Bn /2
    alors (Un) est une suite géométrique de raison 1/2 et de premier terme Uo=Bo-Ao / 2
    Pourquoi y a-t-il un "+1" dans la définition de Un et pourquoi serait-elle géométrique ? Il vaut mieux faire une démonstration par récurrence.

    Sinon c'est bon, mais commme cet exercice ne présente pas de difficulté particulière, il est important d'être rigoureux dans la rédaction.

  10. #9
    Leonhardo

    Re : [Maths] [TS] Moyenne arithmético-géométrique

    Comment est placé le point sur la figure ? Comment on justifie la construction géométriques des points ? Merci d'avance !

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