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[Maths] [L1] Arithmétique sur les entiers

  1. doryphore

    Date d'inscription
    avril 2004
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    39
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    1 844

    Smile [Maths] [L1] Arithmétique sur les entiers

    Déterminer les triplets tels que
    (i) ppcm(a,b) = 42
    (ii) pgcd(a,c) = 3
    (iii) a+b+c = 29

    -----

    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein
     


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  2. AriesSith

    Date d'inscription
    août 2005
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    53

    Re : [Maths] [L1] Arithmétique sur les entiers

    Les diviseurs de 42 sont {1;2;3;6;7;14;21;42}
    a et b {1;2;3;6;7;14;21;42} d'après (i)
    a {3;6;21;42} d'après (ii) et ce qui précède.

    Ensuite j'y vais à taton :

    Si a = 3 (i) b = 14 et (iii) c = 12

    b = 42 est inconcevable d'après (iii)

    Si a = 6 (i) b = 7 et (iii) c = 16 ce qui contredit (i)

    Si a = 21 (i) b = 42 ce qui contredit (i)

    Finalement la seule solution est :
    a = 3
    b = 14
    c = 12
     

  3. doryphore

    Date d'inscription
    avril 2004
    Localisation
    Compiègne (60)
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    39
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    Smile Re : [Maths] [L1] Arithmétique sur les entiers

    Cette méthode de recherche exhaustive est risquée, d'ailleurs tu as oublié des cas...
    Une autre façon de faire est la recherche de propriétés arithmétiques de certains des nombres a,b ou c...(divisibilité)

    Il est ainsi possible de démontrer que b|14 en partant de (ii) et (iii).
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein
     

  4. AriesSith

    Date d'inscription
    août 2005
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    53

    Re : [Maths] [L1] Arithmétique sur les entiers

    [QUOTE=doryphore]Cette méthode de recherche exhaustive est risquée, d'ailleurs tu as oublié des cas...
    QUOTE]
    Les cas oubliés sont ceux qui contredisent (iii) du fait du choix de b trop "grand" par exemple 42 ...

    Ou bien est ce que j'en ai oublié d'autres ..
     

  5. doryphore

    Date d'inscription
    avril 2004
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    Smile Re : [Maths] [L1] Arithmétique sur les entiers

    Non, c'est dans la recherche des couples de nombres qui vérifient ppcm(a,b) = 42 que tu as fait des oublis.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein
     


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  6. AriesSith

    Date d'inscription
    août 2005
    Messages
    53

    Re : [Maths] [L1] Arithmétique sur les entiers

    Effectivement ! J'ai oublié les solutions et

    Alors, Les diviseurs de 42 sont {1;2;3;6;7;14;21;42}
    a et b {1;2;3;6;7;14;21;42} d'après (i)
    a {3;6;21;42} d'après (ii) et ce qui précède.

    (ii) avec pgcd(p ; q) = 1

    (iii) 3(p+q) + b = 29 soit b = 29 - 3(p + q)

    Cette dernière égalité entraine que b {26;23;20;17;14;11;8;5;2}
    Et, (i) b {14;2}

    Si b = 2 alors a = 21 d'après (i) et c = 6
    Les cas a = 3, a = 6 et a = 42 contredisent (i) ou (iii)

    Si b = 14 alors
    a = 3 entraine c = 6
    a = 6 entraine c = 9
    a = 21 et a = 42 contredisent (iii)

    Finalement les solutions sont :
    , et

    On vérifie bien que les valeurs trouvées sont solutions ...
     

  7. doryphore

    Date d'inscription
    avril 2004
    Localisation
    Compiègne (60)
    Âge
    39
    Messages
    1 844

    Thumbs up Re : [Maths] [L1] Arithmétique sur les entiers

    Ok, c'est tout bon...
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein
     

  8. yahya18620

    Date d'inscription
    février 2009
    Âge
    29
    Messages
    5

    Re : [Maths] [L1] Arithmétique sur les entiers

    Citation Envoyé par AriesSith Voir le message
    Effectivement ! J'ai oublié les solutions et

    Alors, Les diviseurs de 42 sont {1;2;3;6;7;14;21;42}
    a et b {1;2;3;6;7;14;21;42} d'après (i)
    a {3;6;21;42} d'après (ii) et ce qui précède.

    (ii) avec pgcd(p ; q) = 1

    (iii) 3(p+q) + b = 29 soit b = 29 - 3(p + q)

    Cette dernière égalité entraine que b {26;23;20;17;14;11;8;5;2}
    Et, (i) b {14;2}

    Si b = 2 alors a = 21 d'après (i) et c = 6
    Les cas a = 3, a = 6 et a = 42 contredisent (i) ou (iii)

    Si b = 14 alors
    a = 3 entraine c = 6
    a = 6 entraine c = 9
    a = 21 et a = 42 contredisent (iii)

    Finalement les solutions sont :
    , et

    On vérifie bien que les valeurs trouvées sont solutions ...
    bonjour

    ...mais a=3,b=2,c=24 est un solution
     

  9. MiMoiMolette

    Date d'inscription
    septembre 2007
    Localisation
    Au bout d'une paire d'écouteurs
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    4 586

    Re : [Maths] [L1] Arithmétique sur les entiers

    Citation Envoyé par yahya18620 Voir le message
    bonjour

    ...mais a=3,b=2,c=24 est un solution
    Oups, ça date un peu, mais...

    Le ppcm de 3 et 2 est-il 42 ??
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof
     

  10. jeffhardyy

    Date d'inscription
    juin 2009
    Âge
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    12

    Re : [Maths] [L1] Arithmétique sur les entiers

    Les diviseurs de 42 sont {1;2;3;6;7;14;21;42}
    a et b {1;2;3;6;7;14;21;42} d'après (i)
    a {3;6;21;42} d'après (ii) et ce qui précède.

    (ii) avec pgcd(p ; q) = 1

    (iii) 3(p+q) + b = 29 soit b = 29 - 3(p + q)

    Cette dernière égalité entraine que b {26;23;20;17;14;11;8;5;2}
    Et, (i) b {14;2}

    Si b = 2 alors a = 21 d'après (i) et c = 6
    Les cas a = 3, a = 6 et a = 42 contredisent (i) ou (iii)

    Si b = 14 alors
    a = 3 entraine c = 6
    a = 6 entraine c = 9
    a = 21 et a = 42 contredisent (iii)
     

  11. jeffhardyy

    Date d'inscription
    juin 2009
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    12

    Re : [Maths] [L1] Arithmétique sur les entiers

    Citation Envoyé par doryphore Voir le message
    Déterminer les triplets tels que
    (i) ppcm(a,b) = 42
    (ii) pgcd(a,c) = 3
    (iii) a+b+c = 29
    Les diviseurs de 42 sont {1;2;3;6;7;14;21;42}
    a et b {1;2;3;6;7;14;21;42} d'après (i)
    a {3;6;21;42} d'après (ii) et ce qui précède.

    (ii) avec pgcd(p ; q) = 1

    (iii) 3(p+q) + b = 29 soit b = 29 - 3(p + q)

    Cette dernière égalité entraine que b {26;23;20;17;14;11;8;5;2}
    Et, (i) b {14;2}

    Si b = 2 alors a = 21 d'après (i) et c = 6
    Les cas a = 3, a = 6 et a = 42 contredisent (i) ou (iii)

    Si b = 14 alors
    a = 3 entraine c = 6
    a = 6 entraine c = 9
    a = 21 et a = 42 contredisent (iii)
    ;p c bien??? c bon???
     

  12. jeffhardyy

    Date d'inscription
    juin 2009
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    28
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    12

    Re : [Maths] [L1] Arithmétique sur les entiers

    Déterminer les triplets tels que
    (i) ppcm(a,b) = 42
    (ii) pgcd(a,c) = 3
    (iii) a+b+c = 29


    Alors, Les diviseurs de 42 sont {1;2;3;6;7;14;21;42}
    a et b {1;2;3;6;7;14;21;42} d'après (i)
    a {3;6;21;42} d'après (ii) et ce qui précède.

    (ii) avec pgcd(p ; q) = 1

    (iii) 3(p+q) + b = 29 soit b = 29 - 3(p + q)

    Cette dernière égalité entraine que b {26;23;20;17;14;11;8;5;2}
    Et, (i) b {14;2}

    Si b = 2 alors a = 21 d'après (i) et c = 6
    Les cas a = 3, a = 6 et a = 42 contredisent (i) ou (iii)

    Si b = 14 alors
    a = 3 entraine c = 6
    a = 6 entraine c = 9
    a = 21 et a = 42 contredisent (iii)
     

  13. jeffhardyy

    Date d'inscription
    juin 2009
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    12

    Re : [Maths] [L1] Arithmétique sur les entiers

    svp si c faut repondez moi le plus vite possible
     


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