[Maths] [L1] Arithmétique sur les entiers

[doryphore]

Déterminer les triplets tels que
(i) ppcm(a,b) = 42
(ii) pgcd(a,c) = 3
(iii) a+b+c = 29
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[AriesSith]

Les diviseurs de 42 sont {1;2;3;6;7;14;21;42}
a et b {1;2;3;6;7;14;21;42} d'après (i)
a {3;6;21;42} d'après (ii) et ce qui précède.

Ensuite j'y vais à taton :

Si a = 3 (i) b = 14 et (iii) c = 12

b = 42 est inconcevable d'après (iii)

Si a = 6 (i) b = 7 et (iii) c = 16 ce qui contredit (i)

Si a = 21 (i) b = 42 ce qui contredit (i)

Finalement la seule solution est :
a = 3
b = 14
c = 12

[doryphore]

Cette méthode de recherche exhaustive est risquée, d'ailleurs tu as oublié des cas...
Une autre façon de faire est la recherche de propriétés arithmétiques de certains des nombres a,b ou c...(divisibilité)

Il est ainsi possible de démontrer que b|14 en partant de (ii) et (iii).

[AriesSith]

[QUOTE=doryphore]Cette méthode de recherche exhaustive est risquée, d'ailleurs tu as oublié des cas...
QUOTE]
Les cas oubliés sont ceux qui contredisent (iii) du fait du choix de b trop "grand" par exemple 42 ...

Ou bien est ce que j'en ai oublié d'autres ..

[A voir en vidéo sur Futura]

[doryphore]

Non, c'est dans la recherche des couples de nombres qui vérifient ppcm(a,b) = 42 que tu as fait des oublis.

[AriesSith]

Effectivement ! J'ai oublié les solutions et

Alors, Les diviseurs de 42 sont {1;2;3;6;7;14;21;42}
a et b {1;2;3;6;7;14;21;42} d'après (i)
a {3;6;21;42} d'après (ii) et ce qui précède.

(ii) avec pgcd(p ; q) = 1

(iii) 3(p+q) + b = 29 soit b = 29 - 3(p + q)

Cette dernière égalité entraine que b {26;23;20;17;14;11;8;5;2}
Et, (i) b {14;2}

Si b = 2 alors a = 21 d'après (i) et c = 6
Les cas a = 3, a = 6 et a = 42 contredisent (i) ou (iii)

Si b = 14 alors
a = 3 entraine c = 6
a = 6 entraine c = 9
a = 21 et a = 42 contredisent (iii)

Finalement les solutions sont :
, et

On vérifie bien que les valeurs trouvées sont solutions ...

[doryphore]

Ok, c'est tout bon...

[invite2e1ef5e2]

Effectivement ! J'ai oublié les solutions et

Alors, Les diviseurs de 42 sont {1;2;3;6;7;14;21;42}
a et b {1;2;3;6;7;14;21;42} d'après (i)
a {3;6;21;42} d'après (ii) et ce qui précède.

(ii) avec pgcd(p ; q) = 1

(iii) 3(p+q) + b = 29 soit b = 29 - 3(p + q)

Cette dernière égalité entraine que b {26;23;20;17;14;11;8;5;2}
Et, (i) b {14;2}

Si b = 2 alors a = 21 d'après (i) et c = 6
Les cas a = 3, a = 6 et a = 42 contredisent (i) ou (iii)

Si b = 14 alors
a = 3 entraine c = 6
a = 6 entraine c = 9
a = 21 et a = 42 contredisent (iii)

Finalement les solutions sont :
, et

On vérifie bien que les valeurs trouvées sont solutions ...

bonjour

...mais a=3,b=2,c=24 est un solution

[invite1237a629]

bonjour

...mais a=3,b=2,c=24 est un solution

Oups, ça date un peu, mais...

Le ppcm de 3 et 2 est-il 42 ??

[jeffhardyy]

Les diviseurs de 42 sont {1;2;3;6;7;14;21;42}
a et b {1;2;3;6;7;14;21;42} d'après (i)
a {3;6;21;42} d'après (ii) et ce qui précède.

(ii) avec pgcd(p ; q) = 1

(iii) 3(p+q) + b = 29 soit b = 29 - 3(p + q)

Cette dernière égalité entraine que b {26;23;20;17;14;11;8;5;2}
Et, (i) b {14;2}

Si b = 2 alors a = 21 d'après (i) et c = 6
Les cas a = 3, a = 6 et a = 42 contredisent (i) ou (iii)

Si b = 14 alors
a = 3 entraine c = 6
a = 6 entraine c = 9
a = 21 et a = 42 contredisent (iii)

[jeffhardyy]

Déterminer les triplets tels que
(i) ppcm(a,b) = 42
(ii) pgcd(a,c) = 3
(iii) a+b+c = 29

Les diviseurs de 42 sont {1;2;3;6;7;14;21;42}
a et b {1;2;3;6;7;14;21;42} d'après (i)
a {3;6;21;42} d'après (ii) et ce qui précède.

(ii) avec pgcd(p ; q) = 1

(iii) 3(p+q) + b = 29 soit b = 29 - 3(p + q)

Cette dernière égalité entraine que b {26;23;20;17;14;11;8;5;2}
Et, (i) b {14;2}

Si b = 2 alors a = 21 d'après (i) et c = 6
Les cas a = 3, a = 6 et a = 42 contredisent (i) ou (iii)

Si b = 14 alors
a = 3 entraine c = 6
a = 6 entraine c = 9
a = 21 et a = 42 contredisent (iii)
;p c bien??? c bon???

[jeffhardyy]

Déterminer les triplets tels que
(i) ppcm(a,b) = 42
(ii) pgcd(a,c) = 3
(iii) a+b+c = 29


Alors, Les diviseurs de 42 sont {1;2;3;6;7;14;21;42}
a et b {1;2;3;6;7;14;21;42} d'après (i)
a {3;6;21;42} d'après (ii) et ce qui précède.

(ii) avec pgcd(p ; q) = 1

(iii) 3(p+q) + b = 29 soit b = 29 - 3(p + q)

Cette dernière égalité entraine que b {26;23;20;17;14;11;8;5;2}
Et, (i) b {14;2}

Si b = 2 alors a = 21 d'après (i) et c = 6
Les cas a = 3, a = 6 et a = 42 contredisent (i) ou (iii)

Si b = 14 alors
a = 3 entraine c = 6
a = 6 entraine c = 9
a = 21 et a = 42 contredisent (iii)

[jeffhardyy]

svp si c faut repondez moi le plus vite possible