Valeur stationnaire pour une fonction continue (simple)

[invite0eca5fa0]

Salut à tous, j'ai eu cet exercice lors d'un DS, que j'ai totalement raté. j'ai cherché desesperement cet exercice qui pourtant ne doit pas vraiment etre dur, c'est a n'y rien comprendre.. J'ai essayé de manipulé tout un tas d'inegalités sans succes je dois chercher trop compiqué mais plus grave encore, je me rends compte que je suis incapable d'organiser ma reflexion la dessus.
Soif f une fonction définie et continue sur [a,b] (a<b) et à valeur dans [a,b]La j'imagine bien la situation , et je sais deja que si a<k<b alors f(x)=k admet au moins une solution dans [a,b] de meme si a<k<b alors f(a)<f(k)<f(b) alors a<f(k)<b et f(x)=f(k) admet au moins une soltution dans [a,b]
ce que je fais est inutile et je coince totalement

En introduisant la fonction h définie sur [a,b] par h(x)=f(x)-x montrer qu'il existe au moins un nombre A de [a,b] verifiant f(A)=A
Interpretez graphiquement ce resultat
Alors la j'arrive aussi a ecrire des inegalités, mais je ne trouve toujours pas, malgré la fontion H
on aurait a<A<b implique -b<-A<-a
or a<f(A)<b donc a-b<f(A)-A<b-a
or a-b<0<b-a
enfin j'en sais rien, j'arrive pas a demontrer quoi que ce soit c'est pourquoi je sollicite votre aide.
-----

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

...
En introduisant la fonction h définie sur [a,b] par h(x)=f(x)-x montrer qu'il existe au moins un nombre A de [a,b] verifiant f(A)=A
Interpretez graphiquement ce resultat
Alors la j'arrive aussi a ecrire des inegalités, mais je ne trouve toujours pas, malgré la fontion H
on aurait a<A<b implique -b<-A<-a
or a<f(A)<b donc a-b<f(A)-A<b-a
...

Je ne sais pas si j'ai bien compris, mais on va vite le savoir...
suite à la définition de a et b, on a :
a-b < 0
et b-a > 0
donc il existe bien un nombre A tel que f(A)-A=0
(puisque f(A)-A est compris entre un nombre (a-b) et son opposé)

Mais... comment obtiens-tu l'encadrement a<f(A)<b ??

Alors, soit j'ai répondu à côté de la plaque soit je suis trop fatigué pour comprendre qqch ce soir

Duke.

[invite0eca5fa0]

f est à valeur dans [a,b] donc si a<A<b alors f(A) est dans [a,b] aussi.mais ce vrai que mon encadrement est faux.
En fait j'ai du mal à integrer la notion de ''il existe au moins blabla"
d'apres ce que j'ai ecris on a a-b<f(A)-A<b-a
cela veut donc dire que f(A)-A peut etre égal a 0, mais est ce que f(A)-A est forcement égal a 0 ?
Enfin vu que la fonction est continue, le trait n'est pas "coupé" donc a priori ça marche

[Gwyddon]

Ton questionnement est très juste, car en effet le fait que la fonction soit continue est essentiel

En effet ça marche ici, et pour le justifier tu utilises un théorème de cours, le théorème des valeurs ... (je te laisse compléter), en vérifiant bien que les hypothèses de ce théorème sont vérifiées

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0eca5fa0]

ba justement j'arrive pas bien à l'appliquer pourtant je le connais!
on aurait a<A<b implique -b<-A<-a
ça ya pas de doute c'est bon

or a<f(A)<b donc a-b<f(A)-A<b-a
a priori on a forcement a<f(A)<b !


or a-b<0<b-a

Comment conclus-je ?

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

f est à valeur dans [a,b] donc si a<A<b alors f(A) est dans [a,b] aussi...

Mais oui bien sûr ! cette partie m'avait échappée

ba justement j'arrive pas bien à l'appliquer pourtant je le connais!
on aurait a<A<b implique -b<-A<-a
ça ya pas de doute c'est bon

or a<f(A)<b donc a-b<f(A)-A<b-a
a priori on a forcement a<f(A)<b !


or a-b<0<b-a

Comment conclus-je ?

Ben comme je t'ai dit et comme tu le dis toi-même mais en étant plus rigoureux !
Il faut vérifier les conditions d'application du théorème des valeurs intermédiaires comme le suggère Gwyddon (enfin, je crois )

Bonne soirée.

Duke.