Isobarycentre de trois points ...

[The Most]

Bonjour, j'ai beaucoup de mal à resoudre ce probleme, pouvez vous m'aider ?

Merci d'avance ....


On considere le trinagle ABC.
On note A', B' et C' les milieux respectifs de [BC], [AC] et [AC].
Soit G le point défini par (vecteur)GA + (vecteur)GB + (vecteur)GC = (vecteur)0

1. Avec C' :
a/ Montrer que (vecteur)GA + (vecteur)GB = (vecteur)GC'
b/ En déduire que G est barycentre de C et C' avec des masses que l'on déterminera.
c/ En déduire que G est situé sur une m"diane du triangle ABC.

2. utiliser la même méthode pour prouver que G est situé sur chacune des médianes de ABC. Conséquance ?

Au secours !!!
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[shokin]

a/ Montrer que (vecteur)GA + (vecteur)GB = (vecteur)GC'

Cette égalité n'est pas juste. La somme des deux vecteurs donne un vecteur colinéaire au vecteur GC'.

Pour le démontrer, dessine le point D tel que AGBD forme un parallélogramme. Tu constates (et démontres) que C' est le centre de ce parallélogramme, et tu en déduis comment exprimer -GC'-> en fonction de -GA-> et -GB->.

b/ En déduire que G est barycentre de C et C' avec des masses que l'on déterminera.

Exprime -GC-> en fonction de -GA-> et -GB->, puis compare -GC-> et -GC'-> ...



Shokin

[The Most]

Montrer que (vecteur)GA + (vecteur)GB = 2(vecteur)GC'

C'est 2GC'

[shokin]

As-tu réussi avec les éléments que je t'ai donnés ?

Shokin

[A voir en vidéo sur Futura]

[The Most]

Je travail avec un camarade et on ne comprend pas trop le parallèlogramme, on ne voient pas à quoi il sert

[shokin]

Il sert à exprimer -GC' en fonction de -GA-> et -GB-> :

C' est, par définition dans l'énoncé, milieu de AB. Et comme AB est une diagonale de ce parallélogramme, C' est le milieu (centre de gravité) du parallélogramme.

Donc C' est aussi le milieu de GD. Donc -GC'-> = 1/2 * -GD-> .

Tu observes que -GD-> = -GA-> + -GB-> . Donc -GC'-> = 1/2 * (-GA-> + -GB-> ).

Essaie maintenant, avec la définition dans l'énoncé du point G, d'exprimer -GC-> en fonction de -GA-> et -GB-> .

Puis compare alors -GC-> et -GC'-> .

Shokin

[The Most]

Donc on a prouvé que -CG> = -2GC'>
Donc colinéaires et les points C, G et c' sont alignés.

Par contre pour le c on sait pas trop comment faire, il y a la propriété de 3e avec le centre de gravité mais on est pas sur et pâs savoir comment l'utiliser ...

[shokin]

C' est bien, par définition de l'énoncé, le milieu de AB.

Quelle est la définition d'une médiane ?

Shokin

[The Most]

elle passe par un sommet et coupe le coté opposé en son milieu.

[shokin]

Donc CC' est une médiane du triangle ABC.

Et G est situé sur cette médiane.

Et tu fais le même raisonnement similaire pour B' et A'.

Donc G est situé sur les trois médianes (quoique deux médianes auraient suffi ! ) et est, par conséquent, le centre de gravité du triangle ABC.

NB : tu auras également remarqué, en ayant comparé -GC-> et -GC'-> , une propriété du centre de gravité : il se situe aux 2/3 de chaque médiane.

Shokin