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Dérivé de fonction sinus et cosinus

  1. gaelle38360

    Date d'inscription
    décembre 2006
    Âge
    23
    Messages
    2

    Dérivé de fonction sinus et cosinus

    pour tous réels a et b :
    sin (a + b) = sin (a) cos (b) + sin (b) cos (a)
    cos (a + b) = cos (a) cos (b) - sin (a) sin (b)
    cos (2a) = 1 - 2 sin^2 (a).
    On admet que lim x ten vers 0 sin x/x = 1


    1. a) h est un réel non nul. justifier les égalités suivantes:

    [1 – cos(h)] / h = [2(sin^2 h/2)] / h = (sin h/2)/(h/2) * sin h/2

    b) Determiner les limites de sin h/2 et (sin h/2) / (h/2) lorsque h tend vers 0.

    c) En déduire la limite de [1 - cos(h)] / h lorsque h tend vers O.

    2. a) Démontrer que pour tout réel a et pour tout réel h différent de 0,
    [ sin(a+h) - sin(a) -] / h = - sin(a) * [1 - cos(h)] / h + cos(a) * sin(h) / h

    b) En déduire que la fonction sinus est dérivable en a et donner sin’ (a).
    3. Démontrer que la fonction cosinus est dérivable en a et donner cos' (a) .


    a la question 1a), j'ai trouvé la solution, je trouve
    cos(2a) = 1-2sin^2(a) donc
    cos(2a/2) + 2sin^2(a/2) = 1 donc
    2sin^2(a/2) = 1 - cos(2a/2) donc
    2(sin^2 a/2) = 1 - cos(a) soit
    [2(sin^2 a/2)] / h = [1 - cos(a)] / h

    a la question 1b), je pense avoir trouvé la solution mais je ne suis pas sur. Je dirai
    lim sin h/2 = 0 et
    lim [sin h/2] / (h/2) = 1 (comme lim sin x/x = 1 )

    a la question c), je pense que la limite est 0, mais comment justifier ?
    Est-ce parce que lim[sin h/2] / (h/2) * lim sin h/2 = 1*0 = 0 ?

    ensuite, je n'arrive pas a la question 2 a), je bloque.
    J'ai cherché a developper plusieurs choses, telles que :
    sin(a) = [sin(a+b) - sin(b)cos(b)] / cos(b)
    sin(a) = [cos(a+b) - soc(a)cos(b)]/ -sin(b)
    sin (a+h) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a)

    aidez moi s'il vous plait
    merci beaucoup d'avance


     


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  2. Duke Alchemist

    Date d'inscription
    juin 2005
    Localisation
    Frontière 59-62
    Âge
    36
    Messages
    7 574

    Re : dérivé de fonction sinus et cosinus

    Bonsoir.
    Citation Envoyé par gaelle38360 Voir le message
    ...
    a la question 1a), j'ai trouvé la solution, je trouve
    cos(2a) = 1-2sin^2(a) donc
    cos(2a/2) + 2sin^2(a/2) = 1 donc
    2sin^2(a/2) = 1 - cos(2a/2) donc
    2(sin^2 a/2) = 1 - cos(a) soit
    [2(sin^2 a/2)] / h = [1 - cos(a)] / h
    Fais attention, il y a des confusions entre a et h surtout sur la fin !...
    Refais ça proprement en posant tout simplement h=2a (d'où a=h/2) dès la 2ème ligne.
    N'oublie pas la deuxième égalité (qui n'est qu'une réécriture de ce que tu viens de trouver)

    a la question 1b), je pense avoir trouvé la solution mais je ne suis pas sur. Je dirai
    lim sin h/2 = 0 et
    lim [sin h/2] / (h/2) = 1 (comme lim sin x/x = 1 )


    a la question c), je pense que la limite est 0, mais comment justifier ?
    Est-ce parce que lim[sin h/2] / (h/2) * lim sin h/2 = 1*0 = 0 ?
    bah oui...

    Pour la 2a. réfléchis en partant de ton résultat
    Ne vois-tu pas un lien entre les termes de ton membre de droite et ce qui précède ?
    A mon avis tu vas aussi utiliser la deuxième relation rappelée au début de l'énoncé.

    Duke.

    EDIT : Bienvenue !
     

  3. gaelle38360

    Date d'inscription
    décembre 2006
    Âge
    23
    Messages
    2

    Re : dérivé de fonction sinus et cosinus

    je suis dacord qu'il y a un lien puisqu'on retrouve [1 - cos(h)] / h, mais je n'arrive pas a retrouvé, en développant tout : (sin h/2)/(h/2) * sin h/2
    Quand je développe a partir de la deuxième citation de l'énoncé, je trouve
    sin(a) = [cos(a+b) - soc(a)cos(b)]/ -sin(b)

    mais cela ne m'aide pas dans la suite
    merci beaucoup de cette aide apportée.
    et pour la question 1, j'ai le droit comme ca de poser h = 2a ?
     

  4. Duke Alchemist

    Date d'inscription
    juin 2005
    Localisation
    Frontière 59-62
    Âge
    36
    Messages
    7 574

    Re : dérivé de fonction sinus et cosinus

    Bonjour.

    ... pour la question 1, j'ai le droit comme ca de poser h = 2a ?
    Qu'est-ce qui t'en empêche ?? et comment veux-tu faire autrement ? (c'est ce qu'on appelle un changement de variable... c'est très utile)

    2.a. Je suis allé trop vite hier... C'est bien plus simple que ça !
    Pars du deuxième membre, développe et que vois-tu apparaître ?... de quoi utiliser (bêtement) la première relation

    2.b. Comment montres-tu qu'une fonction est dérivable ? (cours)... Une petite limite ?

    3. Refaire le même principe que 2 mais en exprimant (cos(a+h)-cos(a))/h de manière à pouvoir étudier sa dérivabilité.

    Duke.
     

  5. ~~quentinou92

    Date d'inscription
    décembre 2007
    Âge
    22
    Messages
    3

    Re : dérivé de fonction sinus et cosinus

    Bonjour!
    Pourriez-vous m'aider pour la question 1b de ce même devoir svp?
    merci beaucoup.
     


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  6. ~~quentinou92

    Date d'inscription
    décembre 2007
    Âge
    22
    Messages
    3

    Re : Dérivé de fonction sinus et cosinus

    non excusez-moi! je voulais de l'aide sur la question 2b plutôt. merci d'avance
     

  7. ~~quentinou92

    Date d'inscription
    décembre 2007
    Âge
    22
    Messages
    3

    Re : Dérivé de fonction sinus et cosinus

    euhhh . . . dsl. J'ai réussi mais je bloque vraiment pour la 3 parce que vous dites de recommencer la même chose que la 2 mais la formule sera différente. Donc je ne comprend pas. Pourriez-vous m'éclairer svp ??? Merci
     


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