sinus , sinus , encore sinus

[invite12d31295]

bonjour!
J'ai un petit problème pour un exercice...

Il faut montrer que a/b < sin(a)/sin(b) < (pi/2) * (a/b)
Avec 0 < a < b < pi/2 .

J'arrive a montrer que a/b < sin(a)/sin(b) avec un étude de sin(x)/x ( on prouve que cette fonction est strictement décroissante, à l'aide des dérivées, donc comme a<b , sin(a)/a > sin(b)/b , soit sin(a)/sin(b) > a/b ... )

Mais je bloque pour montrer que sin(a)/sin(b) < (pi/2) * (a/b) !

Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider ?? merci
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[invite35452583]

Bonjour et bienvenu,
par exemple ainsi :
on sait (ou on montre) que sin(a)<=a si a >=0
on peut montrer aussi que sin(b)>=2b/pi (étude de la fonction sin(x)-2x/pi entre 0 et pi/2, il faut aller jusque la dérivée seconde mais elle se fait assez facilement).

[invite12d31295]

En effet ça marche !!
Merci !

[Jeanpaul]

Tu as bien fait d'étudier la fonction sin(x)/x.
Maintenant il faut utiliser à fond cette fonction.
Tu as déjà que sin(a)/a <=1 car elle est décroissante.
Mais pour la même raison sin(b)/b >= 2/pi (c'est la valeur à l'extrémité b = pi/2).
Comme tu as affaire à des nombres positifs, tu peux arranger ces 2 inégalités et trouver ce que tu cherches, mais je te laisse faire.

[A voir en vidéo sur Futura]