Les méthodes à retenir

[invitea7fcfc37]

Bonjour à tous

Un nouveau projet est en train de se mettre sur pied : répertorier toutes les méthodes et réflexes à avoir en classes de lycée, pour résoudre les problèmes les plus fréquents.

Et pour ce faire, nous faisons appel à vous ! Actifs participants de ce forum Mathématiques. Chacun peut poster un message sur le sujet de son choix, et le soumettre dans ce fil ; une réorganisation et un sommaire seront effectués ensuite afin de permettre plus de clarté.

Vous pouvez proposer des méthodes pour tout ce qui couvre le collège ou le lycée.

Au sommaire :

• #1 : Comment déterminer l’image d’un réel par une fonction ?
• #2 : Détermination de l'équation de la tangente à une courbe
• #3 : Ensemble de définition d'une fonction
• #4 : Déterminer le sens de variation d'une fonction
• #5 : Montrer qu'une fonction est paire ou impaire
• #6 : Comment déterminer l'équation d'une droite en connaissant 2 de ses points
• #7 : Techniques de dérivation
• #8 : Résolution d'équations trigonométriques

"Gné, mais qu'est-ce qu'on poste ici en fait ?"

Très bonne question

Donnons nous un exemple :
_______________________

Comment déterminer l’image d’un réel par une fonction ?

Considérons une fonction :



On dit que est l’image de par la fonction .
Déterminer l’image d’un réel par une fonction, c’est trouver pour une certaine valeur de .
Bien sûr, si la valeur de fait partie de l’ensemble de définition de la fonction .

Pour ce faire, on remplace par sa valeur dans .
Par exemple, on pose :



Ici,
On nous demande de chercher l’image de par la fonction .
Appliquons ce qui est dit plus haut et remplaçons dans l’expression de par sa valeur numérique :



d’où :



Il est donc à retenir que pour obtenir l’image d’un réel par une fonction f, il faut remplacer x par le réel dans l’expression de f(x).

Un autre exemple, avec des valeurs non numériques cette fois ci :
On désigne par un réel et on pose :



L’image de par est et vaut :



On a bien déterminé l’image de par , même si on n’a pas sa valeur numérique !

_______________________

Quoi je me suis pas foulé pour l'exemple ?

Orthographe et soin : 1 point.

Plus sérieusement, si des participants sont tentés, faites comme vous pouvez, le plus important c'est de participer, vive le travail collaboratif

Merci à tout ceux qui se sont donnés la peine de m'avoir lu,

Cordialement,

kNz.

Remarque : par simplicité, ce fil est ouvert pour permettre à chacun de proposer facilement un message décrivant une méthode/technique. Afin de ne pas perdre en clarté, les corrections, suggestions ou remarques qui risquent d'alourdir le fil seront effacées périodiquement.

Pour la modération,
martini_bird.
-----

[Duke Alchemist]

Détermination de l'équation de la tangente à une courbe

Considérons une courbe représentative d'une fonction dérivable sur son domaine de définition.
La variable, par commodité ici, sera .

Pour déterminer l'équation de la tangente en un point d'abscisse de son domaine de définition, la méthode est la suivante :

• calculer
• déterminer pour tout
• calculer
• La tangente à la courbe au point d'abscisse est :
  
  
  

[invitea7fcfc37]

Ensemble de définition d'une fonction

Pour déterminer l'ensemble de définition d'une fonction, il faut déterminer les valeurs que peut prendre la variable associée à la fonction, en général par convention : x.

Ainsi, on retiendra plusieurs règles principales :

Soit

• Si f(x) comporte un quotient, il faut retirer à l'ensemble de définition les valeurs de x pour lesquelles le dénominateur s'annule.

Exemple

On considère la fonction

Déterminons les valeurs de qui annulent l'un des deux dénominateurs.
Il est clair que le premier dénominateur s'annule pour .
Pour le deuxième dénominateur, on remarque que est solution évidente du trinome, donc .
Ainsi, les valeurs qui annulent le deuxième dénominateur sont et .

Finalement, l'ensemble de définition de la fonction est l'ensemble des réels auquel on retire les valeurs interdites, à savoir et .

• Si f(x) comporte une racine carré, il faut déterminer les valeurs de x pour lesquelles l'expression sous la racine carrée est positive.

Exemple

On considère la fonction

• Si f(x) comporte un logarithme, il faut déterminer les valeurs de x pour lesquelles l'expression du logarithme est strictement positive

Exemple

On considère la fonction

• Plus généralement, si l'expression d'une fonction comporte des fonctions usuelles telles que Arcsin, Arccos, Arctan, etc. il faut veiller à ce que x soit dans l'ensemble de définition de ces fonctions usuelles.

Remarque : si l'expression d'une fonction contient à la fois des quotients, des racines carrées et des logarithmes, il faut retirer à l'ensemble de définition toutes les valeurs de x qui ne conviennent pas.

Si vous souhaitez vous entraîner, n'hésitez pas à demander des exercices dans la rubrique Révisions en cliquant ici, je me ferais un plaisir de vous en donner

[invitea7fcfc37]

Déterminer le sens de variation d'une fonction

Pour déterminer le sens de variation d'une fonction, il existe deux méthodes principales.

1^ère méthode

Soient et deux réels appartenant à un intervalle inclus dans l'ensemble de définition de la fonction tels que .

Si pour tous et , implique , alors est croissante sur .
Si pour tous et , implique , alors est décroissante sur .

On définit de même la stricte croissance et la stricte décroissance :

Si pour tous et , implique , alors est strictement croissante sur .
Si pour tous et , implique , alors est strictement décroissante sur .

Ainsi, pour montrer qu'une fonction est croissante ou décroissante, il faut calculer .

• Si , alors et ainsi, f est croissante.

• Si , alors et ainsi, f est décroissante.

Exemple

On considère la fonction .
On choisit a et b dans [0;+] tels que a > b.
On calcule :



On obtient un produit de deux facteurs.
Or car et sont positifs.
Et car on a supposé .
Donc le produit est négatif, et on a alors :



Donc f est croissante sur

Remarque : si on avait choisi a et b réels, on aurait rien pu dire du signe de a+b

Le lecteur soucieux d'avoir assimilé la méthode pourra montrer que f est décroissante sur .

2^ème méthode

On calcule la dérivée de la fonction, puis on étudie le signe de la dérivée.

• Si la dérivée est positive sur un intervalle I, alors la fonction est croissante sur I.
• Si la dérivée est négative sur un intervalle J, alors la fonction est décroissante sur J.

Remarque : Si la dérivée s'annule en x₀, alors la courbe représentative de la fonction f admet une tangente horizontale en x₀.

Exemple

Considérons la fonction .
Calculons :





Donc est croissante sur décroissante sur et admet une tangente horizontale en

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea7fcfc37]

Montrer qu'une fonction est paire ou impaire

Une fonction est dite paire* lorsque pour tout , .
Une fonction est dite impaire* lorsque pour tout , .

Graphiquement, on observe que la droite d'équation est un axe de symétrie de la courbe.

Ainsi, pour montrer qu'une fonction est paire, il faut calculer , et montrer que son expression est la même que celle de .
De même, pour montrer qu'une fonction est impaire, il faut calculer , et montrer que son expression est la même que celle de .

Exemple

Considérons
Calculons :



Ainsi, on a montré qu'un fonction de la forme était paire.

Question : qu'en est-il des puissances impaires ?

Considérons
Calculons f(-x) :



On remarque finalement que , c'est à dire qu'une fonction de la forme est impaire.

* Le domaine de définition d'une fonction paire/impaire doit être symétrique par rapport à l'origine de sorte que pour tout , on ait bien .

[invitea7fcfc37]

Comment déterminer l'équation d'une droite en connaissant 2 de ses points

Notre but est ici de déterminer l'équation dite cartésienne d'une droite dont on connait deux points.

L'équation cartésienne de la droite est où désigne le coefficient directeur de la droite, et l'ordonnée à l'origine.

Soient et deux points de la droite .

Pour déterminer l'équation cartésienne de , il faut :

• Calculer son coefficient directeur

L'expression de est la suivante :

• Déterminer l'ordonnée à l'origine

On sait que donc .
En choisissant l'un des deux points ou , on remplace et dans l'expression de b par les coordonnées d'un des deux points, par exemple .

On a donc déterminé et , et trouvé l'équation cartésienne de .

Exemple

Soient et deux points appartenant à une droite .
Déterminons son équation cartésienne.
On calcule tout d'abord :



Comme , il vient .
En remplaçant par les coordonnées de A, on obtient :


Finalement, l'équation cartésienne de D est .

[Bruno]

:: TECHNIQUES DE DERIVATION ::

0. INTRODUCTION.

La dérivation est, contrairement à son inverse (l'intégration), une technique assez répétitive quand on connait les quelques formules passe partout.
En somme, pas besoin de chercher longtemps, car on voit directement la formule à utiliser.

Cette fiche ne contiendra pas les développements qui mènent aux formules, ceux-ci étant considérés comme vus, mais retenez globalement que, la dérivée d'une fonction f(x) n'est autre qu'une limite :

D'où vient cette affreuse chose ? Non mais, vous n'avez pas honte ? revoyez votre cours ! :P

Enfin, avant de commencer, une chose qui vous sera utile (une propriété) :

(a.f(x))' = a.(f(x))'

(pour tout a appartenant à R)

En gros, cette chose veut dire que si vous dérivez une fonction qui est multipliée (ou divisée) par un nombre, vous pouvez sortir ce nombre de la dérivée.

exemple : (2x)' = 2 . (x)'

NOTATIONS : Dans toute la suite, F et G désignent deux fonctions dérivables.
Par abus de notation, nous noterons (F)' la dérivée de F ; (G)' représente donc la dérivée de G.

ATTENTION: F et G ne représentent en rien des primitives, il s'agit d'une notation choisie pour la clarté des explications !!


1. RAPPELS : BASES DE LA DERIVATION.

2.1 Fonctions usuelles.
Ainsi, on a pu établir diverses formules de dérivation en fonction du type de fonction traitée : somme, produit, quotient, exponentielle...

Par exemple, vous savez tous que la dérivée d'une fonction constante donne toujours zéro.

ex. : F(x) = 3 --> F'(x) = 0 ; car la pente de la tangente est nulle (la tangente est la fonction)

Voici donc la base des bases en matière de dérivation, qui fera office de rappel :

2.2 Fonctions trigonométriques

2.3 Fonctions Arc.

2.4 Fonctions logarithmes et exponentielles.

Bon pour celles-là retenez deux choses :

1 - En ce qui concerne les dérivées des logarithmes, vous avez un logarithme spécial qui dont la dérivée est la fonction inverse, on l'appelle le logarithme népérien. Si on vous demande de dériver un logarithme non népérien (qui a une base différente du nombre e), alors utilisez la propriété du changement de base. Cela vous ramène à dériver un quotient, et ça vous saurez faire après avoir lu plus bas.

Et si vous vous amusez à essayer de trouver la dérivée du log en base a de x, vous tomberez sur ça :

2 - Pour ce qui est des fonctions exponentielles, c'est la même chose que pour le 1, vous avez une exponentielle néperienne qui est égale à sa dérivée. Si la base ne vaut pas e, alors utilisez la formule suivante :

ATTENTION : faites attention au contenu de l'exposant/logarithme: il doit lui aussi être dérivé, lisez le point 3.4 !

Et pour les fonctions du genre x^x je fais comment ?
Alors là, vous NE POUVEZ PAS utiliser la formule de composée de fonctions. Il vous faut OBLIGATOIREMENT passer par un artifice de calcul (genre 1 revient à écrire 1-x+x).

Vous vous rappelez comment vous avez trouvé la dérivée d'un ln ? Surement en partant de l'équivalence de deux dérivées:

(x)' = (e^{ln (x)})'

A quoi ça sert ? Principalement dans les calculs de limites, par exemple une limite en +oo, qui vous donnerais qqch du genre (1)⁺⁰⁰ .. qui ne fait pas 1 ! (ce sera généralement une expression avec le nombre e).

Et bien ici c'est la même chose : x^x revient à écrire e^{x.ln (x)}, que vous pouvez maintenant dériver !

3. FORMULES DE DERIVATION.

3.1 Somme de fonctions.
Il s'agit du seul cas autorisant la distribution de la dérivée.

Si vous avez une somme de deux fonctions (ou une différence, cela revient au même), il vous suffit de dériver la première, et ensuite la seconde.

exemples :
a) (2x)' = (x + x)' = x' + x' = 1 + 1 = 2
b) (x² + 2x + 1)' = (x²)' + (2x)' + (1)' = 2x + 2
c) (cos x + sin x)' = (cos x)' + (sin x)' = -sin x + cos x

Ca va c'est pas trop dur ? :P Pour en arriver à la formule, on peut donc synthétiser cela en :

(F + G)' = F' + G'

Ah oui, et quand je disais que cela était la même chose pour une différence, la formule devient donc :

(F - G)' = F' - G'

3.2 Produit de fonctions.
Pour un produit, ça devient un peu plus compliqué mais pas tant que ça car figurez-vous que cela ne nous donnera pas un produit de deux dérivées.. mais bien une somme de produits, chacun contenant une dérivée !

J'en viens directement à la formule :

(F.G)' = F'G + FG'

Appliquons cela :

(cos x . sin x)' = (cos x)'.sin x + cos x . (sin x)' = -sin² x + cos² x

Notez que s'il nous fallait dériver un produit de 3 fonctions A, B et C, il nous suffirait d'appliquer deux fois la formule :

(A.B.C)' = A.(B.C) = A'.B.C + A.(B.C)' = A'.B.C + A.(BC' + B'C)

3.3 Quotient de fonctions.
Alors là ça se corse un peu car la formule est assez spéciale :

(F/G)' = (F'G - FG')/(G²)

Notez bien la présence du signe négatif ainsi que l'ordre dans lequel on dérive F et G tour à tour !

Un exemple :

[(x+1)/(x-1)]' = [(x+1)'.(x-1) - (x-1)'.(x+1)]/(x-1)² = -2/(x-1)²

3.4 Composée de fonctions.

C'est quoi ça ?? Allez un petit rappel :P

Rappel :
Lorsqu'on a deux fonctions F et G, la fonction G o F (lire "G rond F") est la fonction définie par G o F(x) =
G[F(x)].

exemple :
On prend :
F(x) = x + 3
G(x) = 2x - 5
Donc :
G o F (x) = G [ G(x) ] = G(x + 3) = 2(x + 3) - 5 = 2x + 6 - 5 = 2x + 1
G o F (1) = g [ F(1) ] = G(4) = 2(4) - 5 = 8 - 5 = 3

Attention : F o G est très souvent différent de G o F

Ce petit rappel fait, voici la formule.

(F o G)' = (F' o G).G'

Exemple :
F = x²
G = 2x

Alors ici on pourrait passer un temps fou à calculer F' o G etc... alors qu'il suffit de dériver le tout "compacté" :

F o G = F[G(x)] = 4x²

Et la dérivée de 4x² est... 2.4.x = 8x !

MAIS, cette formule ne doit surement pas vous dire grand chose, vous l'avez (surement) vue sous cette forme :

[u(v)]' = u'(v).v'

Une petite explication pour ce machin barbare : il faut vous imaginer votre fonction (prenons racine de 2x) comme une sorte de poupée russe, où différentes fonctions s'emboitent les unes dans les autres :

Vous avez donc la fonction "2x" qui a été emboitée dans la fonction "racine de ..." --> on a remplacé les "..." par "2x" Pour interpréter correctement cette formule de dérivation, on va voir la fonction verte comme une fonction globale, qui englobe la pauvre fonction "2x", comme avec des bras.

La formule dit : on fait un produit de deux choses, mais quelles sont ces choses ?

- u'(v) représente notre fonction globale, la verte : vous devez donc dériver celle-ci (ici, une racine), sans tenir compte de ce qu'il y a dedans
- v', ça vous l'avez sans doute compris, on dérive le contenu de la fonction verte, ici le 2x

ATTENTION: dans pas mal de cas, vous aurez un emboitement de plus de deux fonctions, ce qui vous ramènera toujours à un produit.

Dans ce cas, là, vous devez faire le produit de :

- la dérivée de la racine
- la dérivée du ln
- ET LA DERIVEE DU CONTENU DU ln !!!!

Vous comprenez donc qu'il s'agit d'un truc assez "puissant" en matière de dérivation.

3.5 Réciproque de fonctions.
Là non plus je vais pas y passer des années, ce truc ne m'a jamais servit, pour tout vous avouer je ne connaissais même pas la formule ! :P

F^-1 représente la réciproque de F
Rappel : la réciproque d'une fonction est la fonction "trouvée" quand on permutte les x par les y et après avoir isolé le y


Voici donc la formule :

[Bruno]

:: RESOLUTION D'EQUATIONS TRIGONOMETRIQUES ::
Equations et inéquations.

Notation : k est un entier


1. RAPPELS : EQUATIONS FONDAMENTALES.

Alors ça c'est simple :

1) sin x = sin a

ou

2) cos x = cos a

3) tg x = tg a

ET !!!

2. EQUATIONS REDUCTIBLES AU TYPE FONDAMENTAL PAR FACTORISATION.

Il vous suffira parfois de factoriser votre expression

exemple :
sin x + sin 2x + sin 3x = 0
2sin (2x) . cos (-x) + sin (2x) = 0
sin (2x).(2cos x + 1) = 0

Et vous résolvez chaque membre séparément..

Euh..... comment t'as fait ? : Tout simplement grâce aux formules trigonométriques, je sais que c'est embêtant mais vous DEVEZ les connaître si vous voulez ne pas galérer par la suite !

3. EQUATIONS TYPE "a.cos x + b.sin x = c".

a, b et c sont différents de zéro, sinon c'est trop facile

Alors là il existe deux méthodes principales :

3.1 Première méthode.

Commençons par la plus longue

Je vais d'abord faire un schéma de cette méthode et ensuite l'appliquer à un exemple :

1 - on divise b et c par a
2 - on pose , beta étant strictement compris entre et et
3 - on pose

Bon, ça c'est pour le plan, car je suis sûr que si vous n'avez jamais vu ça, vous avez sûrement décroché au 2 (ou alors vous êtes surdoué :S). Prenons donc un exemple :

Trouver x : 3cox (x) + sin (x) =

//bon alors là à première vue vous êtes complètement paumé
//je vous propos donc d'appliquer notre méthode :S

// commençons par le 1
// on nous dit qu'il faut tout diviser par a, ici le réel a vaut le nombre 3 :

3cox (x) + sin (x) =

devient

cox (x) + sin (x) =

//le point 2 maintenant : il nous dit de poser une tangente, telle qu'elle soit égale au quotient b/a :

tg (A) = b/a = \frac{\sqr{3}}{2}

Le A valant

// notre équation devient donc :



// et si on développe tout ça :

// or on connais la valeur du A (pi/6), le membre de droit est donc :
// par la formule formule trigonométrique, le membre de droite devient , et l'équation se ramène donc à :

Et ça vous savez résoudre !

3.2 Deuxième méthode.

Celle-ci est plus rapide : en effet on va prodéder à la même substitution que l'on utilise dans le calcul intégral :

Poser

Et on a donc :

Et si vous substituez tout ça dans notre équation type a.cox (x) + b.sin (x) = c , vous tomberez sur ceci :

(c+a).t² - 2bt + (c-a) = 0

Et ça, c'est une bête équation du second degré que vous résolvez en cherchant le discriminant (le "delta" pour les bêtes, et le "rho" pour les malins)etc... puis vous trouver deux valeurs pour t...

Ensuite vous avez donc vos deux valeurs (les racines) pour t, appelons-les t' et t''

On avait posé

Donc

Et vous venez de trouver x !

4. EQUATIONS SYMETRIQUES EN SIN (X) ET EN COS (X).

Qu'est-ce que c'est que ça ? Prenez votre équation, et permuttez les cos et sin. Si vous retombez sur la même fonction, c'est une fonction symétrique !

Si vous avez affaire à une telle équation, foncez directement dans cette substitution :

Poser

Et vos sin et cos deviennent ceci :

Après, vous mettez tout ça en musique dans votre équation, et vous retomberez alors sur une expression simplifiable grâce à vos formules trigonométriques que vous connaissez tous par coeur !

Un petit exemple :

Résoudre : sin x + cos (x) = 2sin x . cos x

// si on permute les sin et cos ensemble, on retombe bien sur la même fonction, donc on peut faire la substitution !

//on arrive donc à ceci :

//et revoilà une fonction du second degré facilement résolvable
//une fois que vous avez trouvé les valeurs de y, vous reprenez vos y et y ajoutez pour avoir vos x ! (car substitution plus haut).

5. EQUATIONS TYPE "a.(sin x + cos x) + b.sin x . cos x = 0"

Il vous suffit de poser y = sin x + cos x , et le produit de ces deux là devient :

Vous retombez sur une fonction du second degré, trouvez les valeurs du y et....

et vous réutilisez ce que vous avez appris au point précédent (le 3), à savoir, comment résoudre ceci :

y = sin x + cos x (équation symétrique !).

Vous résolvez bien sur pour les deux valeurs de y

6. EQUATIONS HOMOGENES TYPE "a.sin² x + b.sin x .cos x + c.cos² x = 0".

Il faut dans un premier temps tout diviser par cos² x, vous retombez sur ceci :

a.tg² x + b.tg x + c = 0

Vous pouvez poser t = tg² x, ou bien directement résoudre votre équation du second degré (cela revient au même, la première façon étant plus "logique" ).

7. LES INEQUATIONS.

Rappel :

1) sin x < a

<=> sin x < sin , en posant sin = a
|a| < 1 [/B]

2) cos x < a

<=> cos x < cos , en posant cos = a
|a| < 1 [/B]

3) tg x < a

<=> tg x < tg , en posant tg = a

4) cotg x < a

<=> cotg x < cotg , en posant cotg = a

N.B. : Quand vous avez affaire à une inéquation, et qu'elle n'est pas immédiate (càd du type que celles ci-dessus), il vous suffit de tout mettre dans un seul membre, de trouver les racines, et de faire votre tableau de signe.

[Duke Alchemist]

Etude de la position relative de deux courbes.

Très souvent rencontrée dans les exos type BAC (notamment pour la position d'une courbe par rapport à son asymptote), ce petit rappel (même si il est évident) ne fera pas de mal

Soient deux courbes C_f et C_g représentatives des fonctions f et g.
C_f | f(x) = ...
C_g | g(x) = ...

L'étude des positions s'effectue à l'aide du signe de f(x) - g(x) :

Si f(x) - g(x) > 0 (ce qui revient à f(x) > g(x)) alors la courbe C_f est au-dessus de la courbe C_g

Si f(x) - g(x) < 0 (ce qui revient à f(x) < g(x)) alors la courbe C_f est en dessous de la courbe C_g

[invite5fba32fd]

J'ai pensé que ce petit récapitulatif serait pas mal . Je le post et laisse aux modérateurs la liberté de le modifier ou en ajouter d'autres points et ajouter d'eventuels exemples .

Etudiez une fonction f(x) revient à suivre le plan suivant :
- ensemble de définition
- limite aux bornes de l'ensemble de définition
- déduction des éventuelles asymptotes
- étude de la parité, périodicité
- détermination de la dérivé
- tableau de variation
- tracer la courbe de la fonction

[invite897678a3]

Bonjour,

Oui, c'est bien, mais il me semble que placer en quatrième position l'étude de la parité et de la périodicité n'est pas très judicieux.
Il me semble que l'on peut se simplifier la vie si nous regardions cela un peu plus tôt.

Amicalement.

[invitec9462f2c]

Bonjour
Cf Knz:
On considère la fonction

Déterminons les valeurs de qui annulent l'un des deux dénominateurs.

Pour le deuxième dénominateur, on remarque que 1 est solution évidente du trinome, donc x^2+2x-3 = (x-1)(x+3)

Comment as - tu le droit d'affirmer que x^2+2x-3 = (x-1)(x+3) juste parce qu'on remarque que 1 est solution évidente du trinôme?
Merci de me répondre.

[invite7d436771]

Bonjour,

Je me permets de répondre à la place de kNz, qui je pense ne m'en voudra pas ^^. Il faudrait peut-être nettoyer le fil après tout ça...

Comment as - tu le droit d'affirmer que x^2+2x-3 = (x-1)(x+3) juste parce qu'on remarque que 1 est solution évidente du trinôme?
Merci de me répondre.

Alors quand est solution d'un polynôme, on peut factoriser celui-ci par , c'est une propriété à connaître, admise avant le bac, démontrée après. Le but est donc ici de factoriser par (x-1). Comme nous avons ici affaire ici à un polynôme du second degré, on sait qu'il y a au mieux 2 racines réelles, donc que le reste de la factorisation sera de la forme . Tu peux alors soit développer et identifier, sois utiliser le fait que le produit des racines donne (je précise que a et c réfèrent ici aux coefficients du polynôme qui apparaissent dans les formules type discriminant). Tu trouves alors que l'autre racine est -3, d'où la factorisation.

Cordialement,

Nox

[invitec9462f2c]

Compris merci
surtout ne vous génez pas pour effacer tout ça^^
à la prochaine

Lému.

[invitec8ae6fb6]

Bonjour, je propose une petite technique pour transformer l'écriture d'une fraction afin de calculer ses limites et/ou sa dérivée plus facilement :

Prenons un exemple :

soit f(x) = x- (e^x-1)/(e^x+1)

technique : faire apparaitre le dénominateur au niveau du numérateur de la fraction.

Ici le dénominateur est e^x+1 et le numérateur est e^x-1. Le numérateur peut donc s'écrire: e^x+1 - 2. (numérateur = dénominateur -2)

On obtient donc :
f(x) = x- (e^x+1-2)/(e^x+1)

qui s'écrit aussi :
f(x) = x- [(e^x+1)/(e^x+1) - 2/(e^x+1)] c'est-à-dire :

f(x) = x-1+ 2/(e^x+1)

Avec cette nouvelle expression, la limite en +OO est trés facile à trouver...


P.S. Si quelqu'un sait utiliser le language LaTeX, il pourrait peut-être rééditer ou réécrire mon post pour le rendre plus lisible. (Désolé je en sais pas utiliser ce language)

[invite3ba0dddb]

salut,
soit la fonction définie par déterminer les coefficients a,b,c tel que

on met cette dernière sous le même dénominateur:



ensuite on rassemble les x


comme deux polynômes sont égaux si leurs coefficients sont égaux alors


donc

[invitefd754499]

Bonjour, quelqu'un pourrait il poster un petit récapitulatif sur les logarithmes, merci

[invite3ba0dddb]

salut,
voilà comment faire pour trouver l'équation d'un plan passant par 3 points(étant donnée que j'ai pris des valeurs au pif c'est normal si on tombe sur des calcul "lourd")

soit 3 points

on commence par vérifier que les points ne sont alignés en regardant si les coordonnées des vecteurs suivant sont proportionnelles


les coordonnées ne sont pas proportionnelles par conséquent les 3 points ne sont pas alignés et définissent un plan
de la forme
par conséquent il existe un vecteur normal au plan ABC tel que:




on résous le système


on remplace a dans la première équation


par conséquent est un vecteur normal au plan ABC
Par conséquent pour tout point quelconque du plan ABC on a:
avec

donc

par conséquent une équation du plan ABC est

[invite93845cf6]

Salut, voici un récapitulatif des logarithmes:

Propriétés générales de calcul:





pour tout entier relatif.

Valeurs particulières:





Le logarithme décimal:

Il possède les mêmes propriétés de calcul que le logarithme népérien.
Il se définit par :


Limites à connaître:

pour tout entier naturel .

pour tout entier naturel .





Résolutions d'équation:

[Seirios]

Propriétés générales de calcul:





pour tout entier relatif.

N.B. : Il faut penser, en manipulant ces propriétés, à l'ensemble de définition du logarithme népérien !

[invite93845cf6]

N.B. : Il faut penser, en manipulant ces propriétés, à l'ensemble de définition du logarithme népérien !

C'est vrai, je n'y avais pas pensé

[invitefd754499]

Merci .

PS : je crois qu'un petit nettoyage de printe...euh d'ete s'impose!

[invitedb2255b0]

Remarque (sur ton récapitulatif): ln(a+b) = ln(a+b). Ca se simplifie pas et ca reste comme çà.

[invite02e16773]

Enoncés et utilisations du théorème des valeurs intermédiaires (T.V.I.) et du théorème de la bijection.
Le T.V.I. tombe peu au bac, le théorème de la bijection est quasi-systématique, la méthode par balayage très fréquente.
Les démonstrations sont hors programme.

I. Théorème des valeurs intermédiaires
1.Enoncé (postbac, hors programme de terminale)
Soit une fonction de dans , définie et continue sur un intervalle .
Alors est un intervalle.
Remarque :
En français, cela donne : " f(I) est l'ensemble des images par f des éléments de I", ou encore "f(I) est l'ensemble des réels ayant moins un antécédent sur I".

2. Conséquence du théorème (au programme de terminale) :
Soit f une fonction continue sur un intervalle I de .
Soit a et b deux réels appartenant à .
Pour tout réel compris entre et , il existe un réel compris entre et tel que .

3. Cas particulier où est un segment, c'est-à-dire .
Première formulation (hors programme de terminale) :
Si est un segment et une fonction continue sur I, alors est un segment.
Autres formulations (au programme) :
*Si est continue sur , il existe deux réels et tels que , avec et minimum et maximum de sur .
* Si est continue sur , alors est bornée sur

4. Application : méthode de résolution d'une équation par dichotomie, ou méthode "par balayage"
Soit l'équation (E) à résoudre sur .
On pose . est un polynôme donc est continue.
De plus, et
0 est une valeur intermédiaire à et à , donc d'après le T.V.I., il existe tel que
On vient de démontrer l'existence d'une solution de .
Remarque : il en existe au moins une. On ne sait pas combien.

On peut recommencer le raisonnement : et , donc la solution se trouve dans l'intervalle
En continuant d'affiner la recherche (souvent à la calculette, avec un tableau de valeurs) on peut obtenir une solution au dixième, centième, ...
Là encore, on encadre au moins une solution entre [-2,1], mais peut-être y en a t-il plusieurs. La seule application du TVI ne nous permet pas de le savoir.

II. Théorème de la bijection
1. Enoncé (niveau terminale)
Soit une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle . Soient et
Alors, pour tout compris entre et , il existe un unique tel que .

2. Conséquence immédiate :
L'équation d'inconnue x, f(x) = y admet une unique solution sur I.

3. Application : recherche du nombre exact de solution d'une équation
. Montrer que admet une unique solution sur
soit .
*f est continue sur (polynôme).
*f est dérivable sur (polynôme), et donc est strictement croissante sur
* et donc
f est strictement croissante et continue sur [-2,1], donc, d'après le théorème de la bijection, il existe un unique tel que .
L'équation a bien une unique solution, , comprise entre -2 et 1.

Bilan : le théorème de la bijection est plus "fort" que le T.V.I., tout comme ses hypothèses.

[invitedb8a1308]

Pourquoi verfier que le denominateur est different de 0 avant de diviser?

Parceque on tombe sur des trucs impossible, la plupart du temps, ça marche,mais quelque fois... Il faut verifier.

On prend un exemple
2x=3x
on divise par x
2=3 ce qui est impossible(on le voit bien)
Car on a pas verifier que x devait être different de 0.
x=0 est la seule solution à cette équation.

[inviteffc7dcca]

Bonjour tout le monde !
Pour connaître les méthodes à retenir- en tout cas pour la terminale S- xxx Publicité xxx

Voilà ! bon courage aux matheux !

[invitecc199ba3]

Bonjour,

Alors, je suis actuellement en 1èreS et j'aimerais que vous me donnez une méthode sur les vecteurs, en effet je n'y comprends rien... Ce serais sympa si
vous m'expliquiez

Au revoir

[danyvio]

Orthographe et soin : 1 point.


Merci à tout ceux qui se sont donnés la peine de m'avoir lu,

Cordialement,

kNz.

Merci à tous ceux qui se sont donné la peine de m'avoir lu,

C'était la minute de M^e Capello, en toute cordialité

[invite7e54d0bd]

mon dieu que je vous aime !!!!!

[invitec8b501f9]

Bonjour j'ai besoin d'aide pour un probleme de Maths et je comprends pas voici l'énoncé :

Dans une salle de bain, on veut recouvrir le mur situé au-dessus de la baignoire avec un nombre entier de carreaux de faïence de forme carré donc le côté est un nombre entier de centimétres le plus grand possible.

a/Determiner la longueur, en cm,du côté d'un carreau, sachant que le mur mesure 210cm de hauteur et 135cm de longueur!

b/Combien faudra t'il alors de carreaux ?


Je voudrais ajouté que la question d'avant me demander de calculer le PGCD de 135 et 210 (=15)

Merci