[TS] Géométrie dans l'espace : Polynésie sept 03

[invitefc60305c]

Bonjour.
Bon, voila mon dernier exo de géométrie dans l'espace !
Ca serait gentil de vérifier mes résultats. En plus, je bloque à la dernière question =(
Merci bcp à tous !

http://forums.futura-sciences.com/BA...pesept2003.pdf

Soit s un réel.
A(8;0;8)
B(10;3;10)
Et la droite D d'équations paramétriques :





1)a) Donner un système d'équations paramétriques de la droite D' définie par A et B.

 Cliquez pour afficher

D' définie par A et B <=> est un vecteur directeur de D'.
Or donc :

b) Démontrer que D et D' sont non coplanaires.

 Cliquez pour afficher

Soit le vecteur directeur de D,
et non colinéaires
Et non sécants car le système :





N'a aucune solution. (on trouve t = -5 et s = -9 ce qui après vérification ne marche pas).

2)a) Le plan (P) est parallèle à D et contient D'. Montrer que est un vecteur normal à (P).
Déterminer une équation cartésienne de (P).

 Cliquez pour afficher

vecteur normal à (P) <=>


(P) :
A appartient à (P) <=> A(8;0;8) vérifie l'équation de (P) <=> <=>

(P) :

b) Mq la distance d'un point quelconque M de D à (P) est indépendante de M.

 Cliquez pour afficher

Soit H le projeté orthogonal de M sur (P).

(donc )

(donc )

c) Donner un système d'équations paramétriques de la droite définie par l'intersection de (P) avec le plan (xOy).

 Cliquez pour afficher

(P) :
(xOy) :

donc leur intersection est :

on pose avec k réel.
on a :

3) La sphère S est tangente à (P) au point C(10;1;6). Le centre E de S se trouve à la distance d = 6 de (P) du même côté que O.
Donner l'équation cartésienne de S.

 Cliquez pour afficher

...

-----

[invite35452583]

1)a) une équivalence de trop dans l'énoncé et le résultat arrive trop vite à mon avis (une étape qui me semble utile est de dire qu'un système de D' peut être trouvé de la forme x=2t+a y=3t+b z=2t+c, a,b et c étant déterminés en posant que t=0 correpond à A d'où...)
Le résultat est bon.
1)b) très bien

2)a) u.AB=0 ne suffit pas il faut aussi montrer que la direction de u est orthogonale à celle de D'.
Pour l'équation très bien.
2)b) le fait que tous les points d'une droite d soient équidistants à un plan parallèle n'est pas du cours ? sinon méthode rapide très bien.
2)c) très bien
3) Que peut-on dire de (EC) et du plan P (la sphère est tangente en C à P) ? On connaît la distance et la position relative de E/P donc on sait déterminer E.
Le rayon de la sphère=?
centre connu, rayon connu donc équation connue

[invitefc60305c]

Ce qui donne





soit





On pose donc

On vérifie que les coordonnées assurent l'orthogonalité de (EC) avec (P).

On conclut :

[invite35452583]

Très bien à part qu'il est inutile de poser 3 équations :

2 suffisent car si (EC) est orthogonal à deux droites non parallèles du plan, elle est orthogonale à toutes les droites (ce qui fait que l'on aboutit à 3 équations non indépendantes).

[A voir en vidéo sur Futura]

[chr57]

salut,

j'aurais 2 questions sur ce sujet:

à la 2.b : ne suffirait-il pas de rédiger quelques lignes:

La distance d'un point à un plan est la distance de point jusqu'au projeté orthogonal de ce point sur le plan. Or, ici, M appartient à (D) et (D) est parallèle à (P): ainsi, quelque soit M appartenant à (D), la distance de M au plan (P) est la même.

pour la 3 : pourquoi a-t-on le droit de poser x=1 ? ça semble un peu tomber du ciel.

[invitefc60305c]

Salut.

En fait, on paramétrise le système, x devient un paramètre et non plus une inconnue. Donc on peut lui fixer une valeur arbitraire.

[chr57]

d'accord, on paramétrise le système mais pourquoi a-t-on le droit ?

E est un point dont on cherche les coordonnées.

D'accord pour poser la valeur d'une coordonnée d'un vecteur normal, dont on cherche les coordonnées, à 2 autres vecteurs, mais ici, j'arrive pas à comprendre pourquoi on peut poser une valeur.

D'ailleurs en calculant la distance de E(1;10;3/2) au plan (P) avec ces coordonnées, je ne trouve pas 6.

[invite35452583]

Autant pour moi, j'i donné mon accord trop vite.
Chr 57 a raison le E donné ne convient pas, on ne peut pas imposer le paramètre ainsi.
On a bien pour E suite à l'orthogonalité de (EC) et du plan P :
x=2z-2 et y=13-2z.
d(E;P)=6 donc l 2(2-2)-2(13-2z)+z-24 l/3=6 ()
l 9z-54 l=18 on "lève" la valeur absolue en se rappelant que E et O sont du même côté Pour 0 on obtient pour l'équation de plan choisi -24<0.
Donc 9z-54=-18 z=4
E : (6;5;4)
Equation (x-6)²+(y-5)²+(z-4)²=6²=36

[invite5e83124d]

bonjour.
Je fais le même exercice et je suis coincé aussi à la dernière question mais il y a quelque chose que je ne comprend pas o début de la réponse, vous dite:




jusque la je suis d'accord mais après



pourquoi rajouter le 35, le 9 et le -13 ? c'est un produit scalaire que l'on fait on n'a pas de valeurs en plus.
Pouvez vous m'éclairer svp parce que la je suis dans le noir.
merci

[quote=ilovejapan;1657079]désolé les calculs ne sont pas affichés






Ce qui donne

[invite35452583]

ilovejapan, tu ne vas nous poser tes questions façon puzzle quand même.
Pour l'instant je ne comprends pas ta question alors sois plus précis STP.

[invite5e83124d]

oui désolé j'ai eu un petit probleme,
alors je repose ma question, voila pour la question 3 de l'exercice, anonymus a commencer a répondre en disant que
EC.AB=0
EC.AC=0
EC.BC=0
jusque la je suis d'accord mais c'est la suite qui ne me parrais pas logique
2x+3y+2z-35=0
-2x-y+2z+9=0
z+2z-13=0
Ici je ne comprend pas on rajoute -35, 9 et -13 parce que l'on fait juste un produit scalaire on utilise la formule xx'+yy'+zz'.

[invite35452583]

Les " x ", " x' ",...," z' " sont les coordonnées des vecteurs EC et AB par exemple.
Or, les coordonnées de EC sont (x-x_C, y-y_C, z-z_C) où xC, yC et zC sont des constantes connues. Quand on fait le produit scalaire chaque coordonnée de E x,y,z est multipliée chacune avec une coordonnée du vecteur AB (constante calculable), d'où l'apparition d'une partie en ax+by+cz, tandis que chaque xC, YC, Zc est multipliée chacune avec une coordonnée du vecteur AB puis sommées pour donner une constante.