(n-1)n(n+1), divisible par 3

[invitec053041c]

Ca relève pas de la subtilité, ça relève de l'évidence et de la vérité .
Comme ça a été dit, c'est comme si on veut montrer qu'un nombre pair est divisible par 2...
-----

[Hamb]

Sinon autre preuve en utilisant vicieusement un résultat généralement admis en Tle : (n-1)n(n+1)=6 or est un entier et 3 divise 6 donc le produit des deux est un multiple de 3.

Je suis en terminale et on a démontré la formule sur les combinaisons par récurrence. Mais je dois avouer que c'est lputot vicieux de passer par la

[Ecthelion22]

Je suis en terminale et on a démontré la formule sur les combinaisons par récurrence. Mais je dois avouer que c'est lputot vicieux de passer par la

C'est génial plutôt. Même pas besoin d'avoir suivi l'enseignement de spécialité maths (qui contient le petit théorème de Fermat) pour résoudre très rapidement l'exercice.

Par contre, l'étude de cas avec les h=0 à h=2, c'est le corps d'une récurrence. Il suffit d'enrober avec l'initialisation pour être bien rigoureux. Parce que apparemment cette seule étude de cas même avec les bons quantificateurs ne suffit pas à certains.

Ca relève pas de la subtilité, ça relève de l'évidence et de la vérité .
Comme ça a été dit, c'est comme si on veut montrer qu'un nombre pair est divisible par 2...

Bah écoute, mets ça sur ta copie le jour où on te posera une question. En plus ce qui est pratique c'est que ta réponse convient à tout type de questions, tu pourras même la remettre plusieurs fois dans un même devoir.
Et puis pour l'histoire du nombre pair, sa définition est d'être divisible par deux, pas d'être le produit de 2 nombres consécutifs. Donc si on te demande de démontrer qu'un nombre produit de deux nombres consécutifs est pair, tu ne vas pas répondre "bah il est pair (ou divisible par 2 ça revient au même) donc il est pair".
Surtout quand on peux fournir 2 démonstrations d'une ligne chacune. (ok mon idée était bien trop longue). Ca serait plus long d'expliquer en faisant des phrases... donc c'est vraiment histoire de critiquer.

Cordialement,
Ecthelion

[invitec053041c]

Bah écoute, mets ça sur ta copie le jour où on te posera une question. En plus ce qui est pratique c'est que ta réponse convient à tout type de questions, tu pourras même la remettre plusieurs fois dans un même devoir.

Merci de me faire passer pour un imbécile. Des démonstrations je peux en donner, mais ça passe sous le sens sur le coup. Je suis en général contre les "évidences " en mathématiques (cf (1+1/n)^n), mais bon il y a tellement de choses sur lesquelles on se casse la tête que là ça vaut pas trop le coup de s'y attarder plus que ça.

[invitee482a8c3]

C'est une suite, donc obligé de montrer par récurrence :
il faut montrer que (n-1)n(n+1) est divisible pas 3 en développant tout simplement l'équation
Et il faut montrer que la suite : n(n+1)(n+2) est divisible par 3, en développant également.
Ensuite il faut dire que l'on vient de montrer par récurrence que la suite
(n-1)n(n+1) est divisible par 3

[invitec053041c]

C'est une suite, donc obligé de montrer par récurrence :
il faut montrer que (n-1)n(n+1) est divisible pas 3 en développant tout simplement l'équation
Et il faut montrer que la suite : n(n+1)(n+2) est divisible par 3, en développant également.
Ensuite il faut dire que l'on vient de montrer par récurrence que la suite
(n-1)n(n+1) est divisible par 3

Ceci dit, par Fermat c'est bien plus immédiat.

[danyvio]

Pour élever un peu le débat, il existe des tas de théorèmes plus généraux:

* Dans une suite de p nombres consécutifs, un (et un seul) est divisible par p
* Le produit de p nombre consécutifs est donc divisible par p (trivial)
* Mais aussi : le produit de p nombres consécutifs est divisible par p! (plus coton à démontrer)

[invite35452583]

C'est une suite, donc obligé de montrer par récurrence

Vrai sur le fond, faux sur la forme.
J'ai fourni 3 démos :
* montrer que parmi n-1, n et n+1 il y a toujours un multiple de 3
* utiliser le petit théorème de Fermat
*utiliser les combinaisons
Pas une seule ne contient formellement de récurrence.
Alors pourquoi vrai sur le fond ? parce que toutes les trois utilisent un résultat (division euclidienne pour la 1ère, le théorème lui-même pour le second, l'expression des combinaisons pour la 3ème) qui est montré par récurrence.
En fait si on peut utiliser un résultat qui est montré lui-même par récurence il est possible que l'utilisation de cette méthode ne soit plus indispensable.

[invite35452583]

le produit de p nombres consécutifs est divisible par p! (plus coton à démontrer)

On a le droit aux combinaisons ?

[Hamb]

C'est fou ce qu'on peut faire avec une combinaison a part du ski ...

[Ecthelion22]

le produit de p nombres consécutifs est divisible par p! (plus coton à démontrer)

Bah avec les combinaisons sur le modèle donné par homotopie (de toute façon une récurrence serait très dure à initialiser étant donné qu'on veut p entiers consécutifs sans savoir d'où on part) :
on prend les p entiers consécutifs à partir de n+1 inclu :
et on veut montrer que (n+p)!/[n!.p!]=R avec R entier naturel.

n étant un naturel, il existe m naturel tel que n=m-p d'où :
(m-p+p)/[(m-p)!.(p!)]= C(m,p) or C(m,p) est un naturel.

Ca revient à dire qu'on a le rapport égal à C(n+p,p), on aurait pu sauter le changement de variable.

Mais je ne vois pas trop comment on pourrait faire autrement pour le coup. Quand on commence à mettre des factoriels, il fut utiliser une méthode qui en inclut déjà. Bon c'était un peu hors sujet mais bon...

Dans une suite de p nombres consécutifs, un (et un seul) est divisible par p
* Le produit de p nombre consécutifs est donc divisible par p (trivial)

Oui on en arrive à cette conclusion (ça pourrait d'ailleurs être l'objet d'une question suivante, ça ferait réfléchir l'élève sur ce qu'il vient de montrer). Mais on ne peut bien sûr l'utiliser pour répondre.

Cordialement,
Ecthelion

[invite35452583]

Mais je ne vois pas trop comment on pourrait faire autrement pour le coup.

Une démo classique dans un est basée sur le principe suivant : on considère un nombre premier q, on regarde à quelle puissance il est présent dans la décomposition en facteurs premiers dans p! puis on montre qu'on l'a au moins à la même puissance dans le produit de p nombres consécutifs. Même avec cette piste, il reste, je suis d'accord, des difficultés. Bon exercice mais assez sportif pour le niveau lycée.
(une autre est de montrer que les coefficients du binôme de Newton, définis comme étant les coefficients apparaissant dans le développement de (a+b)^n et donc entiers, sont les combinaisons ; une autre est de montrer proprement que ces combinaisons sont bien le nombre de sous-parties, de cardinal k, dans un ensemble de cardinal n)*. Ma proposition est valable mais je l'ai fait en ayant conscience que je ne faisais que déplacer le problème..
* : plus accessible au niveau lycée.

[invite018d1711]

Donc bonjour =)
Je suis en 3ème et nous avons eu cette exercice dans un Dm ^^'

Donc voilà en gros j'ai compris pourquoi, mais je ne sais pas comment le démontrer =/
Et faire plein de calcul un peu partout sur la feuille ça va pas me rapporter beaucoup de point ^^'

Donc voilà si vous pouvez m'aider, sans me dire exactement comment faire ^^

merci =)


/!\ EDIT /!\ Désolé d'avoir fait un gros up x)

[leodark]

En troisième vous avez de l’arithmétique? WTF?
Ba relis le sujet en entier et tu trouvera les réponses.
Pour moi la meilleur restant de dire soit n=3p ou n=3p+1 ou n=3p+2.

(Meilleur dans le sens où celle avec le théorème de Fermat est relativement absurde car imo si l'on s'autorise d'utiliser ce théorème on s'autorise aussi de dire immédiatement "dans trois entiers consécutifs un est divisible par 3")

[pallas]

une démonstration simple
Comme n est un entier
ou n= 3k alors terminé
ou n=2k++1 alors n+1= 3k+2 et n+2 = 3k+3 donc terminé
ou n=3k+2 alors ... terminé

[ansset]

une démonstration simple
Comme n est un entier
ou n= 3k alors terminé
ou n=2k++1 alors n+1= 3k+2 et n+2 = 3k+3 donc terminé
ou n=3k+2 alors ... terminé

ben oui , c'est le plus immédiat ( a la petite faute de frappe prèt sur la deuxième ligne )
faire intervenir fermat,c'est un peu prendre un marteau pour ecraser une mouche !
quand au raisonnement par recurrence , c'est le mode "pourquoi faire simple quand ...."

[invite0d3d440a]

Salut
J'ai eu la même question en cours de spécialité math en terminal, il faut en effet montrer que ce sont trois nombre consécutif , donc il y en a forcément un multiple de 3 , donc c'est divisible par 3 .

[invite018d1711]

J'ai pas tout compris...

[invitee27a8b07]

Si tu prends les nombres entiers dans l'ordre, tu auras un nombre multiple de 3, deux nombres qui ne sont pas multiples de 3, un multiple de 3, etc.

Il suffit de compter : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9... (en gras, les multiples de 3).

n-1, n et n+1 sont trois entiers consécutifs, donc l'un d'eux est forcément un multiple de 3.

[invite018d1711]

Ah d'accord

Merci =)

[invite018d1711]

Donc me revoilà, désolé du double post =/

Donc en gros j'ai compris pourquoi, mais je n'arrive pas à le démontrer !

En gros voici l'exercice:


1) Choisir trois nombres entier consécutifs. Vérifier que leur somme est un multiple de 3.

2) Si on désigne n un nombre entier, comment se note le nombre entier qui le suit et celui qui le précède ?

3) Démontrer que la somme de trois nombres entiers consécutifs est un multiple de 3.


Et voici ce que j'ai fait pour l'instant:

1) 11, 12 et 13. 11+12+13=36. 36/3=12.

2) n-1<n<n+1

3) n-1<n<n+1 est la même chose que 3n.

Or 3xn, quelque soit n , le résultat sera toujours divisible par 3.

Donc la somme de 3 nombres entier consécutifs est toujours divisible par 3.


Donc voilà, sauf que pour la 3, ça m'a pas l'air très clair =/
Pouvez-vous me dire si cela peut aller ?

Merci =)

[leodark]

3) n-1<n<n+1 est la même chose que 3n.

Je ne comprend vraiment pas ce que tu veux dire, donc effectivement ce n'est pas très clair.
La "bonne" méthode a déjà été donné plusieurs fois sur ce sujet...

une démonstration simple
Comme n est un entier
ou n= 3k alors terminé
ou n=2k+1 alors n+1= 3k+2 et n+2 = 3k+3 donc terminé
ou n=3k+2 alors ... terminé

[piwi]

Bonjour,

J'ai l'impression que vous vous prenez trop la tête. Commencez toujours par écrire les choses et voir ce que cela donne. Dans le cas de figure qui vous est proposé, la réponse est immédiate. Si on considère n, un entier, alors n + n+1 n+2 = 3n + 3 = 3(n+1) et c'est terminé.
On peut même améliorer le coté direct de la démonstration en pensant symétrique: n-1 + n + n+1 = 3n

piwi

[leodark]

Bonjour,

J'ai l'impression que vous vous prenez trop la tête. Commencez toujours par écrire les choses et voir ce que cela donne. Dans le cas de figure qui vous est proposé, la réponse est immédiate. Si on considère n, un entier, alors n + n+1 n+2 = 3n + 3 = 3(n+1) et c'est terminé.
On peut même améliorer le coté direct de la démonstration en pensant symétrique: n-1 + n + n+1 = 3n

piwi

Pardon, autant pour mois, tout le sujet étant sur la multiplication, j'ai lu trop vite la question.

[invite018d1711]

D'accord, merci pour ces réponses réponses rapide

Par contre leodark, que signifie le " k " ?


" ou n=2k+1 alors n+1= 3k+2 et n+2 = 3k+3 donc terminé "

[ansset]

On peut même améliorer le coté direct de la démonstration en pensant symétrique: n-1 + n + n+1 = 3n
piwi

il me semble que c'est ce qu'a fait collegien, en suivant d'ailleurs la direction d'idée de la question précedente.
sauf que son "écriture" est assez vilaine
n-1<n<n+1 (pas beau ) plutôt que d'ecrire simplement
trois entiers successif n-1,n et n+1

[invite018d1711]

Donc je peux mettre ça dans mon DM ? J'aurais juste a changer le n-1<n<n+1 .

[piwi]

Ecrire n-1<n<n+1 n'est pas équivalent à écrire n-1 + n + n+1. D'un point de vue écriture, vous n'avez en effet qu'à changer "<" en "+" pour que cela devienne correct, mais d'un point de vue conceptuel, cette petite différence est d'importance.
D'un point de vue formel à présent, je pense aussi que vous ferez meilleure impression sur votre professeur en remplaçant "n-1+n+n+1 est la même chose que 3n" par n-1+n+n+1 = 3n.

Cordialement,
piwi

[houcinox]

Bonjour , Ce que tu as dit est juste voici la bonne méthode :
Pour que n(n+1)(n+2) soit divisible par 3 il faut que la somme de ces chiffres soit divisible par 3 aussi
c.à.d n+(n+1)+(n+2) = 3k
Exemple: 230 est divisible par 3 ! démo : 2+3+0= 6 = 2 x 3 = 3k
Alors n+(n+1)+(n+2)= 3n+3 = 3(n+1) = 3k
d'où n(n+1)(n+2) est divisible par 3
En conclusion :
le produit de 3 nombres consécutifs est divisibles par 3 !

[pm42]

Tu réponds à une question de 2007 dans un fil où la dernière contribution remonte à 2011...
Et la solution que tu donnes est déjà sur la 2nde page.

L'enthousiasme te pousse à aller un peu vite, jeune padawan.