Complexe du sixième degré ?

[invite5e392d0d]

Bonjour,

Je suis entrain de bloquer sur quelque chose que je n'ai trouvé nul part ailleurs sur internet, dans les annales, dans les recueil d'exercices... Donc je poste ici parce que je suis vraiment entrain d'éprouver des difficultés sur ce "petit" exercice.

Niveau : Terminale S.

Exercice :

Déterminer dans le plan complexe les points M d'affixe z tels que:

z⁶ - (1+i)z³ + i = 0

J'ai essayé en posant X = z³, comme ça je me retrouve avec une équation complexe du second degré :

<=> X² - X + iX + i = 0
<=> ( X² - X) + i(X + 1) = 0

Et ainsi, j'aboutis à ce système :

X² - X + 0 = 0 (A) et X + 1 = 0 (B)

Sauf que les solutions en (A) ne collent pas pour (B), puisque je trouve X₁ = 0 et X₂ = 1.

Si quelques personnes pouvaient me sortir de tout ceci, ce serait fort sympathique.

En vous remerciant !
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[invite479915fe]

salut,
essaie d'ecrire le nombre complexe avec exponentielle, tu obtiendra l'angle et tu pourra le placer.
courage

[prgasp77]

Sauf que les solutions en (A) ne collent pas pour (B), puisque je trouve X₁ = 0 et X₂ = 1.

(A)<=> X(X-1)=0 <=> (X=0 OU X=1)
(B)<=> X-1=0 <=> X=1
(A) ET (B) <=> X=1

[Médiat]

Sauf que X étant un complexe tu ne peux pas séparer la partie réelle et la partie imaginaire (cela ne marche que si l'une au moins des racines est soit réelle soit imaginaire pure, et encore cela peut ne te donner qu'une seule des racines), mais ton équation s'écrit :

X2 - (1+i)X + i = 0 qui est une banale équation du 2nd degré.

[A voir en vidéo sur Futura]

[chr57]

(A)<=> X(X-1)=0 <=> (X=0 OU X=1)
(B)<=> X-1=0 <=> X=1
(A) ET (B) <=> X=1

sauf que (B): X+1=0 <=> X = -1

[prgasp77]

Ha oui ... de toute façon j'étais dans un mauvais jour, et comme l'a expliqué si bien Médiat, l'équivalence est brisée bien plus en amont du raisonnement : il ne faut pas oublier que X est un complexe ...