principe de récurrence TS

[invitebf053934]

bonjour
voilà 1er week-end de la rentrée déjà bcp de boulot et plus particulièrement un problème qui m'embête en math!
j'imagine que ça va vous paraître super facile en plus !
donc :
ON considère P(n) la propriété "10^n +1 est divisible par 9".

a. Démontrer que P(n) est héréditaire.
b. P(n) est vrai pour tt n?

donc moi je n'arrive pas retranscrit une égalité
parce que bon je sais bien que 10^n+1 ne peut pas être divisible par 9 !!!

comment faire !? merci bcp pour vos réponses.
et si vous avez des conseils à me donner pour le principe de récurrence je suis preneuse se n'est pas du tt intégré encore -_- !

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[Dydo]

Ecrit le critère de divisibilité en terme de congruences ( si tu as déjà vu les congruences bien sur :þ ); et écrit le rapport simple entre et , tu verras que l'hérédité est alors triviale ^^

[invitebf053934]

je n'ai pas vu la congrence !
j'fais comment du coups !?

[invitebb921944]

Bonjour.

Suppose que P(n) est vraie, on a donc :
10^n+1=9k où k est un entier.
Par quoi peux-tu multiplier chaque membre de cette égalité pour obtenir du 10^(n+1) au lieu du 10^n ?
Ensuite débrouille toi pour faire apparaitre 10^(n+1)+1 d'un coté et de montrer que c'est un multiple de neuf en factorisant de l'autre...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebf053934]

alors la réponse !
le prof nous a dit que c'était niveau seconde! je vous laisse imaginer la tête de tt les élèves qui ont cherché tout le week! (personne avait trouvé)
donc
la propriété "10^n +1 est divisible par 9"
on cherche l'hérédité:
10^(n+1) +1= 10 ^n * 10^1 +1
= 10^n * (9 + 1) +1
= 10^n*9 + 10^n+1
or 10^n*9 est divisible par 9 par définition
ET 10^n+1 est divisible par 9 d'après l'hypothèse de récurrence
la somme de 2 nb dividibles par 9 est divisible par 9
donc L'HEREDITE est vraie !!!!!!!!!!!!

2. p(n) n'est pas vrai pour tt n exemple: P(1)= 10^1 +1 = 11 pas divisible par 9


TADAMMM!

merci à tous

[invitec053041c]

C'est bien ça.
C'est un bon exemple du fait que la propriété est héréditaire, mais on est incapable d'initialiser pour n'importe n que ce soit, donc la propriété est fausse.

(on peut le voir partant du critère de divisibilité par 9)

[invitebf053934]

oui exo sympa j'te l'accorde!
j'imagine que oui on peut le prendre autrement en partant du critère de divisibilité par 9

[inviteec581d0f]

Salut mdr çà tombe bien j'ai le même exo pour lundi on peut faire çà avec les congruences non ?

[invitebf053934]

j'imagine que oui puisqu'on m'a proposée cette solution

"Dydo Ecrit le critère de divisibilité en terme de congruences ( si tu as déjà vu les congruences bien sur :þ ); et écrit le rapport simple entre et , tu verras que l'hérédité est alors triviale ^^ "

bonne chance

[invitec053041c]

Puisque tu as fait l'exo, je t'invite martus à montrer (pas par récurrence), que 10^k+1 n'est jamais un multiple de 9 .