Partie entière d'un réel

[Gaara]

Bonjour à tous

je voudrais vous demander comment on démontre cette propriété :

-------------------------Propriété----------------------------

Soit

Il existe un entier relatif unique tel que



-------------------------------------------------------------

Donc voilà mais j'aimerais que vous m'indiquez une piste pour le démontrer


Merciiiiiiiii

[Gaara]

mdr la propriété du siècle ... personne ??

[benjy_star]

Salut !

Ca se démontre ?

[Guillaume.B]

Ce ne serait pas plutôt ça à démontrer ?

[x] <= x < [x] + 1

avec [x] la partie entière de x, avec [x] = x si et seulement si x est entier.

[Gaara]

Ce ne serait pas plutôt ça à démontrer ?



avec [x] la partie entière de x, avec [x] = x si et seulement si x est entier.

En effet c'est çà qu'il faut démontrer mdr et oui çà ce démontre

[Médiat]

Pour les Réels x positifs : soit E l'ensemble des entiers supérieurs à x, cet ensemble n'est pas vide (soit x < 1 et il contient 1, soit par la propriété d'Archimède, il existe un entier n tel que 1 x n > x) or, N muni de la relation d'ordre habituel est un bon ordre, donc E contient un plus petit élément. Ce plus petit élément est le (p+1 que tu cherches).

Pour les négatifs on peut faire à peu près pareil.

[Gaara]

Pour les Réels x positifs : soit E l'ensemble des entiers supérieurs à x, cet ensemble n'est pas vide (soit x < 1 et il contient 1, soit par la propriété d'Archimède, il existe un entier n tel que 1 x n > x) or, N muni de la relation d'ordre habituel est un bon ordre, donc E contient un plus petit élément. Ce plus petit élément est le (p+1 que tu cherches).

Pour les négatifs on peut faire à peu près pareil.

Merci mais c quoi la propriété d'Archimède la seule que je connaisse c'est la poussée de l'eau xD mais j'ai compris la démonstration


Mercii

[taladris]

Merci mais c quoi la propriété d'Archimède la seule que je connaisse c'est la poussée de l'eau xD mais j'ai compris la démonstration


Mercii

La propriété d'Archimède sgnifie que pour tout réel x, il existe un entier naturel n strictement plus grand que x.

[Gaara]

La propriété d'Archimède sgnifie que pour tout réel x, il existe un entier naturel n strictement plus grand que x.

Merciii

[Electrofred]

Bonjour,

J'ai essayé de démontrer l'unicité du réel p, mais c'est une démo maison donc je ne sais pas si c'est très rigoureux :


Soit x un réel quelconque. On considère qu'il existe deux entiers relatifs distincts p et p' tels que :


Par soutraction de ces deux lignes (ligne 1 - ligne 2), on obtient :

Soit
On a donc nécessairement p-p'=0 soit p=p'.

Pour tout x réel, il n'existe donc qu'un seul entier relatif p tel que


Ca montre uniquement l'uncicté de p, mais bon l'existance est assez intuitive, et puis vous l'avez déjà montré.

Est ce correct?

[danyvio]

Bonjour,

J'ai essayé de démontrer l'unicité du réel p, mais c'est une démo maison donc je ne sais pas si c'est très rigoureux :


Soit x un réel quelconque. On considère qu'il existe deux entiers relatifs distincts p et p' tels que :


Par soutraction de ces deux lignes (ligne 1 - ligne 2), on obtient :

Soit
On a donc nécessairement p-p'=0 soit p=p'.

Pour tout x réel, il n'existe donc qu'un seul entier relatif p tel que


Ca montre uniquement l'uncicté de p, mais bon l'existance est assez intuitive, et puis vous l'avez déjà montré.

Est ce correct?

Soustraire des inégalités, c'est très vilain. Les inégalités sont dangereuses quand on fait des opérations membre à membre comme pour les égalités: imaginons :

5<6 (c'est vrai !)
5<6 (c'est toujours vrai) mais si on soustrait membre à memebe on a :
0<0 ce qui est abominable. En fait, soustraire revient à additionner APRES avoir multiplié par -1. Or, les inégalités changent alors de sens. CQFD
D'ailleurs on voit l'incongruité dans ta dernière formule qui montre (sic) que :
p-p'<p-p'

[Ledescat]

Bonjour.

[I]Soit x un réel quelconque. On considère qu'il existe deux entiers relatifs distincts p et p' tels que :


Par soutraction de ces deux lignes (ligne 1 - ligne 2), on obtient :

Depuis quand soustrais-tu des inégalités ?
Une multiplication par "-1" apparaît, donc tes inégalités ne s'en foutent pas malheureusement.

Cordialement.

EDIT: grillé par Danyvio

[Electrofred]

Aie aie aie en effet c'est tres vilain.

J'ai pas fais attention j'ai vu des égalités et pas des inégalités alors j'ai continué. On va dire que j'étais pas réveillé .



Et sinon pensez vous que l'on puisse montrer l'unicité de p d'une facon analogue (mais correcte cette fois ), je pense que par l'absurde c'est ce qu'il y a de plus simple mais j'ai pas encore trouvé l'astuce pour montrer que p=p'.

[Ledescat]

A moins que je ne me trompe, montrer que la partie entière d'un réel est unique ne me semble pas si trivial .
Si je n'avais d'autre choix je passerai par le fait qu'un réel est limite d'une suite de rationnels et d'appliquer la définition de limite pour un epsilon=1.
Mais c'est vraiment bourrin .

[Ledescat]

En fait non je ne passerai pas par des suites, mais j'utiliserai la densité de Q dans IR.

Si on montre qu'il existe n tq n=< x<n+1, on sait qu'il existe un rationnel r strictement compris entre n et x.
Or la partie entière d'un rationnel est unique, donc n est unique pour r.

Mmm, est-il unique pour x ?
Je crois que je tourne en rond.