partie entière

[bbdoll]

Bonsoir,
Dans un exercice on me demande de trouver la partie entière de (n^2+3n+1)/(n+1). C' est quelque hose que j' avais jamais utilisé avant la notion de partie entière. Voilà comment on me la définie. Soit x appartenant à R+, il existe un unique n<x<n+1, on appelle n la partie entière de x et on note E(x).
Je vois mal comment on peut trouver la partie entière d' un nombre qui n' est même pas entier.
Je sais même pas par quoi commencer. Est-ce que vous pourriez m' aidez s' il vous plaît.
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[GuYem]

Salut.

Justement la partie entière c'est un truc intéressant pour les non entiers. La partie entière d'un entier est cet entier lui-même.
Il faut faire gaffe, il te manque une inégalité large dans ta définition (faute de recopiage?), c'est peut-être pour ça que tu comprends pas bien l'utilité de la chose :

Soit x appartenant à R+, il existe un unique , on appelle n la partie entière de x et on note E(x).

[bbdoll]

Non en fait c parce que j' arrivais pas à mettre inférieur ou égal. Ce que je ne comprend pas c' est coment étudié la partie entière de ce nombre, appelons le A. Supposons qu' il n' est pas entier, il est suéprieur ou égale à sa partie entière, et infrieure à sa partie entière +1. Voilà tous ce que je sais, mais franchement je vois pas en quoi ça m' aide à trover sa partie entière. En fait j' avais jamais travaillé avec cette fonction, je ne connais pas ses propriété, c' est peut-être pour ça que j' arrive pas à trouver un raisonnement.

[GuYem]

Bien.

Je serais toi j'essaierai d'effectuer la division euclidienne du numérateur par le dénominateur, tu devrais voir apparaitre des choses intéressantes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[bbdoll]

C' est ce que je pensais, mais le truc c' est qu"' en cours on a pas encor abordé le chapitre arithmétique, et tous le monde n' a pas fais spé math, donc tous le monde devrai^t être capable de répondre à cette question sans passé par l' arithmétique. En fait c' est en plein dans le chapitre des suites.

[bbdoll]

Et d' ailleurs comment on fait déjà la division euclidienne, bon je vais allé faire un petit tour dans mes bouquin de l' an dernier moi,

[GuYem]

Oui vas y vite l'air de rien.
Sans division euclidienne et après avoir vu le résultat on peut essayer de calculer (n+1)*(n+1) et (n+1)*(n+2) pour espérer voir sortir le résultat. Mais c'est un peu embrouillant je trouve.

[nissart7831]

Bonsoir,

Sans faire la division euclidienne, on peut s'apercevoir que le numérateur s'approche d'une identité remarquable. Et on peut conclure.

[bbdoll]

Oui vas y vite l'air de rien.
Sans division euclidienne et après avoir vu le résultat on peut essayer de calculer (n+1)*(n+1) et (n+1)*(n+2) pour espérer voir sortir le résultat. Mais c'est un peu embrouillant je trouve.

Je sais plus comment on fait, désolée.
Est-ce qu' on dois supposé que (n+1) divise le numérateur??

[bbdoll]

Bonsoir,

Sans faire la division euclidienne, on peut s'apercevoir que le numérateur s'approche d'une identité remarquable. Et on peut conclure.

oui le numérateur est égale à (n+1)^2+n. Mais je vois pas en quoi ça m' aide à trouver la partie entière de la fraction , je me noies.

[nissart7831]

maintenant divise tout par n+1

[bbdoll]

"Bien.

Je serais toi j'essaierai d'effectuer la division euclidienne du numérateur par le dénominateur, tu devrais voir apparaitre des choses intéressantes."
Je ne sais plus comment on fais ça me soule, est-ce qu' il faut supposé que le numératuer est divisible par le dénominateur. Je pense pas. Je sais plus....

[bbdoll]

ça nous fais n+1+n/(n+1).ok. La partie entière est n+n/(n+1), c' est ça??

[nissart7831]

Ah non, la partie entière est n+1.
As-tu bien compris ce qu'est la partie entière d'un nombre.
La partie entière d'un nombre est le plus grand des entiers inférieurs à ce nombre (ce qui correspond à la formulation mathématique que tu as données plus haut).

La partie décimale est n/(n+1) car c'est strictement inférieur à 1.

OK ?

[bbdoll]

Ben en fait si on me demande partie entière -2.33, je peux dire que c' est -3 ou encore de 1.5je sais que c' est 1, mais quand c' est un peu abstrait je suis perdu. En gros non, je ne pense pas avoir bien compris ce qu' était une partie entière. J' ai di n+n/(n+1), parce que dans la définition on avait x< E(x)+1; donc j' ai pensé qu' il fallait retirer 1 pour avoir la partie entière; mais je me suis trompée, mais je sais pas pourquoi??

[bbdoll]

est-ce que c' est parce que n/(n+1)<1 et donc on sait que ca va faire (n+1),quelquechose??

[GuYem]

Oui c'est ça.

Ton nombre s'écrit [n+1] + n/(n+1)

L'expression entre crochet est entière et l'autre est < 1. Donc la partie entière est l'expression entre crochet. La partie entière c'est le plus grand entier qui existe juste avant le nombre en question.

[nissart7831]

La partie entière de -2,33 n'est pas 3 mais -3.
Essaie de comprendre la définition que je t'ai donnée dans le post précédent.
Ca revient à dire que la partie entière d'un nombre x que l'on note E(x) est l'entier n tel que :



réfléchis et tu verras que ça correspond à ma définition précédente.
Donc un nombre réel peut s'écrire comme somme de sa partie entière et de sa partie décimale. La partie décimale est bien entendu strictement inférieure à 1.
Par exemple, 1,7 : partie entière = 1, partie décimale = 0,7.

Tu as utilisé x < E(x) +1 mais ça ne veut pas dire que la partie entière soit x-1. De l'inégalité, tu ne peux pas en déduire une égalité.
Pour reprendre mon exemple,
E(1,7) = 1
1,7 < 1 + 1
ce qui ne veut pas dire que E(1,7) = 1,7-1 = 0,7. OK ?

La seule relation à utiliser est la définition, donnée plus haut. Et comprends bien ce que signifie la partie entière et après ça ira tout seul pour ton exercice.

[EDIT] Ah pardon, je n'avais pas vu que tu avais posté entre-temps

[bbdoll]

Ok, je vais essayer avec

[bbdoll]

Je trouve n

[nissart7831]

Et alors ? Pourquoi ça t'étonne ?

[bbdoll]

c' est bon??????

[nissart7831]

En fait, c'est toi qui va répondre. D'après la définition, n est la partie entière de si on a :



Essaie de le montrer.

Sinon, qu'est ce qui t'étonne ?

[bbdoll]

Je dirais que les inégalités sont vraies parce que si on étudie le signe (n^2+2n)-n^2, on voit que c' est supérieure ou égale à 0, donc la première inégalité est vraie. De la même façon on a (n^2+2n)-(n+1)^2=-1 et est donc strictement inférieure à 0, donc la deuxième inégalité est vraie. Ca m' étonne parce que je suis jamais sûre de mes raisonnements, je souffre du manque de confiance en sois, mes profs me l' ont déjà dis en colle, mais j' y peux rien.

[nissart7831]

Et voilà, c'est tout bon.
Tu vois, tu peux avoir confiance en toi. Tu as l'air d'avoir compris.

Si tu as trop de doutes (un peu c'est bien, cela fait partie de la démarche scientifique), c'est peut être parce qu'en fait tu n'as pas bien compris les concepts.
Alors, étudie bien ton cours et fais le maximum d'exercices, jusqu'à ce que tu aies bien compris les concepts qui sont derrière. Tu prendras alors confiance en toi, car tu maîtriseras mieux.

[bbdoll]

Merci beaucoup , même si sans vous j' y serais encore dans une semaine

[bbdoll]

est-ce que la partie entière d' une somme est la somme des parties entières??

[nissart7831]

Tu peux répondre rapidement à ça : prends les nombres 1,7 et 1,4 par exemple.

[bbdoll]

ben jsuis encore coincée. on me demande de simplifier E(x/2)+E((x+1)/2), sachant que E(x)=n, don c moi come simplification de fj' ai n+1/2. Ensuite on nous défiie une fonction, g->E(x-2E(x/2)); on veut montrer que g(x+2)=g(x), Est-ce qu' il ya des propriétés sur la fonction partie entière qui peuvent me permettre de trouver, ou bien je dois encore me contenter de la définition donné en début d' exercice.

[nissart7831]

Pour la 1ère chose à démontrer, tu n'as qu'à utiliser la définition. Tu essaies d'en déduire un encadrement de x/2 et de (x+1)/2. Et ensuite pour trouver la partie entière de chacun, il faudra que tu raisonnes sur la parité de n pour trouver l'entier qui représente la partie entière.

Pour g(x), il suffit juste de savoir que E(x+k) = E(x) + k, où k est un entier. Cette propriété se démontre d'ailleurs facilement avec la définition de la partie entière.
Avec ça, tu montres facilement que g(x+2) = g(x).

Allez, il faut que tu cherches bien, que tu essayes, plusieurs fois s'il le faut, et ainsi tu comprendras bien les parties entières à force de les triturer dans tous les sens.