Salut ! j'ai un mini exercice sur les parties entières !
J'ai du mal a le finir ..
voilà :
x€R, F(x)=x-E(x) ou E(x) designe la parti entière de x..
Dans les premières questions on a prouvé que
0<=F(x)<1
et que F(x+k)=F(x), k€Z
A partir de là on me demande d'etablir que F(nx)=F(nF(x)).
et ensuite montrer l'equivalence :
x€Q<=>il existe q€N*, F(qx)=0
Voilà, je griphonne mais je n'aboutit pas, si quelqu'un aurait un coup de pouce
Merci et au passage ! Bonne année !
Une petite récurrence en utilisant ce que tu as montré précédemment devrait faire l'affaire. Tu peux par exemple penser à prendre un multiple bien choisi de E(x) pour la valeur de l'entier k.Envoyé par Sarah2006
Ok, je me suis lancer dans la récurence, mon Hypothese de récurence est donc que F(nx)=F(nF(x)).
et je doit prouver que F[(n+1)x]=F[(n+1)F(x)].
onsait que F(x+k)=F(x), si je prend k=x, ça devrait marcher normalement! mais j'y arrive pas. Si je vois pas quelle valeur de K puis je prendre...de +, multiple de E(x)..
Non puisque k doit être entier.
essaye d'abord de passer de n=0 à n=1, puis de n=1 à n=2, ça te donnera peut-être des idées.
Bonjour,
on peut aussi procéder sans récurrence. Il suffit d'écrire la définition de F(x), de remarquer que E(x) est un entier relatif et d'utiliser la relation F(x+k)=F(x), k€Z.
Oui on doit même, la récurrence ne sert à rien en fait. Je n'avais pas regardé d'assez près.
Bon ! A la poubelle ma feuille !! Je recommence, mais c'est très très gentil de ta pars matthias, et tant mieu, j'ai jamais aimé les récurences.
On va essayer comme vous le dite alors !
RHHHHHHHHHHAAAAA ça m'énerve !
Quand doit on utiliser F(x+k)=F(x),
Je tourne en roondd...
Bonjour,
je t'ai tout dit dans mon message. Pour préciser, tu dois te servir de F(x+k) = F(x) 2 fois pour conclure.
commence par exprimer F(nF(x)) en fonction de la définition de F(x) et utiliser ce que je t'ai dit précédemment.
Alors si c'est ça , honte a moi, car plus facile y avait pas ! :
F(nF(x))=F[nx-nE(x)]
=F(nx+k) avec k=-nE(x) €Z car n€N et E(x)€Z
or F(x+k)=F(x)
donc =F(nx)....
C'était aussi simple...honte a moi oui...
maintenant si tu pouvait me donner un coup de pouce pour la derniere question.
Je te remercie deja bcp pour ça !!!!!
Commence par le côté le plus rapide, i.e. :
...
en écrivant ce qu'est un rationnel. Après, il suffit d'utiliser les relations précédemment démontrées.
Dans l'autre sens, écris d'une autre manière F(qx), d'après toujours les mêmes relations et utilise la définition de F. Tu vas arriver à une condition qui implique que
Bon, je crois que c'est bon :
il existe q€N*,F(qx)=0 <=>qx-E(qx)=0<=>x=E(qx)/q
q€N*, E(qx)€ Z---> c'est un rationnel
Confirmation ?!
OK,
maintenant il te reste à montrer l'implication inverse, mais c'est la plus simple.
x€Q=>x=p/q, q€N* et p€Z =>qx-p=0 , on pose p=E(x) =>F(qx)=0.
ça va comme ça ?
Je penser que on pouvait procédé par equivalence et pas la peine de faire cette partie inverse..
non !
C'est bien parti, mais ce qui ne va pas , c'est de poser p= E(x). Ca veut dire que x= E(x)/q, ce qui veut dire que tu peux toujours trouver un entier naturel non nul (q) tel que qx = E(x). Et bien non. Voilà un contre exemple : x=5/3, E(x) = 2.
En fait, tu as montré que qx-p = 0. Applique F à chaque membre de l'inégalité et utilise une relation démontrée et c'est fini.
ok merci monsieur ::==>
qx-p=0
F(qx-p)=F(0)=0
F(qx) = 0 en posant -p = k avec la relationF(x+k)=F(x)
Et voilà, une bonne chose de faite !
bah j'te remercie vraiment :! Toujours content de trouver de l'aide sur ce forum.
bon soir, j'ai formulé une réponse a cette exercice dites moi est ce qu'elle est logique ou pas ?
on a comme donnée F(x)=x-E(x)..............(1)
et que F(x)=F(x+k)................... ...............(2)
-) montrer que F(nx)=F(nF(x))
selon (1)et(2) et par transitivité on a
x-E(x)=F(x+k)..........(3)
d'autre par on a x=F(x)+E(x) selon (1)
en remplaçant dc x ds (3) on trouve:
x-E(x)=F(F(x)+E(x)+k) ce qui fait que
F(x)=F(F(x)+E(x)+k)
par identification on a
F(nx)=F(n(F(x)+E(x)+k)) implique F(nx)=F(nF(x)+n(E(x)+k))
sachant que
0≤F(x) <1 implique 0≤E(x)+k<1
Sachant que k appartiens Z et que E(x) est le nombre entier inferieur de x Ce qui fait que E(x)+k=0 implique n(E(x)+k)=0 implique F(nx)=F(nF(x)) CQFD
