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Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

  1. Cloud54

    Date d'inscription
    avril 2007
    Messages
    29

    Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    Bonjours à tous, voilà je suis en Terminale SI et plutôt mauvais en maths (heureusement qu'il y a la physique, la SI et l'anglais ) enfin je m'éloigne du sujet, j'ai un dm pour vendredi et donc je pense avoir trouver quelques réponses (en tout cas j'espere! =) )
    Voilà l'énoncé :
    1) On désigne par g la fonction définie sur [0;pi] par : g(x) = x cosx - sinx
    a) Etudiez les variations de g et dressez son tableau de variations.
    b) Déduisez en le signe de g(x) sur [0;pi]

    2) Soit f la fonction de la variable réelle x définie sur [0;pi] par :
    f(x)=sinx/x si 0<x<ou égal pi et f(0) = 1
    Etudiez les variations de f sur ]0;pi]

    3) (celle que j'ai mieux réussi je trouve)
    le but de cette question est d'étudier la dérivabilité de f en x = 0
    x>ou égal à 0, 0<ou égal x-sinx<ou égal x^3/6
    Pour cela on introduira la fonction FI définie sur [0;+infini[ par :
    FI(x)= sinx-x+ x^3/6
    On calculera Fi'(x), FI''(x) et FI'''(x) et on en déduira le signe de FI

    Voilà ce que j'ai trouvé :
    1a) donc pour étudier les variations de g et dressez son tableau de variation, si j'ai bien compris, calculer sa dérivée que je pense avoir trouvée :
    g(x)= xcosx-sinx
    g'(x) = -sinx -cosx

    Donc ensuite le tableau de variation bah je bloque déjà (oui je suis très mauvais)

    et pour la b) je bloque aussi !!!

    Pour la 2) je m'embrouille pas mal à cause du f(0)=1 et du x compris entre 0 et pi!

    bon la 3) j'ai assez bien compris je pense :
    donc j'ai calculé :
    Fi'(x)=cosx-1+x²/2
    Fi''(x)=-sinx+x
    Fi'''(x)=-cosx+1

    Donc de la j'en est déduit une chose :
    -cos(x)>-1 donc -cos(x)+1>0

    FI''' est positive donc FI'' croît.
    De plus FI''(0)=0 donc comme FI'' croît, pour tout x plus grand que 0, FI''(x) > FI''(0) c'est à dire FI''(x) > 0 donc FI'' est positive et par conséquent FI' croît.
    Par analogie :
    FI'(0)=0 et FI' croissante donc pour tout x plus grand que 0 FI'(x)>FI'(0) donc FI'(x)>0 . FI' est positive donc f croît.
    FI(0)=0 et FI croissante donc pout tout x plus grand que 0 FI(x)> FI(0) soit FI(x) > 0

    Et ensuite je bloque je n'arrive pas à répondre à la question pourvez que pour tout réel x,
    x>ou égal à 0, 0<ou égal x-sinx<ou égal à x^3/6

    Merci d'avance pour l'aide que vous pourrez peut être m'apporter!

    -----

     


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  2. Tonton Nano

    Date d'inscription
    mars 2006
    Localisation
    Strasbourg (FR) / Vienne (AT)
    Âge
    32
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    1 012

    Re : Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    Bonjour,

    Ta dérivée de g est fausse. Tu as un produit puis une somme.

    la dérivée de x cos(x) est ...
    celle de -sin(x) est ...
    la somme donne ... ?
     

  3. pi-r2

    Date d'inscription
    juillet 2004
    Âge
    49
    Messages
    2 119

    Re : Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    déjà la dérivée de g(x) = x cosx - sinx que tu as calculée est fausse. (xcosx)'=(x)'cosx+ x(cos x)'=cos x - x sin x
    ce qui simplifie l'étude du signe de g'
    Les bonnes idées triomphent toujours... C'est à cela qu'on reconnait qu'elles étaient bonnes !
     

  4. Cloud54

    Date d'inscription
    avril 2007
    Messages
    29

    Re : Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    Ahh d'accord, donc si je me souviens bien, g(x) = x cosx - sinx
    comme tu l'as dit pi-r2 (xcosx)' = cos x - x sin x
    et comme la dérivée de sinx=cos x alors :
    g'(x) = x cosx - sinx - cosx
    C'est bien ca? (merci pour votre aide ^^) mais je réfléchit et pour le tableau de variation je trouve toujours pas pourtant la j'ai mes cours juste devant les yeux
    en tout cas merci pour votre aide c'est sympa de m'aider
     

  5. Tonton Nano

    Date d'inscription
    mars 2006
    Localisation
    Strasbourg (FR) / Vienne (AT)
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    1 012

    Re : Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    Citation Envoyé par Cloud54 Voir le message
    (xcosx)' = cos x - x sin x
    (sinx)'=cos x alors :
    g'(x) = x cosx - sinx - cosx
    Whoa ... attention !
    cos x - x sin x - cos x ca ne fait pas x cosx - sinx -cosx
     


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  6. Cloud54

    Date d'inscription
    avril 2007
    Messages
    29

    Re : Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    Ou la oui :O heureusement que tu es la, oui tu as raison j'avais pas vu ma faute, oui hmm donc
    g'(x) = cos x - x sin x - cosx
    ou la c'est pas vrai!!! les fautes que je fais
     

  7. Tonton Nano

    Date d'inscription
    mars 2006
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    Re : Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    Citation Envoyé par Cloud54 Voir le message
    g'(x) = cos x - x sin x - cosx
    Ouais ... on peut simplifier un peu non ?
     

  8. Cloud54

    Date d'inscription
    avril 2007
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    29

    Re : Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    Non... j'plaisante =) euu oui donc
    g'(x) = cos x - x sin x - cosx
    g'(x) = - x sin x

    donc ils disent étudiez les variations de g et dressez son tableau de variation, mais pour étudier les variations de g, il faut dresser son tableau de variation non? ou il y a autre chose à faire avant?
     

  9. bueno

    Date d'inscription
    avril 2007
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    Messages
    160

    Re : Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    tableau de signe de g'(x)
     

  10. Tonton Nano

    Date d'inscription
    mars 2006
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    Re : Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    Non je ne pense pas ...
    Tu peux mettre le signe de g' et les variations de g avec les valeurs en 0 et pi.
     

  11. Cloud54

    Date d'inscription
    avril 2007
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    29

    Re : Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    d'accord donc je pense que le tableau de variation doit donner ça :
    http://img510.imageshack.us/img510/8...riationva7.jpg
    Donc la je dis pour la 1a) que g est strictement décroissant sur [0;pi] d'après le tableau de variation (ca suffit? )
    et pour la 1b) j'en déduit d'après le tableau de variation établit dans le 1a) g(x)=0 lorsque x=0 et ensuite sur ]0;pi] g(x) est strictement négatif et ca suffit aussi ? (si c'est ca merci beaucoup =D parce que j'ai compris )
     

  12. Tonton Nano

    Date d'inscription
    mars 2006
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    Re : Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    Citation Envoyé par Cloud54 Voir le message
    g est strictement décroissant sur [0;pi] d'après le tableau de variation (ca suffit? )
    Oui mais il faudrait la "vrai" la valeur de g en pi.

    Pour le b), c'est bon aussi. Tu peux dire que g est décroissante sur l'intervalle et que son maximum est 0 donc qu'elle est négative.
     

  13. Cloud54

    Date d'inscription
    avril 2007
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    29

    Re : Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    Ahh d'accord ah oui formuler comme ça, c'est mieux =D merci !!!
    Pour le 2) j'ai compris aussi je pense, il faut encore dérivé f(x)
    donc comme f(x) = sinx/x alors f' = u'v-uv'/v²
    donc u(x) = sinx alors u'(x) = cosx et v(x) = x donc v'(x) = 1 d'où
    f'(x) = cosx(x) - sinx/ x²
    f'(x) = cosx² - sinx / x²

    mais pour le cosx² je suis pas sur si c'est cosx² ou cos²x je ne me souviens plus trop =S
    Donc d'après la dérivée le tableau de variation est assez simple a faire f est croissant sur ]0;pi] enfin je pense! mais f(0)=1 je ne sais pas a quoi ca peut servir dans l'énoncé...
    je dois aller manger je reviens après, si vous n'êtes plus là après je vous remercie pour toute votre aide !!
     

  14. Tonton Nano

    Date d'inscription
    mars 2006
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    Re : Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    Citation Envoyé par Cloud54 Voir le message
    f'(x) = cosx(x) - sinx/ x²
    f'(x) = cosx² - sinx / x²
    Attention aux parenthèses ! le x² est le dénominateur de tout le reste !
    La seconde ligne est fausse (et inutile). Si tu regardes le numérateur, ca devrait te rappeler quelque chose ...

    Du coup, le reste est faux ...

    f(0) = 1 est utile pour définir la fonction en 0 parce que sinon, on a une valeur interdite.
     

  15. Cloud54

    Date d'inscription
    avril 2007
    Messages
    29

    Re : Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    Ah oui =S d'accord je vois mmhh donc je recommence tout ca!
    Bon alors je pense que les u' et v' sont juste déjà mmhhh
    donc u(x) = sinx alors u'(x) = cosx et v(x) = x donc v'(x) = 1 d'où
    f'(x) = ((cosx)(x) - (sinx)(1)) / x²
    ahhh oui ca y'est, je crois que j'ai trouvé ma faute donc :
    f'(x) = g(x) / x² comme g(x) = xcosx-sinx c'est bien ca ? =D
     


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