Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

[invite9506c5c9]

Bonjours à tous, voilà je suis en Terminale SI et plutôt mauvais en maths (heureusement qu'il y a la physique, la SI et l'anglais ) enfin je m'éloigne du sujet, j'ai un dm pour vendredi et donc je pense avoir trouver quelques réponses (en tout cas j'espere! =) )
Voilà l'énoncé :
1) On désigne par g la fonction définie sur [0;pi] par : g(x) = x cosx - sinx
a) Etudiez les variations de g et dressez son tableau de variations.
b) Déduisez en le signe de g(x) sur [0;pi]

2) Soit f la fonction de la variable réelle x définie sur [0;pi] par :
f(x)=sinx/x si 0<x<ou égal pi et f(0) = 1
Etudiez les variations de f sur ]0;pi]

3) (celle que j'ai mieux réussi je trouve)
le but de cette question est d'étudier la dérivabilité de f en x = 0
x>ou égal à 0, 0<ou égal x-sinx<ou égal x^3/6
Pour cela on introduira la fonction FI définie sur [0;+infini[ par :
FI(x)= sinx-x+ x^3/6
On calculera Fi'(x), FI''(x) et FI'''(x) et on en déduira le signe de FI

Voilà ce que j'ai trouvé :
1a) donc pour étudier les variations de g et dressez son tableau de variation, si j'ai bien compris, calculer sa dérivée que je pense avoir trouvée :
g(x)= xcosx-sinx
g'(x) = -sinx -cosx

Donc ensuite le tableau de variation bah je bloque déjà (oui je suis très mauvais)

et pour la b) je bloque aussi !!!

Pour la 2) je m'embrouille pas mal à cause du f(0)=1 et du x compris entre 0 et pi!

bon la 3) j'ai assez bien compris je pense :
donc j'ai calculé :
Fi'(x)=cosx-1+x²/2
Fi''(x)=-sinx+x
Fi'''(x)=-cosx+1

Donc de la j'en est déduit une chose :
-cos(x)>-1 donc -cos(x)+1>0

FI''' est positive donc FI'' croît.
De plus FI''(0)=0 donc comme FI'' croît, pour tout x plus grand que 0, FI''(x) > FI''(0) c'est à dire FI''(x) > 0 donc FI'' est positive et par conséquent FI' croît.
Par analogie :
FI'(0)=0 et FI' croissante donc pour tout x plus grand que 0 FI'(x)>FI'(0) donc FI'(x)>0 . FI' est positive donc f croît.
FI(0)=0 et FI croissante donc pout tout x plus grand que 0 FI(x)> FI(0) soit FI(x) > 0

Et ensuite je bloque je n'arrive pas à répondre à la question pourvez que pour tout réel x,
x>ou égal à 0, 0<ou égal x-sinx<ou égal à x^3/6

Merci d'avance pour l'aide que vous pourrez peut être m'apporter!
-----

[invite6ed3677d]

Bonjour,

Ta dérivée de g est fausse. Tu as un produit puis une somme.

la dérivée de x cos(x) est ...
celle de -sin(x) est ...
la somme donne ... ?

[pi-r2]

déjà la dérivée de g(x) = x cosx - sinx que tu as calculée est fausse. (xcosx)'=(x)'cosx+ x(cos x)'=cos x - x sin x
ce qui simplifie l'étude du signe de g'

[invite9506c5c9]

Ahh d'accord, donc si je me souviens bien, g(x) = x cosx - sinx
comme tu l'as dit pi-r2 (xcosx)' = cos x - x sin x
et comme la dérivée de sinx=cos x alors :
g'(x) = x cosx - sinx - cosx
C'est bien ca? (merci pour votre aide ^^) mais je réfléchit et pour le tableau de variation je trouve toujours pas pourtant la j'ai mes cours juste devant les yeux
en tout cas merci pour votre aide c'est sympa de m'aider

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6ed3677d]

(xcosx)' = cos x - x sin x
(sinx)'=cos x alors :
g'(x) = x cosx - sinx - cosx

Whoa ... attention !
cos x - x sin x - cos x ca ne fait pas x cosx - sinx -cosx

[invite9506c5c9]

Ou la oui :O heureusement que tu es la, oui tu as raison j'avais pas vu ma faute, oui hmm donc
g'(x) = cos x - x sin x - cosx
ou la c'est pas vrai!!! les fautes que je fais

[invite6ed3677d]

g'(x) = cos x - x sin x - cosx

Ouais ... on peut simplifier un peu non ?

[invite9506c5c9]

Non... j'plaisante =) euu oui donc
g'(x) = cos x - x sin x - cosx
g'(x) = - x sin x

donc ils disent étudiez les variations de g et dressez son tableau de variation, mais pour étudier les variations de g, il faut dresser son tableau de variation non? ou il y a autre chose à faire avant?

[invitebfba5092]

tableau de signe de g'(x)

[invite6ed3677d]

Non je ne pense pas ...
Tu peux mettre le signe de g' et les variations de g avec les valeurs en 0 et pi.

[invite9506c5c9]

d'accord donc je pense que le tableau de variation doit donner ça :
http://img510.imageshack.us/img510/8...riationva7.jpg
Donc la je dis pour la 1a) que g est strictement décroissant sur [0;pi] d'après le tableau de variation (ca suffit? )
et pour la 1b) j'en déduit d'après le tableau de variation établit dans le 1a) g(x)=0 lorsque x=0 et ensuite sur ]0;pi] g(x) est strictement négatif et ca suffit aussi ? (si c'est ca merci beaucoup =D parce que j'ai compris )

[invite6ed3677d]

g est strictement décroissant sur [0;pi] d'après le tableau de variation (ca suffit? )

Oui mais il faudrait la "vrai" la valeur de g en pi.

Pour le b), c'est bon aussi. Tu peux dire que g est décroissante sur l'intervalle et que son maximum est 0 donc qu'elle est négative.

[invite9506c5c9]

Ahh d'accord ah oui formuler comme ça, c'est mieux =D merci !!!
Pour le 2) j'ai compris aussi je pense, il faut encore dérivé f(x)
donc comme f(x) = sinx/x alors f' = u'v-uv'/v²
donc u(x) = sinx alors u'(x) = cosx et v(x) = x donc v'(x) = 1 d'où
f'(x) = cosx(x) - sinx/ x²
f'(x) = cosx² - sinx / x²

mais pour le cosx² je suis pas sur si c'est cosx² ou cos²x je ne me souviens plus trop =S
Donc d'après la dérivée le tableau de variation est assez simple a faire f est croissant sur ]0;pi] enfin je pense! mais f(0)=1 je ne sais pas a quoi ca peut servir dans l'énoncé...
je dois aller manger je reviens après, si vous n'êtes plus là après je vous remercie pour toute votre aide !!

[invite6ed3677d]

f'(x) = cosx(x) - sinx/ x²
f'(x) = cosx² - sinx / x²

Attention aux parenthèses ! le x² est le dénominateur de tout le reste !
La seconde ligne est fausse (et inutile). Si tu regardes le numérateur, ca devrait te rappeler quelque chose ...

Du coup, le reste est faux ...

f(0) = 1 est utile pour définir la fonction en 0 parce que sinon, on a une valeur interdite.

[invite9506c5c9]

Ah oui =S d'accord je vois mmhh donc je recommence tout ca!
Bon alors je pense que les u' et v' sont juste déjà mmhhh
donc u(x) = sinx alors u'(x) = cosx et v(x) = x donc v'(x) = 1 d'où
f'(x) = ((cosx)(x) - (sinx)(1)) / x²
ahhh oui ca y'est, je crois que j'ai trouvé ma faute donc :
f'(x) = g(x) / x² comme g(x) = xcosx-sinx c'est bien ca ? =D

[invite6ed3677d]

f'(x) = g(x) / x² comme g(x) = xcosx-sinx c'est bien ca ? =D

Impeccable !

Donc le signe de f' ...?

[invite9506c5c9]

Ahh merci =D !!
Donc je ferai un tableau de variation, et ensuite je pourrais dire que f' a le même signe que g(x) puisque le numérateur de f'(x) est g(x) donc les variations de f sur ]0;pi] seront les même que pour g(x) donc strictement décroissante sur cet intervalle avec un maximum d'un peu moins de 1 puisque 0 est exclu de l'ensemble de définition ]0;Pi] c'est bien ca? =P

[invite6ed3677d]

puisque le numérateur de f'(x) est g(x)

... et que le dénominateur est toujours positif !

et le maximum c'est 1, pour x = 0.
Quel est le minimum ?

[invite9506c5c9]

Ahh oui d'accord ahh j'avais oublié ça et donc oui que le maximum est de 1 pour x=0 et que le minimum est de 0.17 pour x=pi d'accord d'accord! =D j'ai compris, merci merci !!!!!!

Je t'embète encore juste 10 minutes, pour la troisième question enfin si tu veux bien, bien évidemment =) :
Donc j'ai presque fini comme je l'est mis au dessus :
Fi'(x)=cosx-1+x²/2
Fi''(x)=-sinx+x
Fi'''(x)=-cosx+1

Donc de la j'en est déduit une chose :
-cos(x)>-1 donc -cos(x)+1>0

FI''' est positive donc FI'' croît.
De plus FI''(0)=0 donc comme FI'' croît, pour tout x plus grand que 0, FI''(x) > FI''(0) c'est à dire FI''(x) > 0 donc FI'' est positive et par conséquent FI' croît.
Par analogie :
FI'(0)=0 et FI' croissante donc pour tout x plus grand que 0 FI'(x)>FI'(0) donc FI'(x)>0 . FI' est positive donc f croît.
FI(0)=0 et FI croissante donc pout tout x plus grand que 0 FI(x)> FI(0) soit FI(x) > 0

donc j'ai le signe de FI mais il faut prouver que pour tout réel x,
x>ou égal a 0, 0< ou égal x-sinx< ou égal x^3/6
et c'est là je n'est pas du tout de raisonnement pour le prouver =S est ce que tu pourrais m'aider juste une dernière fois, c'est la dernière chose a faire ?
merci d'avance même si tu refuses ^^

[invite6ed3677d]

le minimum est de 0.17 pour x=pi

Qu'est-ce que c'est que ce 0.17 ? f(pi) ne vaut pas 0.17 (et même si c'était le cas, on voudrait une valeur exacte).

Je t'embète encore juste 10 minutes

Si tu m'embêtais, je répondrais pas !!!!


Les trois dérivées sont bonnes.

-cos(x)>-1 donc -cos(x)+1>0

supérieur ou égal ... par exemple : -cos(0) +1 = 0

Le signe de Fi est bon. Impeccable.

Pour la suite :
x >= 0 : ca tombe bien ! c'est notre domaine d'étude depuis la question précédente !

Tu as déjà montré que x - sinx est positif sur ce domaine.

[invite9506c5c9]

Ah non je me suis trompé =D j'ai oublié un zéro nan le minimum est de f(pi) = 0.017
mmhhh pour la question 3) par contre j'ai beau cherché, je trouve pas trop =S j'ai un peu de mal, pourtant je suis sur qu'il doit pas rester beaucoup de chose =P le signe de FI doit surement nous servir a quelque chose mais la franchement =S

[invite6ed3677d]

J'ai pas finit de répondre ... désolé ...

On sait déjà (signe de FI'') que 0 <= x - sinx
et on connait le signe de FI donc
sinx - x + x^3/6 >= 0

On peut multiplier cette dernière inégalité par -1 (attention au sens !) et passer le x^3/6 à droite ...

[invite6ed3677d]

f(pi) = 0.017

NON !
Si tu trouves ca comme ca, il faut m'expliquer. f(pi) = sin(pi) / pi
Ca vaut combien sin(pi) ?

[invite9506c5c9]

Ohhh!!! ok j'ai compris pour le 3)!!!! d'accord mais on a le droit de multiplier par -1, comme ça?
euu oui pour F(pi)=sin(pi)/(pi)
donc sin(pi)=0.054
et donc f(pi) = 0.054/Pi = 0.017 c'est pour ca ^^ enfin j'ai peut être faux!

[invite6ed3677d]

Ohhh!!! ok j'ai compris pour le 3)!!!! d'accord mais on a le droit de multiplier par -1, comme ça?
euu oui pour F(pi)=sin(pi)/(pi)
donc sin(pi)=0.054
et donc f(pi) = 0.054/Pi = 0.017 c'est pour ca ^^ enfin j'ai peut être faux!

Ouille ouille ouille ...
sin(pi) sans calculatrice, ca fait combien ? (PS : ta calculatrice est en degré, pas en radian !).



Tu as le droit de multiplier par -1 mais comme c'est négatif, il faut changer le sens de l'inégalité.

[invite9506c5c9]

Ahh d'accord, merci pour le -1 =D ca fait que le 3) est fini!!!!!! :O merciii!!!
pour en revenir au sin(pi) tu avais raison =D ma calculatrice était bien en degrès oui donc en fait ca donne 0 donc le minimum est de 0 ^_^ c'est bien ca?

[invite6ed3677d]

ca donne 0 donc le minimum est de 0 ^_^ c'est bien ca?

Oui c'est bon. Bravo !

[invite9506c5c9]

Ahhh merciiiii!!!! ah franchement en plus j'ai tout compris!!! merci beaucoup je sais pas comment te remercier!!! merci beaucoup beaucoup!!! =D j'recopierai tout ca demain encore merci!!!! =)

[invite6ed3677d]

Ya pas de quoi !

... mais ya pas école demain ? Qu'est-ce que c'est que cette jeunesse qui ne fout rien ? ... de mon temps ...

[invite9506c5c9]

Si si =D t'inquietes pas j'ai 8 heures de cours demain -_-' =) mais après les cours comme j'ai fait tout mes devoirs pour la semaine j'aurai que ca à faire ^_^