Probleme pour un Dm de Spé Math.

[invite53426a2b]

Bonjour.
Alors voila c'et le premier DM de Spé Math de l'année et je ne comprends rien du tout.

Voici l'énoncé:
1. Démontrer que le produit de p nombres consécutifs est toujours un multiple de p
2. Démontrer que le produit de p nombres consécutifs est toujours un multiple de p!
3. En déduire que (2n)!/(n!)² est toujours un entier!!

Voila voila!! Si vous pouviez m'aider ce serait gentil
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[invite53426a2b]

Personne??

[kNz]

Salut,

Le produit de p nombres consécutifs est de la forme :

k*(k+1)*(k+2)*...*(k+p-1)

En multipliant par p!(k-1)! au numérateur et au dénominateur on arrive à un truc sympa...

[invite6f9f6925]

Bonjour,
Une autre façon de faire est de calculer chaque terme du produit, modulo p :

 Cliquez pour afficher

Un terme est défini par : n+i, avec i dans {0,p-1}
On peut écrire : (n+i) modulo p = (k + i) modulo p
où k = n modulo p

Maintenant :
si k=0 alors p divise n (i = 0)
si k>0 alors il existe un i dans {0,p-1} tel que k+i = p
d'où (n+i) modulo p = (k+i) modulo p = p modulo p = 0
et p divise (n+i)

Pour démontrer que le produit est divisible par p!, tu peux appliquer la même méthode, en calculant modulo chaque terme de p!

[A voir en vidéo sur Futura]