Suite numérique TS

[invite5ea7aaa4]

J'ai un petit problème pour deux récurrences.
Voici l'énoncé :
On considère la suite numérique (Un) définie sur N par :
Uo = a et U(n+1)=Un*(2-Un) où a est un réel donné tel que 0<a<1

a) Montrer par récurrence que, pour tout entier n, 0<Un<1
b) Montrer que la suite (Un) est croissante
c) Que peut-on en déduire?

Voilà pour la partie de l'énoncé où je suis bloqué.

Pour le a), l'intitialisation s'effectue sans problème :
0<Po<1

Mais pour l'hérédité... On suppose 0<Pk<1 et ensuite je suis bloque, je n'arrive pas à revenir à 0<P(k+1)<1
Et pour le b) je suis encore bloqué à l'hérédité

Je suppose que pour le c) on doit en déduire que la suite converge vers L inférieur ou égal à 1

Voilà merci d'avance
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[nissart7831]

Bonjour,

pour la a), ce qui gêne pour déduire un encadrement de U_n+1, c'est que U_n apparait deux fois dans l'expression de U_n+1, même si tu développes.
Alors justement, développe et ensuite modifie l'expression pour que U_n+1 puisse s'exprimer en fonction d'un seul U_n (il faut faire apparaitre une expression au carré + un terme résiduel).

Pour la b), il suffit que tu utilises la définition de la croissance d'une suite et tu conclues en utilisant le résultat de la a).

[invite5ea7aaa4]

Bon alors c'est parti pour le a)
On a 0<Un(2-Un)<1
0<2Un-Un^2<1
Tout cela je l'avais déjà fait, mais qu'est-ce que l'on peut faire ensuite?

[nissart7831]

Oulah, je suis pas bien sûr que tu aies compris ce qu'est le principe de récurrence.

Pour qu'on soit clair et avant d'aller plus loin, dis d'abord ce qu'on doit faire en général pour démontrer par récurrence. C'est du cours.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5ea7aaa4]

Bon on a l'initialisation, avec ici 0<Po<1
Donc Po est vraie

Hérédité : On suppose que Pk est vraie, c'est à dire que
0<Pk<1
On veut montrer que Pk+1 est alors vraie
Et après je vois pas très bien comment on peut faire.
Si on part sur 0<Pk+1<1, on arrive à ce que j'ai dit tout à l'heure qui ne mène à pas grand chose...

[nissart7831]

Ok pour le cours.

Alors on va y aller par étape.
Que signifie P_k pour notre exercice ?

[invite5ea7aaa4]

Pk = Uk, enfin je sais pas trop quoi dire d'autre

[invite6365f164]

t'a déja supposé que 0<U_n<1 donc -1<-U_n<0
et puis 1<2-Un<2 et puisque U_n>0 donc U_n+1>0
et pour U_n+1<1 , tu fais la soustraction U_n+1-1 et tu essaye de déterminer son signe .

[nissart7831]

Par ton utilisation de P_k, en fait tu confonds deux choses : la définition de la démonstration par récurrence et son utilisation.

La définition est : pour vérifier qu'une propriété P est vraie pour tous les éléments d'une suite,
- on vérifie que la propriété est vraie pour un élément de la suite. Si c'est le terme de rang 0, on note cela P₀. Mais cela ne signifie pas que c'est le terme de rang 0 de la suite P, mais plutôt que la propriété P est vraie pour le terme de rang 0 de la suite qu'on étudie.

- et en supposant qu'elle est vraie pour le terme de rang k, on doit montrer qu'elle est vraie pour le terme de rang k+1, ce qu'en langage mathématique, on écrit :


Dans ce qui précède, on peut utiliser n à la place de k.

En revenant à ton exercice, cela signifie :
P_n représente la propriété : 0 < U_n <1
Donc, que signifie P₀ ?
Que signifie P_n+1 ?
Que dois-tu donc démontrer ?

[invite5ea7aaa4]

Po c'est le terme de rang 0 qui vérifie l'encadrement,
On doit montrer que si Pn est vraie, alors Pn+1 doit être forcèment vraie pour que l'encadrement marche : c'est l'hérédité.
On doit démontrer que 0<Pn+1<1.
Comme l'a dit dukeoftunisia, on arrive à Pn+1>1>0

[nissart7831]

Po c'est le terme de rang 0 qui vérifie l'encadrement,
On doit montrer que si Pn est vraie, alors Pn+1 doit être forcèment vraie pour que l'encadrement marche : c'est l'hérédité.
On doit démontrer que 0<Pn+1<1.
Comme l'a dit dukeoftunisia, on arrive à Pn+1>1>0

Tu confonds toujours deux choses : la propriété et le terme de la suite.
Relis mieux mon message précédent.

Quand tu dis P_n vraie, c'est bon. Cela signifie que la propriété est vraie au rang n. Ce qui se traduit pour ta suite par 0 < U_n < 1 est vraie.
La propriété est le fait qu'un terme de la suite soit compris entre 0 et 1 strictement.

En supposant cela, tu dois montrer que P_n+1 est vraie, c'est-à-dire que 0 < U_n+1 < 1 est vraie
L'encadrement est à effectuer sur les termes de la suite (U_n) et non sur P_n qui signifie que la propriété P est vraie au rang n.
En gros, cela signifie que 0 < P_n < 1 ne veut rien dire.

Une fois ton exercice fini, reviens sur ce que je viens de t'expliquer et essaie de comprendre. Tu devrais mieux voir ta confusion qui risque de te noyer à chaque fois.

Pour en revenir, à ton exercice, tu dois montrer que 0 < U_n+1 < 1 en utilisant le fait que 0 < U_n < 1.
Tu as deux manières de faire :
- soit en 2 phases comme t'a indiqué dukeoftunisia (il parle bien de Un et non de Pn)
- soit en 1 seule phase, en utilisant ce que je t'ai indiqué plus haut

[invite5ea7aaa4]

Je viens de comprendre ce que tu voulais me dire sur la différence entre Un et Pn, merci beaucoup!

Bon je crois que je vais y aller parce que j'arrive vraiment pas du tout à trouver comment faire, j'y reréfléchis demain et je vous préviens quand j'y arrive.
Merci beaucoup pour votre aide

[nissart7831]

Je viens de comprendre ce que tu voulais me dire sur la différence entre Un et Pn, merci beaucoup!

Tant mieux. C'est un bon début.

A+

[invite5ea7aaa4]

Rebonjour!
Je crois que j'ai trouvé, vous me dites si ce que j'ai fait ne va pas.
Initialisation : 0<Uo<1 donc Po
Alors ensuite en deux étapes, comme l'a déjà fait dukeoftunisia, on a :
0<Un<1 par hypothèse (c'est la propriété Pn)
On a alors :
-1<-Un<0
1<2-Un<2
Un<U(n+1)<2Un
Or, par hypothèse de récurrence, on a :
0<Un

Nous avons donc 0<Un<U(n+1)

Ensuite, j'ai fonctionné par équivalence :
U(n+1)<1
ssi U(n+1)-1<0
ssi Un(2-Un)-1<0
ssi 2Un-Un^2-1<0

Et voilà ce que je n'avais pas vu hier, c'est une identité remarquable!
Nous avons alors :
ssi - (1-Un)^2 < 0
Ce qui est vrai pour tout n

Nous avons alors :
0<U(n+1)<1

La propriété P(k+1) est donc vraie, donc Pk est héréditaire et initialisée
Nous avons donc :
0<Un<1

Voilà je passe que c'est bon

Ensuite pour le b), une suite Un est croissante ssi Un<U(n+1) est vraie pour tout n à partir d'un rang Po
A partir du rang 0<a=Uo<1, d'après le a) on a :
Un<U(n+1) pour tout n
Donc la suite Un est croissante pour tout n

Voilà, ensuite pour le c), on peut en déduire que comme la suite est croissante et majorée, elle converge vers un réel L<ou égal à 1

[nissart7831]

Bonjour,

c'est pas mal tout ça. On voit que tu as compris.
Je te note en rouge quelques corrections dans ton texte.

Rebonjour!
Je crois que j'ai trouvé, vous me dites si ce que j'ai fait ne va pas.
Initialisation : 0<Uo<1 donc Po OK
Alors ensuite en deux étapes, comme l'a déjà fait dukeoftunisia, on a :
0<Un<1 par hypothèse (c'est la propriété Pn) OK, je crois que tu as bien compris ce que je t'avais expliqué précédemment
On a alors :
-1<-Un<0
1<2-Un<2
Un<U(n+1)<2Un Oui, car U_n > 0, il faut le dire; si U_n était négatif les inégalités seraient inversées
Or, par hypothèse de récurrence, on a :
0<Un

Nous avons donc 0<Un<U(n+1)

Ensuite, j'ai fonctionné par équivalence :
U(n+1)<1
ssi U(n+1)-1<0
ssi Un(2-Un)-1<0
ssi 2Un-Un^2-1<0

Et voilà ce que je n'avais pas vu hier, c'est une identité remarquable!
Nous avons alors :
ssi - (1-Un)^2 < 0
Ce qui est vrai pour tout n C'est ce type d'astuce qui permet de montrer l'hérédité en une seule étape, comme je te l'avais indiqué, et non en 2 étapes, mais c'est OK quand même

Nous avons alors :
0<U(n+1)<1

La propriété P(k+1) est donc vraie, donc Pk est héréditaire et initialisée
Nous avons donc :
0<Un<1 pour tout n

Voilà je passe que c'est bon OK

Ensuite pour le b), une suite Un est (strictement) croissante à partir d'un certain rang ssi Un<U(n+1) est vraie pour tout n à partir d'un rang Po Non pour P₀;P₀ est la propriété 0 <U₀<1; mais ne t'embête pas avec un rang car ici la suite est strictement croissante dans son ensemble, c'est-à-dire à partir du premier élément soit U₀;
A partir du rang 0<a=Uo<1, d'après le a) on a :
Un<U(n+1) pour tout n Ca correspond bien à ma remarque précédente
Donc la suite Un est (strictement) croissante pour tout n

Voilà, ensuite pour le c), on peut en déduire que comme la suite est (strictement) croissante et majorée, elle converge vers un réel L<ou égal à 1 OK

[invite5ea7aaa4]

Eh bien merci beaucoup, tu m'as vraiment beaucoup aidé c'est super sympa.
Merci beaucoup