Polynôme de 3eme degré, P(0)=0 et P(x+1)-P(x)=x²

[invited6f8f3df]

Salut à tous,

J'ai un polynôme du troisième degré et on me dit que P(0)=0 et que P(x+1)-P(x)=x²
Je dois montrer calculer P(3) puis déterminer P(x). (et il y a une suite mais quand j'aurais fait ça je serai déjà très content )

J'en conclue que P(x) polynôme du troisième degré signifie qu'il existe des réels a, b, c, d tels que pour tout réel x : P(x)=ax^3+bx²+cx+d et comme P(0)=0, d=0.

Pour calculer P(3) j'ai fais ça:

P(x+1)-P(x)=x²
On prend x = 2
P(2+1)-P(2)=2²
P(3)-1=4
P(3)=5

Je pense que c'est bon mais j'aimerais confirmation

Pour déterminer P(x) je pars dans cette direction:
P(0)=0 => d=0
P(x)=ax^3+bx²+cx
P(x+1)=a(x+1)^3+b(x+1)²+c(x+1)
(Je développe et j'ordonne et je trouve)
P(x+1)=ax^3+3ax²+bx²+3ax+2bx+c x+a+b+c
Ensuite:
P(x+1)-P(x)=3ax²+3ax+2bx+a+b+c=x²

Et là, je suis bloqué... Que faire?




(je reposte mon message ici car je me suis aperçu qu'il n'était pas dans le bon endroit dsl...)
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[invite6ed3677d]

Bonjour,

Ok pour P(3) mais il faudrait justifier en une ligne la valeur de P(2).

Tu as une équation à 4 inconnues (a,b,c et d) donc il te faut
4 informations indépendantes.
P(0) = 0
P(1) = 0
P(2) = 1
P(3) = 5

ca m'a l'air pas mal. Un petit système à résoudre !

[invited6f8f3df]

C'est passé tout seul en faisant ça:
P(x + 1) - P(x) = x² <=> 3ax² + x(3a + 2b) + (a + b + c) = x²

Ainsi on obtient ce système :

3a = 1
3a + 2b = 0
a + b + c = 0

Soit a = 1/3, b = -1/2 et c = -1/6
Et donc P(x) = 1/3x^3 - 1/2x² - 1/6x

(Merci à -Zweig-)
Tonton nano tu trouves pareil avec ce que tu désirais faire?

Suite:

Je dois écrire les égalités P(x+1)-P(x)=x² pour:
x = 1 ; x = 2 ...... ; x = n-1 ; x = n
Et en déduire que


Je commence:
P(x+1)-P(x)=x²
P(2)=1
P(3)=5
...
P(n)= ?
P(n+1)= ?

Comme vous le voyez, je pense a voir compris ce qu'il faut faire mais je n'y arrive plus à partir de x = n-1 ; x = n.

[invite1237a629]

Pourquoi poster cela dans deux forums différents ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6ed3677d]

Soit a = 1/3, b = -1/2 et c = -1/6
Et donc P(x) = 1/3x^3 - 1/2x² - 1/6x

(Merci à -Zweig-)
Tonton nano tu trouves pareil avec ce que tu désirais faire?

J'ai pas le même c !!! et le mien, il marche nananère !

Je dois écrire les égalités P(x+1)-P(x)=x² pour:
x = 1 ; x = 2 ...... ; x = n-1 ; x = n
Et en déduire que

P(n)= ?

P(n) - P(n-1) = (n-1)²
P(n+1) - P(n) = n²

Et je somme tout terme à terme.

[invited6f8f3df]

Erreur de signe pour le c c'est corrigé, merci

P(2)-P(1) = 1²
P(3)-P(2) = 2²
...
P(n)-P(n-1) = (n-1)²
P(n+1)-P(n) = n²

En sommant:

P(n+1)-P(1) = 1²+2²+...+n²

Or : P(1)-P(0) = 0 avec P(0) = 0 donc P(1) = 0

d'où :

P(n+1) = 1²+...+n²

J'arrive pas à continuer...

[invite6ed3677d]

Erreur de signe pour le c c'est corrigé, merci

P(2)-P(1) = 1²
P(3)-P(2) = 2²
...
P(n)-P(n-1) = (n-1)²
P(n+1)-P(n) = n²

En sommant:

P(n+1)-P(1) = 1²+2²+...+n²

Or : P(1)-P(0) = 0 avec P(0) = 0 donc P(1) = 0

d'où :

P(n+1) = 1²+...+n²

J'arrive pas à continuer...

C'est bien !

On a trouvé les coefficients de P non ?

[invited6f8f3df]

je suis à la masse... je ne comprend plus

[invite6ed3677d]

je suis à la masse... je ne comprend plus

Tu as
P(n+1) = 1²+...+n²
et tu connais P(x)
donc remplaces x par n+1 !

[invited6f8f3df]

Tu as
P(n+1) = 1²+...+n²
et tu connais P(x)
donc remplaces x par n+1 !

Il faut que je fasse ça??

[invite6ed3677d]

Il faut que je fasse ça??

Oui, en étant malin de préférence !
En regardant ce qu'on doit trouver !


En gros, si tu développes tout, il va falloir factoriser par la suite donc c'est pas forcément une bonne idée.

Moi, je commencerai par écrire 6 P(n+1) pour se débarasser des fractions puis je factoriserai par ...

[invited6f8f3df]

Hmm moi je ferais comme ça:
On a P(n+1) = 1²+...+n²
Et P(x) = (1/3)x^3-(1/2)x²+(1/6)x = (2/6)x^3-(3/6)x²+(1/6)x = (1/6)(2x^3-3x²+x)
P(x)= (1/6).x.(2x²-3x+1)

Il nous reste donc à calculer P(n+1).

P(n+1) = (1/6).(n+1).(2(n+1)²-3(n+1)+1)

Allé je file faire mes calcules et je re

[invite6ed3677d]

Hmm moi je ferais comme ça:
On a P(n+1) = 1²+...+n²
Et P(x) = (1/3)x^3-(1/2)x²+(1/6)x = (2/6)x^3-(3/6)x²+(1/6)x = (1/6)(2x^3-3x²+x)
P(x)= (1/6).x.(2x²-3x+1)

Il nous reste donc à calculer P(n+1).

P(n+1) = (1/6).(n+1).(2(n+1)²-3(n+1)+1)

Allé je file faire mes calcules et je re

Développes le carré, simplifie, factorise par n et c'est gagné

[invited6f8f3df]

Erf j'ai pas de chance je trouve 1/6.n.(n+1).(2n-1) au lien de 1/6.n.(n+1).(2n+1)...

[invite6ed3677d]

Erf j'ai pas de chance je trouve 1/6.n.(n+1).(2n-1) au lien de 1/6.n.(n+1).(2n+1)...

Erreur de signe ... (dans le developpement du carré ?).
Le résultat correct est bien celui qu'on attend.

[invited6f8f3df]

Je fais et refais le calcul et je trouve toujours pareil...
P(n+1)=1/6.(n+1).(2(n+1)²-3(n+1)+1)
P(n+1)=1/6.(n+1).(2(n²+2n+1)-3n-3+1)
P(n+1)=1/6.n.(n+1).(2n²+4n+2-3n-3+1)
P(n+1)=1/6.n.(n+1).(2n²+n)

Yipi! En le tapant j'ai trouvé le bon résultat xD

Merci

[invite6ed3677d]

Je fais et refais le calcul et je trouve toujours pareil...
P(n+1)=1/6.(n+1).(2(n+1)²-3(n+1)+1)
P(n+1)=1/6.(n+1).(2(n²+2n+1)-3n-3+1)
P(n+1)=1/6.n.(n+1).(2n²+4n+2-3n-3+1)
P(n+1)=1/6.n.(n+1).(2n²+n)

Yipi! En le tapant j'ai trouvé le bon résultat xD

Merci

De rien, bon courage pour la suite

[invite233bcfcf]

Erreur de signe pour le c c'est corrigé, merci

P(2)-P(1) = 1²
P(3)-P(2) = 2²
...
P(n)-P(n-1) = (n-1)²
P(n+1)-P(n) = n²

En sommant:

P(n+1)-P(1) = 1²+2²+...+n²

Or : P(1)-P(0) = 0 avec P(0) = 0 donc P(1) = 0

d'où :

P(n+1) = 1²+...+n²

J'arrive pas à continuer...

Je ne comprend pas comment vous passez de
P(n)-P(n-1)= (n-1)² + n²
P(n+1)-P(n) = n²

à

P(n+) - P(1) = 1²+2² +...+ n²

est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer svp?
merci d'avance =D

[invitee625533c]

Je ne comprend pas comment vous passez de
P(n)-P(n-1)= (n-1)² + n²
P(n+1)-P(n) = n²

à

P(n+) - P(1) = 1²+2² +...+ n²

est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer svp?
merci d'avance =D

bonjour,

t'as peut-être mal lu ce qu'il a écrit: il a ajouté les n égalités et non les 2 dernières .

Il le dit

en sommant