Nombres complexes

[Jojo1989]

Bonsoir !

Je cale sur trois questions dans mon DM, alors peut-être que quelqu'un peut me donner un tuyau afin que je puisse arriver au bout de la réflexion...

Au départ je dois factoriser des expressions avec des facteurs du premier degré(à coefficient dans C):

P(z)= 4z²+4z+101 ; Peut-on factoriser comme dans R?

Q(z)=z-6z²+13z ; Pour celle-ci j'ai trouvé qu'elle était égale à z(z²-6z+13)

R(z)= (z²+5)(z²-z-1) ; Là je ne vois pas du tout ce que je pourrais faire.

Ensuite on me donne P(z)=z-6z+14z²-24z+40
et je dois démontrer que l'équation P(z)=0 a deux solutions imaginaires pures.
Je pense qu'il faut faire intervenir "ib" dans l'expression, enfin j'ai déjà essayé mais je n'arrive à rien...

Joël.
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[Jeanpaul]

Si on arrive à factoriser en termes de degré 1, c'est qu'on a identifié toutes les racines de l'équation, dans R ou dans C. En effet, les termes du produit sont de la forme (x - a) où a est une racine.
Donc tu es amené à résoudre des équations du second degré, ça devrait aller, non ?

[Jojo1989]

Heum, oui mais j'ai déjà essayé cette méthode avec la factorisation de P(z) et avec les deux solutions conjuguées que j'ai trouvé, je peux créé ce facteur ou ces facteurs?

[Jeanpaul]

Eh bien si tu prends par exemple z² - 6z +13 = 0 ça va donner 2 racines conjuguées z1 et z2 et ta factorisation ce sera (z - z1)*(z-z2) car ici il n'y a pas de facteur constant multiplicatif (ça démarre par z² et pas par 5 z² par exemple).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jojo1989]

Merci oui c'est cette formule que je voulais connaître...

Et pour la démonstration des deux solutions imaginaires pures, je pars de quoi?