polynome racine évidente et factorisation

[marocain94]

bonjour j'ai besoin d'un peu d'aide pour cette exo merci d'avance !

je dois determiner les réels α et β tels que p(x)=x^4 - x³ + αx² + β admette 1-i comme racine et factoriser p(x) dans R(x)

est ce que je dois commencer par remplacer x par (1-i) pour simplifier l'expression?

[MiMoiMolette]

Wi

Et il faut que ce soit égal à 0.

Et pour que ce soit égal à 0, il faut que la partie réelle soit nulle et la partie imaginaire aussi.
>> Tu auras deux équations à deux inconnues

[marocain94]

je trouve p(x) = 4i + 1 + α (-2i) + β je trouve donc β=-4i et α= (1/2i)

est ce que c'est juste?

[MiMoiMolette]

Beta est un réel, donc ce ne sera pas -4i, mais -4
Pareil pour alpha...

Regroupe ce qui est en facteur avec i : 4-2*alpha
Et le reste : 1 + beta

Ce sont ces deux valeurs qui doivent être nulles

[marocain94]

la je trouve α =2 et β=-1 avec β+1 + i(-2α+4) = 0

[MiMoiMolette]

C'est mieux ^^

[marocain94]

et pour la factorisation de p(x) dans R(x) je dois proceder comment?

[marocain94]

on a déjà une racine de P.
P est à coefficient réelle, les racines complexes sont donc conjuguées, ensuite je pense qu'il faut factoriser mais c'est un peu flou la

[marocain94]

p(x)=x^4 - x³ + αx² + β avec α=1 et β=2 donc p(x)=x^4 - x³ + x² + 2

Une racine de ce polynôme p est 1-i

Donc il existe un polynôme g tel que pour tout réel x p(x) = (x -(1-i)) . g(x).

Ce polynôme g est le quotient de la division euclidienne du polynôme f par le polynôme x + 2.