Dm de math spé TS

[n3500]

Bonjour à tous, voilà j'ai un DM à rendre je bloque sur les 2 dernieres question. Merci de votre aide.

Ex:
Pour tout entier n >ou egal à 1
Un = 1 + 3 + 3^2 + ... + 3^n-1

1a) demontrer que si :
Un congrut 0 (7) alors 3^n - 1 congrut 0 (7)

Là j'ai trouvé, il faut passer par la somme d'une suite géometrique de raison 3 et de premier terme 1

1b) reciproquement montrez que si:
3^n -1 congrut 0 (7) alors 2Un congrut 0(7)
puis à l'aide d'un tableau de congruences, deduisez en que Un congrut 0 (7)

je n'arrive pas à resoudre la deuxieme partie de cette question étant donné que je n'est aucune idée de ce qu'est un tableau de congruence, vu que notre professeur nous à " balancé "' cet exercice sans aucune explication.

2) déduisez en les valeurs de n pour lesquelles Un est divisible par 7


Merci de votre aide.

[MiMoiMolette]

Salut,

Pour la deuxième partie de la...'fin bon, pour le tableau de congruence , tu peux voir ici le post de GalaxieA40 : http://forums.futura-sciences.com/thread182755.html
(sauf que toi, c'est 2x, pas 4x)

En gros, regarde les valeurs possibles des congruences de Un tel que 2Un soit congru à 0 modulo 7.

Pour la deuxième question, c'est pareil : regarde les congruences des différentes puissances de 3.
Tu peux commencer par 1, puis 3, puis 3^2, puis 3^3...jusqu'à ce que tu retombes sur une congruence à 1 modulo 7.
Supposons que tu l'atteignes à 12 (je ne fais pas les calculs, je te donne la méthode , d'ailleurs, 12 est beaucoup trop grand).
Alors tu sais, par récurrence, que les congruences de la forme 3^12k seront congrues à 1 modulo 7, car tu as la formule générale : et
Donc

Donc tu auras les puissances de la forme 12k qui seront congrues à 0 modulo 7.

Donc si tu as bien compris, tu dois être capable de trouver le nombre remplaçant 12 dans ma démonstration

[n3500]

merci beaucoup de votre aide, je suis en train de me pencher dessus. merci encore.