Un laboratoire de recherche étudie l'évolution d'une population animale qui semble en voie de disparition. En 2000, une étude est effectuée sur un échantillon de cette population ont l'effectif initia est égal à 1000 Cet échantillon évolue et son effectif, exprimé en milliers d"individus, est approché par une fonction f du temps t exprimé en années à partir de l'origine 2000.
D'après le modèle d'évolution choisi,la fonction f est dérivable, strictement positive sur [0;+oo[ et satisfait l'équation différentielle (E) y'=(-1/20)y(3-lny)
1. démontrer l'équivalence suivante: une fonction f, dérivable, strictement positive sur [0;+oo[, vérifie, pour tout t appartenant à [0;+oo[ :
f'(t)= (-1/20)f(t)[3-ln(f(t))] si et seulement si la fonction g=ln(f) (c'est à dire g=ln o f) vérifie pour tout t appartenant à [0;+oo[ :
g'(t)=(1/20)g(t) - 3/20
2. Donner la solutin générale de l'équation différentielle (H) :
z' = (1/20)z -3/20
3. En déduire qu'il existe un réel C tel que pour tout t appartenant )à [0;+oo[, on ait f(t)=exp(3+Cexp(t/20))
4. La condition initiale conduit donc à considérer la fonction f définie par f(t)=exp(3-3exp(t/20))
a) déterminer la limite de la fonction f en +oo
b) déterminer le sens de variation de f sur [0;+oo[
c) résoudre dans [0;+oo[ l'inéquation f(t) < 0,02. Au bout de combien de d'années, selon ce modèle, l taille de l'échantillon sera inférieure à 20 individus?
Voilà l'exercice, tout aide est la bienvenue, je ne sais pas comment faire pour la première question.
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