Equation différentielle, démo incomprise.

[stross]

Bonsoir ! j'ai une petite question:

Dans un exo on a :

Démontrer qu'une fonction f est solution de ( E ) : y'-2y=e^(2x) si et seulement si la fonction f-g est solution de ( G ) : y'=2y


Et bien mon prof nous a fait cette démo :

supposons que f est solution de (E) donc

f ' + 2F = e^(2x)
mais g'+2g=e^(2x)

donc : f ' - g' - 2f - 2g = (f-g)' - 2(f-g)=0

donc f-g est solution de ( G )

Supposons que f-g est solution de (G)

(f-g)' - 2(f-g)=0
donc
(f ' -2f) - (g'-2g)=0

donc f ' -2f = e^(2x)


(on a vue la question précédente que g(x)= xe^(2x)


La démonstration en elle même est comprise. Mais ce que je ne comprends pas c'est en quoi ceci démontre qu'une fonction f est solution de ( E ) : y'-2y=e^(2x) si et seulement si la fonction f-g est solution de ( G ) : y'=2y


Voilà je compte sur vous pour m'éclairer sur ce sujet.
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[Jada]

Salut,

L'affirmation "f est solution de (E) ssi f-g est solution de (G)" veut exactement dire que :
si f est solution de (E) alors f-g est solution de (G)
ET
si f-g est solution de (G) alors f est solution de (E)

ce que ton prof a démontré et que tu as apparement compris.

En d'autres termes, cela revient au même de dire que f est solution de (E) ou que f-g est solution de (G). C'est pareil.
Tu vas alors t'empresser de résoudre la seconde équa diff qui a une tête beaucoup plus sympa que la première et la solution que tu trouveras pour f vérifiera l'équa diff (E).

JadA

[stross]

D'accord. Je vais essayer seul sur un autre exemple. Pouvez-vous me corriger si je fais une erreur ?

Montrer qu’une fonction f est solution de l’´equation différentielle
(E) y′(x) + 3y(x) = 2e^(−x)
si et seulement si f − g est solution de y′ + 3y = 0.
PS: g(x)=ae^(-x) est solution de (E)

Alors :

Supposons que f est solution de (E):

f ' + 3f = 2e^(-x)
mais g' + 3g= 2e^(-x)

alors

(f-g)' + 3(f-g)=0

Donc f-g est solution de (G)

Supposons que f-g est solution de (G)

(f-g)' + 3(f-g)=0

(f ' + 3f) - (g'+3g) = 0

donc f ' -3f = 2e^(-x)



Est ce bon ?????

[stross]

J'aurais besoin d'une correction de mon dernier post s'il vous plait. J'ai controle vendredi matin. J'ai donc besoin de cette réponse.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jada]

Ben oui,
Je croyais que tu avais compris la démonstration...

[stross]

biensur mais c'était pour avoir une certitude à 100%. Je n'aime pas le doute en mathématique.

Cordialement