Limite difficile

[invitece8e8dc1]

bonjour,
j'ai un exercice à résoudre mais je ne vois pas du tout comment :
trouver l'astuce :
calculer lim h-->0 [(1+h)²⁰⁰⁵-1]/h
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[GalaxieA440]

Soit f la fonction qui a h associe f(h)=(1+h)^2005.

Que vaut f(0) ??

Ensuite, quel est la fénition du nombre dérivé d'une fonction ??

Si tu réponds à tous ça, alors ta limite ne pose plus aucun problème...

Cordialement

GalaxieA440

[invitece8e8dc1]

c'est quoi la fénition d'un nombre dérivé?

[Gwyddon]

Galaxy voulait dire "définition".

Donc c'est quoi la définition de la dérivée d'une fonction f en un point a ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitece8e8dc1]

f(0)=1
ben c'est lim h--> 0 [f(a+h)-f(a)/h]
non???

[Gwyddon]

Ok, maintenant tu ne vois vraiment pas comment déterminer ta limite ?

[invitece8e8dc1]

ben pas trop
1??

[Forhaia]

Essaye d'appliquer à la fontion de GalaxieA440 la définition de son nombre dérivé en 0...

[Gwyddon]

On ne peut pas t'aider plus que ça sinon ça revient à faire l'exercice à ta place ; tu as la solution sous les yeux

[Forhaia]

C'est sûr que je vois difficilement comment faire mieux.

[invitece8e8dc1]

bonsoir je suis un copain a jualflo
en fait il faut poser une fonction f(x)=x^2005 et chercher le nombre dérivé de 1 c'est ça?

[Forhaia]

pas exactement mais c'est l'idée

il faut poser f(x)= (1+x)²⁰⁰⁵ et chercher le nombre dérivée de f en 0 , qui est par définition la limite que tu cherches.

[invitece8e8dc1]

pourquoi poser f(x)=(1+x)²⁰⁰⁵ et non f(x)=x²⁰⁰⁵?

[invite4f9b784f]

Ca revient au meme

[Gwyddon]

pas exactement mais c'est l'idée

il faut poser f(x)= (1+x)²⁰⁰⁵ et chercher le nombre dérivée de f en 0 , qui est par définition la limite que tu cherches.

Comme le dit Gunboy ce que dit jualflo est tout aussi exact et donne le même résultat, puisque :

( =f'(a) pour f dérivable en a)

[invitece8e8dc1]

merci à tous pour vos réponses et bonne soirée

[invite1ca02133]

Bonjour, (ou plutôt bonsoir ) j'ai moi aussi cet exercice à résoudre, et j'ai peur que ce message ne soit pas conforme avec les règles du forum car je vais poser une question en donnant (peut-être) la réponse aux éventuels passant suivants, donc je demanderais aux administrateurs de bien vouloir en juger par eux-même et de supprimer ce message si tel est le cas (en voullant bien accepter toutes mes excuses!)

Tout d'abord je vous rappelle l'énoncé :

Calculer lim h->0 [(1+h)²⁰⁰⁵-1] / h

Voilà, voilà, mon problème se pose plus du côté du dénominateur, car l'on ne peut pas diviser par 0, donc il faut factoriser par h le numérateur.

Par une suite de calculs pour "trouver l'astuce" (nom de l'énoncé) j'ai eu :

(1+h)² = 1 + 2h + h²
(1+h)² x (1+h) = 1 + 3h + 3h² + h³
(1+h)² x (1+h)² = 1 + 4h + 6h² + 6h³ + 3h⁴
...

Donc mon astuce serait que dans le numérateur on élimine le 1 avec le -1 de la suite, et il ne reste que la suite de h. En simplifiant par h, la première partie (en rouge dans les exemples) se retrouve donc dénuée du facteur h et si l'on suit la même logique que dans ces calculs ce serait 2005.

Cela donnerait (très shématisé ) :
[2005 + une expression ayant pour facteur h] / 1

A partir de là on pourrait donc faire h = 0 car le dénominateur n'y serait pas égal et le calcul rendu possible par la même occasion.

Réponse = 2005 ?

Merci à ceux qui auront compris mon message peut-être pas très clair et sur ce je vais me coucher en vous souhaitant une bonne nuit à tous !

[invite1ca02133]

C'est juste pour que quelqu'un qui si connaît mieux puisse me dire si le raisonnement est bon ? Merci d'avance

[invite1237a629]

Plop,

J'aime bien =) C'est moins rigoureux que la solution précédente, parce qu'à mon avis, on demandait de passer par la dérivée.

Ta formule se démontre (enfin l'apparition du 2005) :
(binôme de Newton) :


Donc, si y=1 :




Or, est toujours un entier. Et quand k=1, c'est précisément égal à 2005

D'où le 2005h.
Et pour la somme, on voit aisément qu'elle est factorisable par h²

[invite1ca02133]

Euh... t pour un niveau de 1ère S ? lol. factoriser par h suffit pour résoudre non ? En fait avec l binôme de newton je capte pas vraiment ^^ Merci quand même, c'est cool d'avoir répondu

[invite1237a629]

Je justifiais juste la récurrence que tu avais mise en gras plus haut =)

Et hm le binôme de Newton se voit en première/terminale je crois...rien de bien difficile. Mais sans cela, ta démonstration n'est pas rigoureuse

Et c'est plus facile de passer par le nombre dérivé =}

[invite1ca02133]

Hmmmm... Mais vu que je n'ai pas encore vu ça en cours, je pense que je vais m'abstenir ^^

Vu que l'exercice porte comme nom "trouvez l'astuce", ce ne serait pas un moyen de nous y faire réfléchir pour introduire cette notion dans le cours ?

En passant par le nombre dérivé, je ne vois pas très bien comment, même après avoir lu ce qui était mis auparavant (je suis un peu paumé dans ce chapitre en fait je crois lol)

[invite1237a629]

Soit f(x) une fonction (ici : f(x)=x^2005)



D'après la limite qu'on demande de chercher, x0 = 1

Donc on cherche f'(1)

et f'(x) = 2005*x^2004
f'(1)=2005

[invite1ca02133]

et f'(x) = 2005*x^2004

Vala c'est ce passage là que je ne comprends pas en fait, du moins j'ai pas le calcul sous les yeux, ça doit être ça ! (où alors c'est plutôt que je suis un cas désesperé mdr)

[invite1237a629]

Pas grave

La fonction dérivée de x^n est n*x^(n-1)

[Gwyddon]

Pas grave

La fonction dérivée de x^n est n*x^(n-1)

Et si tu veux t'en convaincre berlingot, je te suggère une démonstration par récurrence, en te servant de la formule de base (fg)' = f' g + f g' (que tu as le droit de démontrer aussi si tu le souhaites )

[invite1ca02133]

Oui avec un nombre simple je vois bien, mais ça marche tout pareil avec une "paranthèse" comme ça ?

[invite1ca02133]

Je pensais établir avec mes calculs test que lorsqu'on a (1+h)ⁿ (dans cet exemple avec n < 5):

(1+h)ⁿ = 1 + nh + wh² + xh³ + yh⁴ ... + zhⁿ

Et ensuite me servir de cette remarque pour m'en servir dans le calcul, cha marcherais pas ?

Allez si ce soir minuit j'ai tjs pas capté comment faire une bonne démonstration, je me retappe en L

[Gwyddon]

Je pensais établir avec mes calculs test que lorsqu'on a (1+h)ⁿ (dans cet exemple avec n < 5):

(1+h)ⁿ = 1 + nh + wh² + xh³ + yh⁴ ... + zhⁿ

Et ensuite me servir de cette remarque pour m'en servir dans le calcul, cha marcherais pas ?

C'est une bonne idée dit comme ça, maintenant j'attend ta démo

Allez si ce soir minuit j'ai tjs pas capté comment faire une bonne démonstration, je me retappe en L

Faut pas, pour si peu ; sinon j'aurais dû revenir en CE1 alors, puisque ça m'est déjà arrivé récemment d'écrire que 3+6 = 36, faut le faire non ?

[Gwyddon]

Tu vas bien y arriver par récurrence, il te suffit de bien écrire quelle est ton hypothèse de récurrence.

Comme je suis sympa ce soir, je vais te la fournir

"montrer que (1+h)ⁿ = 1 + n*h +h² Q(h) avec Q(h) polynôme en h, pour tout n entier naturel"