Limite difficile
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Limite difficile



  1. #1
    invitece8e8dc1

    Red face Limite difficile


    ------

    bonjour,
    j'ai un exercice à résoudre mais je ne vois pas du tout comment :
    trouver l'astuce :
    calculer lim h-->0 [(1+h)2005-1]/h

    -----

  2. #2
    invite787dfb08

    Re : limite difficile

    Soit f la fonction qui a h associe f(h)=(1+h)^2005.

    Que vaut f(0) ??

    Ensuite, quel est la fénition du nombre dérivé d'une fonction ??

    Si tu réponds à tous ça, alors ta limite ne pose plus aucun problème...

    Cordialement

    GalaxieA440

  3. #3
    invitece8e8dc1

    Re : Limite difficile

    c'est quoi la fénition d'un nombre dérivé?

  4. #4
    invite9c9b9968

    Re : Limite difficile

    Galaxy voulait dire "définition".

    Donc c'est quoi la définition de la dérivée d'une fonction f en un point a ?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invitece8e8dc1

    Re : Limite difficile

    f(0)=1
    ben c'est lim h--> 0 [f(a+h)-f(a)/h]
    non???

  7. #6
    invite9c9b9968

    Re : Limite difficile

    Ok, maintenant tu ne vois vraiment pas comment déterminer ta limite ?

  8. #7
    invitece8e8dc1

    Re : Limite difficile

    ben pas trop
    1??

  9. #8
    invite8a80e525

    Re : Limite difficile

    Essaye d'appliquer à la fontion de GalaxieA440 la définition de son nombre dérivé en 0...

  10. #9
    invite9c9b9968

    Re : Limite difficile

    On ne peut pas t'aider plus que ça sinon ça revient à faire l'exercice à ta place ; tu as la solution sous les yeux

  11. #10
    invite8a80e525

    Re : Limite difficile

    C'est sûr que je vois difficilement comment faire mieux.

  12. #11
    invitece8e8dc1

    Re : Limite difficile

    bonsoir je suis un copain a jualflo
    en fait il faut poser une fonction f(x)=x^2005 et chercher le nombre dérivé de 1 c'est ça?

  13. #12
    invite8a80e525

    Re : Limite difficile

    pas exactement mais c'est l'idée

    il faut poser f(x)= (1+x)2005 et chercher le nombre dérivée de f en 0 , qui est par définition la limite que tu cherches.

  14. #13
    invitece8e8dc1

    Re : Limite difficile

    pourquoi poser f(x)=(1+x)2005 et non f(x)=x2005?

  15. #14
    invite4f9b784f

    Re : Limite difficile

    Ca revient au meme

  16. #15
    invite9c9b9968

    Re : Limite difficile

    Citation Envoyé par Forhaia Voir le message
    pas exactement mais c'est l'idée

    il faut poser f(x)= (1+x)2005 et chercher le nombre dérivée de f en 0 , qui est par définition la limite que tu cherches.
    Comme le dit Gunboy ce que dit jualflo est tout aussi exact et donne le même résultat, puisque :

    ( =f'(a) pour f dérivable en a)

  17. #16
    invitece8e8dc1

    Re : Limite difficile

    merci à tous pour vos réponses et bonne soirée

  18. #17
    invite1ca02133

    Lightbulb Re : Limite difficile

    Bonjour, (ou plutôt bonsoir ) j'ai moi aussi cet exercice à résoudre, et j'ai peur que ce message ne soit pas conforme avec les règles du forum car je vais poser une question en donnant (peut-être) la réponse aux éventuels passant suivants, donc je demanderais aux administrateurs de bien vouloir en juger par eux-même et de supprimer ce message si tel est le cas (en voullant bien accepter toutes mes excuses!)

    Tout d'abord je vous rappelle l'énoncé :

    Calculer lim h->0 [(1+h)2005-1] / h

    Voilà, voilà, mon problème se pose plus du côté du dénominateur, car l'on ne peut pas diviser par 0, donc il faut factoriser par h le numérateur.

    Par une suite de calculs pour "trouver l'astuce" (nom de l'énoncé) j'ai eu :

    (1+h)2 = 1 + 2h + h2
    (1+h)2 x (1+h) = 1 + 3h + 3h2 + h3
    (1+h)2 x (1+h)2 = 1 + 4h + 6h2 + 6h3 + 3h4
    ...

    Donc mon astuce serait que dans le numérateur on élimine le 1 avec le -1 de la suite, et il ne reste que la suite de h. En simplifiant par h, la première partie (en rouge dans les exemples) se retrouve donc dénuée du facteur h et si l'on suit la même logique que dans ces calculs ce serait 2005.

    Cela donnerait (très shématisé ) :
    [2005 + une expression ayant pour facteur h] / 1

    A partir de là on pourrait donc faire h = 0 car le dénominateur n'y serait pas égal et le calcul rendu possible par la même occasion.

    Réponse = 2005 ?

    Merci à ceux qui auront compris mon message peut-être pas très clair et sur ce je vais me coucher en vous souhaitant une bonne nuit à tous !

  19. #18
    invite1ca02133

    Re : Limite difficile

    C'est juste pour que quelqu'un qui si connaît mieux puisse me dire si le raisonnement est bon ? Merci d'avance

  20. #19
    invite1237a629

    Re : Limite difficile

    Plop,

    J'aime bien =) C'est moins rigoureux que la solution précédente, parce qu'à mon avis, on demandait de passer par la dérivée.

    Ta formule se démontre (enfin l'apparition du 2005) :
    (binôme de Newton) :


    Donc, si y=1 :




    Or, est toujours un entier. Et quand k=1, c'est précisément égal à 2005

    D'où le 2005h.
    Et pour la somme, on voit aisément qu'elle est factorisable par h²

  21. #20
    invite1ca02133

    Re : Limite difficile

    Euh... t pour un niveau de 1ère S ? lol. factoriser par h suffit pour résoudre non ? En fait avec l binôme de newton je capte pas vraiment ^^ Merci quand même, c'est cool d'avoir répondu

  22. #21
    invite1237a629

    Re : Limite difficile

    Je justifiais juste la récurrence que tu avais mise en gras plus haut =)

    Et hm le binôme de Newton se voit en première/terminale je crois...rien de bien difficile. Mais sans cela, ta démonstration n'est pas rigoureuse

    Et c'est plus facile de passer par le nombre dérivé =}

  23. #22
    invite1ca02133

    Re : Limite difficile

    Hmmmm... Mais vu que je n'ai pas encore vu ça en cours, je pense que je vais m'abstenir ^^

    Vu que l'exercice porte comme nom "trouvez l'astuce", ce ne serait pas un moyen de nous y faire réfléchir pour introduire cette notion dans le cours ?

    En passant par le nombre dérivé, je ne vois pas très bien comment, même après avoir lu ce qui était mis auparavant (je suis un peu paumé dans ce chapitre en fait je crois lol)

  24. #23
    invite1237a629

    Re : Limite difficile



    Soit f(x) une fonction (ici : f(x)=x^2005)



    D'après la limite qu'on demande de chercher, x0 = 1

    Donc on cherche f'(1)

    et f'(x) = 2005*x^2004
    f'(1)=2005

  25. #24
    invite1ca02133

    Re : Limite difficile

    Citation Envoyé par MiMoiMolette Voir le message

    et f'(x) = 2005*x^2004
    Vala c'est ce passage là que je ne comprends pas en fait, du moins j'ai pas le calcul sous les yeux, ça doit être ça ! (où alors c'est plutôt que je suis un cas désesperé mdr)

  26. #25
    invite1237a629

    Re : Limite difficile

    Pas grave

    La fonction dérivée de x^n est n*x^(n-1)

  27. #26
    invite9c9b9968

    Re : Limite difficile

    Citation Envoyé par MiMoiMolette Voir le message
    Pas grave

    La fonction dérivée de x^n est n*x^(n-1)
    Et si tu veux t'en convaincre berlingot, je te suggère une démonstration par récurrence, en te servant de la formule de base (fg)' = f' g + f g' (que tu as le droit de démontrer aussi si tu le souhaites )

  28. #27
    invite1ca02133

    Re : Limite difficile

    Oui avec un nombre simple je vois bien, mais ça marche tout pareil avec une "paranthèse" comme ça ?

  29. #28
    invite1ca02133

    Re : Limite difficile

    Je pensais établir avec mes calculs test que lorsqu'on a (1+h)n (dans cet exemple avec n < 5):

    (1+h)n = 1 + nh + wh2 + xh3 + yh4 ... + zhn

    Et ensuite me servir de cette remarque pour m'en servir dans le calcul, cha marcherais pas ?

    Allez si ce soir minuit j'ai tjs pas capté comment faire une bonne démonstration, je me retappe en L

  30. #29
    invite9c9b9968

    Re : Limite difficile

    Citation Envoyé par berlingot Voir le message
    Je pensais établir avec mes calculs test que lorsqu'on a (1+h)n (dans cet exemple avec n < 5):

    (1+h)n = 1 + nh + wh2 + xh3 + yh4 ... + zhn

    Et ensuite me servir de cette remarque pour m'en servir dans le calcul, cha marcherais pas ?
    C'est une bonne idée dit comme ça, maintenant j'attend ta démo

    Allez si ce soir minuit j'ai tjs pas capté comment faire une bonne démonstration, je me retappe en L
    Faut pas, pour si peu ; sinon j'aurais dû revenir en CE1 alors, puisque ça m'est déjà arrivé récemment d'écrire que 3+6 = 36, faut le faire non ?

  31. #30
    invite9c9b9968

    Re : Limite difficile

    Tu vas bien y arriver par récurrence, il te suffit de bien écrire quelle est ton hypothèse de récurrence.

    Comme je suis sympa ce soir, je vais te la fournir

    "montrer que (1+h)n = 1 + n*h +h2 Q(h) avec Q(h) polynôme en h, pour tout n entier naturel"

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