Limite? A-t-on le droit de mettre la limite de a.sigma?

[invite95753ccc]

Bonjour...

Dans un excercice je "ressent" le besoin d'exprimer la limite (1 - 1/n).(a - sigma) en language quantifié! (car (1 - 1/n).(a - sigma) < xxx et je dois trouver la limite de "xxx"

Donc je dis:
(Signma est déja fixé avant pour xxx) Existe N1, QQsoit n€N, n>N1 => |(1 - 1/n).(a - sigma) - (a - sigma)| < sigma

=> - sigma < (1 - 1/n).(a - sigma) - (a - sigma)

=> a - 2.sigma < (1 - 1/n).(a - sigma)


Mais a-t-on le droit d'écrire la limite de cette manière? car sigma apparait lui meme dans l'expression de la limite (le l de la limite dépend de sigma!)

Merci d'avance!
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[invite95753ccc]

UP?! Merci d'avance!

[moijdikssékool]

ré énonce c pa très clair

[invite95753ccc]

En fait, j'ai un exo ou j'ai:

On sait que u(n) converge vers a donc:

Soit epsilon>0, (on fixe un epsi. pour la convergence vers a)

Existe N1€N qqsoit k€N, k>N1 => |u(k) - a|<epsi.

d'ou a - epsi < u(k) < a + epsi

Et comme la suite dont on doit montrer la convergence et en fait, la somme des u(k), k variant entre 1 et un n qqconque divisé par n on a la somme des u(k), k variant entre 1 et N1 + la somme des u(k), k variant entre N1 + 1 et un n qqconque (on a bien k>n1 donc...) divisé par n

Donc on prend la 2de somme (pour avoir des k > N1), notons la v(n)

Somme de (a - epsi) variant entre N1+1 et n < v(n) < Somme de (epsi + a) variant entre N1+1 et n

D'ou (n - (N1+1) +1).(a - epsi)/n < v(n) < (n - (N1+1) +1).(a + epsi)/n

(n - N1).(a - epsi)/n < v(n) < (n - N1).(a + epsi)/n

(1 - N1/n).(a - epsi) < v(n) < (1 - N1/n).(a + epsi)

et la, je vais chercher la limite de (1 - N1/n).(a - epsi) et (1 - N1/n).(a + epsi)

Donc: Existe N2€N qqsoit n€N, n>N2 => |(1 - N1/n).(a - epsi) - (a - epsi)|<epsi (car on garde le même epsilone!)

on encore a - epsi - epsi <(1 - N1/n).(a - epsi) < (de ce coté en s'en tape!)

et Existe N3€N qqsoit n€N, n>N3 => |(1 - N1/n).(a + epsi) - (a + epsi)|<epsi (car on garde le même epsilone!)

ou encore (de ce coté en s'en tape!) < (1 - N1/n).(a + epsi) < a + epsi + epsi

Donc pour max(N1,N2,N3)
a - 2.epsi < v(n) < a + 2.epsi

D'ou |v(n) - a| < 2.epsi

d'ou lim v(n) = a

et pour la seconde somme, ca donne une cst (vu que N1 est fixé également!) divisé par n, donc sa tend vers 0 (notons la suite w(n) pour que z(n) (suite finale) = v(n) + w(n)

Donc a - 2.epsi < v(n) < a + 2.epsi et -epsi < w(n) < epsi

|z(n) - a|< 3.epsi

D'ou z(n) converge vers a

C'est jsute?!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec314d025]

(1 - N1/n).(a - epsi) < v(n) < (1 - N1/n).(a + epsi)

et la, je vais chercher la limite de (1 - N1/n).(a - epsi) et (1 - N1/n).(a + epsi)

Donc: Existe N2€N qqsoit n€N, n>N2 => |(1 - N1/n).(a - epsi) - (a - epsi)|<epsi (car on garde le même epsilone!)

Houla mais tu compliques beaucoup.
Pourquoi tu ne dis pas: 1-N1/n < 1 ?
Ca te donne directement v(n) < a + epsi

Et tu devrais éviter de transformer les majorations de valeur absolue en encadrement. Utilise plutôt le fait que la valeur absolue d'une somme est plus petite que la somme des valeurs absolues.

[invite95753ccc]

Sa marche pour a + epsi. mais pour a - epsilone, tu ferai comment? (c'est pour sa, je me suis dit, autant utiliser la meme chose pour les 2)

Et ce que j'ai fait, c'est juste ou pas? C'est surtout l'étape que tu a cité qui me pose problème!

[invitec314d025]

Tu n'as pas à le faire pour a - epsi, c'est ce que t'expliquais avec le fait que tu devrais garder des valeurs absolues.
Pour la suite, désolé je n'ai pas regardé en détail, tu compliques trop.

[invite95753ccc]

Ok, je viens de le refaire sans develloper les val. abs.

Juste pour être sur:

Si j'ai |u(k) - a| < epsi.

alors Somme(u(k) - a ; k=N1+1 -> n) < Somme(epsi.; k=N1+1 -> n)

et Somme(u(k) - a ; k=N1+1 -> n) < epsi.

[invitec314d025]

Si j'ai |u(k) - a| < epsi.

alors Somme(u(k) - a ; k=N1+1 -> n) < Somme(epsi.; k=N1+1 -> n)

et Somme(u(k) - a ; k=N1+1 -> n) < epsi.

Plutôt:
|Somme(u(k) - a ; k=N1+1 -> n)| <= Somme(|u(k) - a| ; k=N1+1 -> n)
< Somme(epsi.; k=N1+1 -> n) = (n-N1)espi <= n.epsi
ensuite tu multiplies par 1/n

[invite95753ccc]

Oui oui, j'avais oublié les valeur absolue comme un con!

Je voulais biensur dire:

Si j'ai |u(k) - a| < epsi.

alors Somme(|u(k) - a |; k=N1+1 -> n) < Somme(epsi.; k=N1+1 -> n)

et Somme(|u(k) - a| ; k=N1+1 -> n) < epsi.

(on reviens à ce que tu a dis!)

Donc, je pense que c'est bon! C'est effectivement mieux de ne pas dev. les val. abs.!

[invitec314d025]

Oui mais n'oublie pas que c'est peut-être la première étape la plus importante. C'est |Vn-a| qu'il faut majorer par espilon pour montrer la convergence de Vn vers a. Mais bon je pense que tu as compris il n'y a pas de problème.
Ensuite pour le premier membre (n <= N1), tu as 1/n multiplié par une constante, donc effectivement tu dis pour n>N2, on va pouvoir majorer par espilon, et pour n >= max(N1;N2) tu as donc majoré par 2.epsilon.

Au fait au cas où ça ne serait pas mentionné dans ton énoncé, ce théorème s'appelle le théorème (ou lemme) de Césaro. Il peut être très utile, autant ne pas l'oublier.

[invite95753ccc]

Ok, merci pour tout! Vraiment sympa!