Adjacentes!

[invite95753ccc]

Salut!

Je voudrai savoir comment montre que 2 suites sont adjacentes quand les suites ne sont pas définie en fonction de n mais u(n+1) (respectivement v(n+1)) en fonction de u(n) (respectivement v(n))

Car pour montre la croissance on la décroissance ca se fait, mais pour la limite?

Car u(n+1) - v(n+1) sera toujours en fonction de u(n) et de v(n)... et on est pas plus avancé!

Faut obligatoirement "deviner" la limite (notons la l) et montre que pour tout n, u(n)>l et v(n)<l (ou inversement, selon les sens de variation...)?

Merci d'avance!
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[inviteb1ef7d0e]

pour trouver la limite de un , tu peux poser l cette limite et alors lim u(n+1)=l tu remplaces alors u(n+1) et u(n) par l dans ta relation de récurence.

[invited5b2473a]

u(n+1)-v(n+1) en fonction de u(n)-v(n) donc tu peux toujours utiliser une récurrence

[doryphore]

Quand tu démontres que tes deux suites sont adjacentes, c'est pour montrer que ces deux suites ont une limite et la même limite.
Cela ne donne pas a priori la valeur de cette limite et parfois tu peux ne pas en avoir besoin.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite95753ccc]

Syllys, j'ai pas bien compris ce que tu as dit, pourrait tu l'explicité plus stp?

Indien58 je m'envais tester la récurence, mais il me semble bien avoir déja essaillé (enfait, je me rappel plus trop car j'ai vraiment essailler plein de machins différents!)

Et pour doryphore:
L'énoncé me dit de montrer que les 2 suites sont adjacentes et ont (donc) la limite est l
En fait, j'ai réussi a montrer que u(n) était de variation opposé a v(n) (car j'obtient un truc du type v(n+1) - v(n) = -v(n).(u(n+1) - u(n)) et v(n) toujours positif (démontré!))
Donc je dois encore montrer que lim v(n+1)-u(n+1) = 0 puis que lim v(n) = l (avec l définit dans l'énoncé...)

[doryphore]

ne tend pas vers 0 quand n tend vers + linfini ?

[invite95753ccc]

Ok, j'ai trouvé le truc... je crois!

Je suis repassé à la def. quantitative de la limite..

donc (notons la limite de v(n) et u(n) a)

QQsoit epsilon>0, il existe N0€N, qqsoit n€N, n>N0 => |u(n) - a| < epsilon
de même
QQsoit epsilon>0, il existe N1€N, qqsoit n€N, n>N1 => |v(n) - a| < epsilon

On vire les valeurs absolue (en faisant a - epsi. < u < a + epsi)
et comme u(n+1) est fonction de u(n) et v(n) on obtient |u(n+1)-a|< epsilon

mais le problème se pose pour v(n) car il faut une multiplication, et a - epsi peut etre négatif (meme si on travail habituellement sur des epsi petit...)

Alors j'ai le droit de mettre une condition sur epsi? (j'ai démontré de toute façon que u(n) et v(n) > 0)

Et surtout sa suffit pour montre que la lim de u et v est a?

Car la on obtient en gros, si lim u(n) = a et lim v(n) = a alors lim u(n+1) = a et lim v(n+1) = a

Mais pour faire une vrai récurence, il faudrai aussi l'étape d'initialisation... mais une limite en n=0 n'a aps de sens (ni meme ce que j'ai écrit, car que sa soit n ou n+1 qui tende vers l'infini on doit obtenir la meme limite! non?)

[doryphore]

Moi, je suis perdu...
Qu'est ce que tu sais et qu'est ce que tu dois démontrer ???

Il n'y a pas besoin de récurrence pour démontrer que si la suite converge, alors la suite converge...
C'est vrai pour toute suite extraite de ...

[invite95753ccc]

Bon je pense que je vais mettre l'énoncé!

u(n+1)= 2.u(n).v(n)/(u(n)+v(n))
v(n+1)=(u(n)+v(n))/2

Montrer que les suite u et v sont adjacentes et que la limite est sqrt(2)

Donc j'ai montre que u(n) et v(n) sont de variations opposés (1er pas vers "l'adjacence"(TM))

Que u(n) et v(n) sont positifs

Que u(n).v(n)=2

Et j'ai tenté (cf post précédent) de montre que |u(n)-1|<epsi. et |v(n)-1|<epsi. => |u(n+1)-1|<epsi. et |v(n+1)-1|<epsi.

[inviteb1ef7d0e]

je pensais que tu avais u(n+1)=f(u(n)) et v(n+1)=g(v(n)) . Mais ici , si tu as trouvé que u(n)v(n) = 2 , tu peux remplacer ce résultat dans l'expression de u(n+1) et en écrivant u(n+1) en fonction uniquement de v(n+1) , tu peux trouver une relation entre l et l' , les limites respectives de u et v :
u(n+1)=2*2/(u(n)+v(n))
u(n+1)=2/(v(n+1))
l=2/l' (1)
ensuite tu utilises ta première relation ( u(n+1)=2.u(n).v(n)/(u(n)+v(n)) ) et (1)
pour trouver une équation sur l , tu vas trouver comme prévu racine de 2 et tu vérifies avec (1) que l' vaut pareil .

[invitec314d025]

tu peux trouver une relation entre l et l' , les limites respectives de u et v

Je ne pense pas que ce soit la philosophie de l'énoncé. Apparamment le but c'est de démontrer que les suites sont adjacentes sans se soucier de leur limite. On en déduit qu'elles convergent vers la même limite l.
Donc UnVn tend vers l². Et comme UnVn = 2, on a l² = 2.

Pour Boobooboo, si tu as déjà fait tout ce que tu as dit, tu n'as plus qu'à démontrer que Un -Vn tend vers 0 (ou que U(n+1) - V(n+1) tend vers 0, c'est la même chose).

[invite95753ccc]

Je pense que c'est plutot la méthode de mathias qui est demandé dans l'exo...

Mais comment montrer que u(n+1) - v(n+1) tend vers 0

Car u(n+1) - v(n+1) = - (2 - v(n)²)²/(2.v(n).(2 + v(n)))

[invitec314d025]

Au fait, si tu nous donnais U(0) et V(0) ?

[invite95753ccc]

Respectivement 1/2 et 4... mais j'ai trouvé... avec une récurence! Merci pour tout, car sa malgrès tout permis d'avancer!