[TS] Suites adjacentes

[invite9611804b]

Bonjour à tous! J'ai eu un petit DM sur les maths, j'ai fait toutes les questions, mais il y en a une à laquelle j'ai répondu "au hasard", ma méthode n'est pas bonne, donc je vais vous montrer ce que j'ai fait. S'il y a une autre méthode pourrez vous m'aider s'il vous plaît??

Soit définie, pour tout entier , par n'est pas minorée et tend vers
On considère la suite définie, pour tout entier , par
1 . Calculer ,,, et
2. On admet dans cette question que, pour tout réel , on a . Démontrer que, pour tout entier , on a En déduire le sens de variation de la suite
3. On pose, à présent, pour tout : Démontrer que pour tout entier : Quel est le sens de variation de ?
4. Démonter que les suites et sont adjacentes.
La limite commune de ces deux suites est appelée la constante d'Euler.
5. Déterminer à l'aide des suites et un encadrement de la constante d'Euler d'amplitude

La question à laquelle je bute est la 2, lorsqu'il faut déduire le sens de variation de . Voici ce que j'ai fait :






Donc est décroissante. Mais je pense qu'il y a une incohérence au niveau de ma dernière ligne. Pour la suite , j'ai fait de la même manière, mais là ça marche. Donc si vous avez quelques propositions, n'hésitez pas. Merci!!!!
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[invite2f4d9e53]

tu as juste à utiliser l'inégalité x>ln(1+x) avec x=-1/(n+1). Tu en déduis que Un est décroissante

[nissart7831]

Voici ce que j'ai fait :

Bonjour,

Tu as fait une erreur.
A l'avant dernière ligne, tu as établi :


et à la 2ème ligne :


Mais ta somme est fausse, car tu as sommé les membres de 2 inégalités inverses.

La somme donne plutôt :


Et tu ne peux pas conclure sur le signe !!

En fait, tu t'es compliqué et tu n'as pas utilisé une donnée de l'énoncé.
On te dit d'admettre que :
pour tout réel x > -1, alors

Si tu prends , est bien négatif donc la suite est bien décroissante.

[EDIT] croisement avec brixx, le temps que je rédige tout ce bazar

[invite9611804b]

Ah oui, ok, vu comme ça c'est beaucoup plus simple! Merci beaucoup à tous les deux!! Bonne soirée!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited4b84355]

Bonjour.

Moi aussi je viens d'avoir le même DM, et je suis bloqué à la question 5.

Comment puis-je trouver la limite de (un) ou (vn) ?
Je ne vois pas du tout quel théorème appliquer car ici un+1 n'est pas définit en fonction de un (ni vn+1 avec vn).

[nissart7831]

Bonjour.

Moi aussi je viens d'avoir le même DM, et je suis bloqué à la question 5.

Comment puis-je trouver la limite de (un) ou (vn) ?
Je ne vois pas du tout quel théorème appliquer car ici un+1 n'est pas définit en fonction de un (ni vn+1 avec vn).

Tu n'as pas à trouver directement la limite de (u_n) et (v_n).
Tu as montré que l'une des suites était croissante, l'autre décroissante.
Il faut que tu montres que les suites sont adjacentes (http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...tes_adjacentes) ainsi tu peux en déduire que les deux suites ont une limite commune. C'est cette limite qu'on appelle la constante d'Euler.
Tu as directement les expressions de (u_n) et (v_n) dans l'énoncé.
Pour la question 5, je t'ai déjà répondu dans ton autre fil (maths collège/lycée).

[invite2e5fadca]

Bonjour, moi aussi j'ai un petit exercice sur cette constante

Alors je résume mon problème :



1. On montre

2. On montre (U_n) décroissante et Positive

3. On en deduit que (U_n) converge

4. Soit . Montrer que est strictement positive.

Et c'est pour la 4 que je bloque, j'essaie de montrer que n'est pas nulle mais je n'y arrive pas en utilisant des inégalité, ou avec un raisonnement par l'absurde...