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[TS] Suites adjacentes



  1. #1
    Anelor4488

    Question [TS] Suites adjacentes


    ------

    Bonjour à tous! J'ai eu un petit DM sur les maths, j'ai fait toutes les questions, mais il y en a une à laquelle j'ai répondu "au hasard", ma méthode n'est pas bonne, donc je vais vous montrer ce que j'ai fait. S'il y a une autre méthode pourrez vous m'aider s'il vous plaît??

    Soit définie, pour tout entier , par n'est pas minorée et tend vers
    On considère la suite définie, pour tout entier , par
    1 . Calculer ,,, et
    2. On admet dans cette question que, pour tout réel , on a . Démontrer que, pour tout entier , on a En déduire le sens de variation de la suite
    3. On pose, à présent, pour tout : Démontrer que pour tout entier : Quel est le sens de variation de ?
    4. Démonter que les suites et sont adjacentes.
    La limite commune de ces deux suites est appelée la constante d'Euler.
    5. Déterminer à l'aide des suites et un encadrement de la constante d'Euler d'amplitude

    La question à laquelle je bute est la 2, lorsqu'il faut déduire le sens de variation de . Voici ce que j'ai fait :






    Donc est décroissante. Mais je pense qu'il y a une incohérence au niveau de ma dernière ligne. Pour la suite , j'ai fait de la même manière, mais là ça marche. Donc si vous avez quelques propositions, n'hésitez pas. Merci!!!!

    -----

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  4. #2
    brixx

    Re : [TS] Suites adjacentes

    tu as juste à utiliser l'inégalité x>ln(1+x) avec x=-1/(n+1). Tu en déduis que Un est décroissante

  5. #3
    nissart7831

    Re : [TS] Suites adjacentes

    Citation Envoyé par Anelor4488
    Voici ce que j'ai fait :





    Bonjour,

    Tu as fait une erreur.
    A l'avant dernière ligne, tu as établi :


    et à la 2ème ligne :


    Mais ta somme est fausse, car tu as sommé les membres de 2 inégalités inverses.

    La somme donne plutôt :


    Et tu ne peux pas conclure sur le signe !!

    En fait, tu t'es compliqué et tu n'as pas utilisé une donnée de l'énoncé.
    On te dit d'admettre que :
    pour tout réel x > -1, alors

    Si tu prends , est bien négatif donc la suite est bien décroissante.

    [EDIT] croisement avec brixx, le temps que je rédige tout ce bazar

  6. #4
    Anelor4488

    Re : [TS] Suites adjacentes

    Ah oui, ok, vu comme ça c'est beaucoup plus simple! Merci beaucoup à tous les deux!! Bonne soirée!

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    Bash

    Re : [TS] Suites adjacentes

    Bonjour.

    Moi aussi je viens d'avoir le même DM, et je suis bloqué à la question 5.

    Comment puis-je trouver la limite de (un) ou (vn) ?
    Je ne vois pas du tout quel théorème appliquer car ici un+1 n'est pas définit en fonction de un (ni vn+1 avec vn).

  9. #6
    nissart7831

    Re : [TS] Suites adjacentes

    Citation Envoyé par Bash
    Bonjour.

    Moi aussi je viens d'avoir le même DM, et je suis bloqué à la question 5.

    Comment puis-je trouver la limite de (un) ou (vn) ?
    Je ne vois pas du tout quel théorème appliquer car ici un+1 n'est pas définit en fonction de un (ni vn+1 avec vn).
    Tu n'as pas à trouver directement la limite de (un) et (vn).
    Tu as montré que l'une des suites était croissante, l'autre décroissante.
    Il faut que tu montres que les suites sont adjacentes (http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...tes_adjacentes) ainsi tu peux en déduire que les deux suites ont une limite commune. C'est cette limite qu'on appelle la constante d'Euler.
    Tu as directement les expressions de (un) et (vn) dans l'énoncé.
    Pour la question 5, je t'ai déjà répondu dans ton autre fil (maths collège/lycée).

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  11. #7
    GogetaSS5

    Re : [TS] Suites adjacentes

    Bonjour, moi aussi j'ai un petit exercice sur cette constante

    Alors je résume mon problème :



    1. On montre

    2. On montre (Un) décroissante et Positive

    3. On en deduit que (Un) converge

    4. Soit . Montrer que est strictement positive.

    Et c'est pour la 4 que je bloque, j'essaie de montrer que n'est pas nulle mais je n'y arrive pas en utilisant des inégalité, ou avec un raisonnement par l'absurde...

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