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Equation dans Q



  1. #1
    sami.dh

    Equation dans Q


    ------

    Salut
    Bon c'est la 1ere fois que je rencontre ce genre d'éuqations,alors un coup de main svp
    "etant donnés a et b rationnels tels que (a,b) differents de (0,0),trouver deux rationnels x et y tels que
    (a+b√2)(x+y√2) =1 "

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    kNz

    Re : Equation dans Q

    Tu peux développer et dire que le facteur de sqr(2) doit être nul et que le reste doit valoir 1 ça te donne un système de 2 équations à 2 inconnues.

  4. #3
    Ledescat

    Re : Equation dans Q

    Citation Envoyé par kNz Voir le message
    Tu peux développer et dire que le facteur de sqr(2) doit être nul
    Avec une petite justification si possible .
    Cogito ergo sum.

  5. #4
    sami.dh

    Re : Equation dans Q

    Salut
    Bon aprés developpement je trouve:
    ax+ay√2+bx√2+2by=1
    donc les facteurs de √2 doivent être nuls:
    ay=0 et bx=0
    mais on sait que a et b sont differents de 0.
    donc x=y=0
    mais si c'est le cas
    on aura: (a+b√2)(x+y√2) =1<--->(a+b√2)(0+0√2) =1<---->0=1
    absurde
    je sais que j'ai fais une faute
    merci

  6. #5
    kNz

    Re : Equation dans Q

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    Avec une petite justification si possible .
    Oui évidemment

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Ksilver

    Re : Equation dans Q

    Ledescate : c'est pas neccesaire de justifier quoi que ce soit : le sujet demande "un couple x,y" pas l'unique couple.




    sami.dh, tu fais erreur, tu obtiens :

    ax+2by+sqrt(2)*(ay+bx)=1

    les equation sont donc
    ay+bx=0
    ax+2by=0

    tu n'as aucune raison d'anuler séparement ay et bx...

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  10. #7
    Ksilver

    Re : Equation dans Q

    Ceci dit, on peut utiliser une technique un peu plus courte et remarquer que :


    (a+b*sqrt(2))*(a-b*sqrt(2)) = a²-2b² est rationelle ! (identité remarquable...)

    or a²-2b² es toujour non nul, car si a²-2b²=0, on aurait a²/b²=2 (b est non nul, car b=0 => a=0 ce qui est impossible car (a,b) est différent de (0,0), ie a/b = + ou - sqrt(2), or sqrt(2) est irationelle donc c'est impossible

    donc si on prend x=a/(a²-2b²) et y=-b/(a²-2b²) on a finit :

    (a+b*sqrt(2))*(x+y*sqrt(2)) = (a+b*sqrt(2))*(a-b*sqrt(2)) /(a²-2b²) =(a²-2b²)/(a²-2b²) = 1

  11. #8
    invité576543
    Invité

    Re : Equation dans Q

    Citation Envoyé par Ksilver Voir le message
    ax+2by+sqrt(2)*(ay+bx)=1

    les equation sont donc
    ay+bx=0
    ax+2by=1

    Le déterminant est 2b²-a², on trouve la solution très vite aussi de cette manière...

    Cordialement,

  12. #9
    Jeanpaul

    Re : Equation dans Q

    Si tu multipliais des 2 côtés par la quantité conjuguée a - b racine(2), tu aurais vite fini.

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