Equation dans Q

[invite4473d388]

Salut
Bon c'est la 1ere fois que je rencontre ce genre d'éuqations,alors un coup de main svp
"etant donnés a et b rationnels tels que (a,b) differents de (0,0),trouver deux rationnels x et y tels que
(a+b√2)(x+y√2) =1 "
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[invitea7fcfc37]

Tu peux développer et dire que le facteur de sqr(2) doit être nul et que le reste doit valoir 1 ça te donne un système de 2 équations à 2 inconnues.

[invitec053041c]

Tu peux développer et dire que le facteur de sqr(2) doit être nul

Avec une petite justification si possible .

[invite4473d388]

Salut
Bon aprés developpement je trouve:
ax+ay√2+bx√2+2by=1
donc les facteurs de √2 doivent être nuls:
ay=0 et bx=0
mais on sait que a et b sont differents de 0.
donc x=y=0
mais si c'est le cas
on aura: (a+b√2)(x+y√2) =1<--->(a+b√2)(0+0√2) =1<---->0=1
absurde
je sais que j'ai fais une faute
merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea7fcfc37]

Avec une petite justification si possible .

Oui évidemment

[invite4ef352d8]

Ledescate : c'est pas neccesaire de justifier quoi que ce soit : le sujet demande "un couple x,y" pas l'unique couple.




sami.dh, tu fais erreur, tu obtiens :

ax+2by+sqrt(2)*(ay+bx)=1

les equation sont donc
ay+bx=0
ax+2by=0

tu n'as aucune raison d'anuler séparement ay et bx...

[invite4ef352d8]

Ceci dit, on peut utiliser une technique un peu plus courte et remarquer que :


(a+b*sqrt(2))*(a-b*sqrt(2)) = a²-2b² est rationelle ! (identité remarquable...)

or a²-2b² es toujour non nul, car si a²-2b²=0, on aurait a²/b²=2 (b est non nul, car b=0 => a=0 ce qui est impossible car (a,b) est différent de (0,0), ie a/b = + ou - sqrt(2), or sqrt(2) est irationelle donc c'est impossible

donc si on prend x=a/(a²-2b²) et y=-b/(a²-2b²) on a finit :

(a+b*sqrt(2))*(x+y*sqrt(2)) = (a+b*sqrt(2))*(a-b*sqrt(2)) /(a²-2b²) =(a²-2b²)/(a²-2b²) = 1

[invité576543]

ax+2by+sqrt(2)*(ay+bx)=1

les equation sont donc

ay+bx=0
ax+2by=1

Le déterminant est 2b²-a², on trouve la solution très vite aussi de cette manière...

Cordialement,

[invitea3eb043e]

Si tu multipliais des 2 côtés par la quantité conjuguée a - b racine(2), tu aurais vite fini.