Equation dans C avec un paramètre variable dans R

[invite3a0844ce]

Bonjour,

J'ai une petite question à propos d'un exo : on me demande comment se déplacent dans C les racines de l'équation z^2-2Tz+1=0 quand T décrit R.

J'ai commencé par calculer le discriminant delta = 4(T^2 -1)

Donc si T=1 ou T=-1, delta=0 donc z=1.

Si T appartient à ]-inf;-1[U]1;+inf[ delta est positif et :
z1=T-racine(T^2-1)
z2=T+racine(T^2-1)

Si T appartient à ]-1;1[ delta est négatif et :
z1=(2T-i*racine(-4(T^2-1)))/2
z2=(2T+i*racine(-4(T^2-1)))/2

Et maintenant quoi qu'on fait ??? En fait je ne vois pas ce que ça veut dire "comment se déplacent dans C les racines" ?

Si vous avez une petite idée...

Merci.
-----

[Bruno]

Peut-être qu'on te demande de les représenter dans le plan de Gauss ?

[invitea3eb043e]

Si T est compris entre -1 et +1, ça peut valoir le coup de poser t = cos(phi).
Ensuite, il faut placer l'image de z sur le plan complexe dans les 2 cas bien distincts où t est entre -1 et +1 ou dedans.
Remarque : tu conclus un peu vite que z=1 dans le cas-limite.

[invite3a0844ce]

Bon en gros : Si T appartient à ]-inf;-1[u]1;+inf[, les racines se déplacent selon les courbes représentatives des fonctions définies sur ]-inf;-1[u]1;+inf[ par x->x-racine(x^2-1) et x->x+racine(x^2-1)

C'est valable ça comme réponse ? J'en doute fort...

Pour T=1 ou T=-1 notre racine vaut 1.

Reste donc à étudier sa position sur ]-1;1[ où selon vous il faudrait se ramener dans le plan complexe. D'accord mais est-ce-qu'on a le droit de donner la position de z dans 2 plans différents selon le domaine de définition ?

Puis je ne vois pas vraiment en quoi l'introduction d'un cosinus pourrait nous aider...

Je vais continuer à y réfléchir.

Merci quand même.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Bon en gros : Si T appartient à ]-inf;-1[u]1;+inf[, les racines se déplacent selon les courbes représentatives des fonctions définies sur ]-inf;-1[u]1;+inf[ par x->x-racine(x^2-1) et x->x+racine(x^2-1)

C'est valable ça comme réponse ? J'en doute fort...

Tu as raison d'en douter car tu ne décris pas leur déplacement dans C.
Pour ]-inf;-1[, les racines sont réelles donc sur l'axe des réels (c'est déjà une indication de lieu). Mais décrivent-elles un segment ? Font-elles des allers retours ou vont-elles d'un point limite A (l'étude des deux fonctions quand t tend vers -infini peut être utile) vers un point B sans "retour en arrière" ?
L'étude des fonctions réelles que tu viens de rappeler peut être utile par contre pour répondre à ce genre de question.
Pour ]1;+inf[ même type de question.[/QUOTE]

Pour T=1 ou T=-1 notre racine vaut 1.

Je ne pense pas que jean-paul t'ai fait cette remarque à la légère.

Reste donc à étudier sa position sur ]-1;1[ où selon vous il faudrait se ramener dans le plan complexe. D'accord mais est-ce-qu'on a le droit de donner la position de z dans 2 plans différents selon le domaine de définition ?

Puis je ne vois pas vraiment en quoi l'introduction d'un cosinus pourrait nous aider...

Je vais continuer à y réfléchir.

Merci quand même.

Les deux solutions sont complexes conjuguées, il suffit d'en décrire une pour avoir l'autre.
Quelle courbe dans C vont-elles décrire ? Et bien oui poser t=cos(u) va aider à répondre à cette question. Donner quelques poisitions particulières peut être intéressant.

Regrouper tout ceci sur un même plan avec des positions particulières, les cas limites, des petites flèches pour donner les variations en fonction de t croissant.

Voilà en gros ce qui t'est demandé.

[invite3a0844ce]

Tout d'abord merci pour votre aide.

Tu as raison d'en douter car tu ne décris pas leur déplacement dans C.
Pour ]-inf;-1[, les racines sont réelles donc sur l'axe des réels (c'est déjà une indication de lieu). Mais décrivent-elles un segment ? Font-elles des allers retours ou vont-elles d'un point limite A (l'étude des deux fonctions quand t tend vers -infini peut être utile) vers un point B sans "retour en arrière" ?
L'étude des fonctions réelles que tu viens de rappeler peut être utile par contre pour répondre à ce genre de question.
Pour ]1;+inf[ même type de question.

Alors sur en -inf on trouve :

lim x+racine(x^2-1) = 0
lim x-racine(x^2-1) = -inf

D'autre part en +inf on a :

lim x+racine(x^2-1) = +inf
lim x-racine(x^2-1) = 0

Je pense que ça suffit pour dire que si T appartient à ]-inf;-1[u]1;+inf[ les racines décrivent la totalité de l'axe des réels. Non ?

Le problème c'est que les limites en 1 et -1 de ces deux fonction sont 1 ou -1. Qu'est-ce qu'on doit en déduire ? Que les racines décrivent l'axe des réels seulement sur ]-inf;-1[u]1;+inf[ ?

Je ne pense pas que jean-paul t'ai fait cette remarque à la légère.

Désolé mais je ne vois absoluement pas pourquoi. Le résultat me paraît tout évident...

Les deux solutions sont complexes conjuguées, il suffit d'en décrire une pour avoir l'autre.
Quelle courbe dans C vont-elles décrire ? Et bien oui poser t=cos(u) va aider à répondre à cette question. Donner quelques poisitions particulières peut être intéressant.

Ok alors posons T=cos (u), on a :

z1=(2cos(u)-i(racine(-4(cos^2(u)-1)))/2
z2=(2cos(u)+i(racine(-4(cos^2(u)-1)))/2

Pour u=pi/2 par exemple, on a cos(u)=0 d'où z1=-i et z2=i

Ok on peut faire ça avec d'autres valeurs remarquables, mais je ne vois pas en quoi l'introduction du cosinus peut aider (dans notre exemple on pose T=0 ça revient au même)... A moins que vous voulez dire qu'il faut étudier les variations de z1 et z2 exprimées avec les cos ? Dans ce cas je ne sais pas faire... On peut ignorer le "i" dans l'expression ou pas ?

[invite35452583]

Tout d'abord merci pour votre aide.
Alors sur en -inf on trouve :

lim x+racine(x^2-1) = 0
lim x-racine(x^2-1) = -inf

une petite erreur de recopie je pense

D'autre part en +inf on a :

lim x+racine(x^2-1) = +inf
lim x-racine(x^2-1) = 0

Je pense que ça suffit pour dire que si T appartient à ]-inf;-1[u]1;+inf[ les racines décrivent la totalité de l'axe des réels. Non ?

Oui (sauf 0 quand même) mais ce n'est pas suffisant.
De -inf à -1
une racine "commence en -inf de l'axe des réels"
puis se situe où ? (ça tu n'y as pas répondu)
et arrive où quand t tend vers -1 ? (tu y as répondu après mais sans lier ces résultats)
De 1 à +inf, les mêmes remarques s'appliquent.

Le problème c'est que les limites en 1 et -1 de ces deux fonction sont 1 ou -1. Qu'est-ce qu'on doit en déduire ? Que les racines décrivent l'axe des réels seulement sur ]-inf;-1[u]1;+inf[ ?

Fais attention tu as à chaque fois deux racines qui ne décrivent pas nécessairement le même lieu.

Désolé mais je ne vois absoluement pas pourquoi. Le résultat me paraît tout évident...

Là tu es en train de te bloquer (ça arrive à tiout le monde, il y a un truc évident que tout le monde voit mais soi même on ne voit que ce que l'on croît avoir vu).
Reprends tranquillement et pose t=-1 dans ton équation, tu es sûr que la solution double est +1? (Pour les t négatifs<-1, tu as fait apparâitre une valeur autre que 1 pour les racines).

Ok alors posons T=cos (u), on a :

z1=(2cos(u)-i(racine(-4(cos^2(u)-1)))/2
z2=(2cos(u)+i(racine(-4(cos^2(u)-1)))/2

Pour u=pi/2 par exemple, on a cos(u)=0 d'où z1=-i et z2=i

Ok on peut faire ça avec d'autres valeurs remarquables, mais je ne vois pas en quoi l'introduction du cosinus peut aider (dans notre exemple on pose T=0 ça revient au même)... A moins que vous voulez dire qu'il faut étudier les variations de z1 et z2 exprimées avec les cos ? Dans ce cas je ne sais pas faire... On peut ignorer le "i" dans l'expression ou pas ?

Déjà soigne l'écriture de tes racines : sors le "4" de la racine carrée, puis simplifie les "2".
Maintenant tu as , il y a de quoi simplifier l'écriture avec un peu de trigonométrie.
Une fois fait tu verras facilement où se situent les racines (c'est un lieu géométrique simple).
restent à décrire en t=-1, les racines sont en ? puis décrivent ? en par ticulier sont en pour t=0 ? et finissent en pour t=+1 ?

[invite3a0844ce]

Ok de toutes façons j'ai plus le temps de me pencher sur l'exo donc je vais rédiger ce que je peux avec tout ça, même s'il manquera les 3/4

Merci quand même pour tout.