Changement de variable dans une équation différentielle

[le fouineur]

Bonjour à tous,

Je suis bloqué par le problème suivant:

Soit l'équation différentielle:

y''+6*y'+13*y=Exp(-3*x)*[Cos(2*x)-3*Sin(2*x)]

"On effectue le changement de fonction inconnue:

y=Exp(-3*x)*Z ce qui donne successivement":

13|y=Exp(-3*x)*Z
6|y=Exp(3*x)*(-3*Z+Z')
1|y=Exp(-3*x)*(9*Z-6*Z'+Z'')

Je ne comprends pas le changement de variable qui transforme la fonction inconnue en Z.Je n'ai non plus aucune iddée de la manière d'oû apparaissent tous les coefficients de Z,Z' et Z''

Quelqu'un pourrait t'il m'aider à y voir clair dans cette correction.Merci d'avance pour vos réponses.....

Cordialement le fouineur
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[invitea3eb043e]

Tout ça vient d'une constatation qui est que quand on dérive une fonction comme exp(x).F, la dérivée est
exp(x).(F + F') (c'est la dérivée d'un produit).
Si on dérive encore un coup, ça donnera
exp(x).(F"+2F'+F)
Dans ce cas, c'est à peine plus compliqué à cause du exp(-3x) mais on voit bien que le exp(-3x) sera en facteur.
D'où l'idée de poser y = exp(-3x).Z : on voit que le
exp(-3x) va se simplifier.
Les coefficients -3 et 9 viennent de la dérivée du produit, en recombinant.

[le fouineur]

Bonsoir Jeanpaul et merci pour ta réponse rapide,

Je vais revoir tout ça à la lumière de tes explications et j'espère cette fois réussir à résoudre cette équation différentielle....

Cordialement le fouineur

[invite298957c6]

merci jeanpaul
j'ai la meme promlem ke lui , et voila mnt nous somme en 03 mai 2008 et l'aticle a ete ecrit le 11/ /2006

[A voir en vidéo sur Futura]