Dm fonctions TS

[invite5ea7aaa4]

Bonjour à tous!

J'ai des petitis problèmes pour finir mon DM de maths, j'espère que vous pourrez m'aider

Voici l'énoncé :
On considère la fonction fn définie sur R par :
fn (x) = x^n * (1-x) où n est un entier naturel non nul

Etudier suivant la parité de n :
a) la limite de la fonction fn en -infini
b) la limite de la fonction fn en +infini
c) les variations de fn, on en dressera le tableau de variation en précisant les éventuels extrêma locaux
d) le nombre de solutions à l'équation fn (x) = 1 sur R

Voilà ce que j'ai fait :
a) lim fn(x) = +infini pout tout n € Nétoile pair
lim fn(x) = -infini pout tout n € Nétoile impair

b) lim fn(x) = -infini pour tout n € Nétoile

c) J'ai calculé la dérivée :
fn'(x) = x^n * (n/x + n - 1)
On a x^n > 0 pour tout x € Rétoile+
x^n < 0 pour n impair et x<0
x^n > 0 pour n pair et x<0

Et après je suis bloqué pour le signe de (n/x + n -1).

Merci d'avance!
-----

[Forhaia]

J'ai trouvé

Après pour étudier le signe de, c'est une fonction affine normale, sauf que tu ne connait pas n, ta racine sera donc en fonction de n...

N'oublie pas non plus que n est strictement positif.

[invite5ea7aaa4]

Oui en effet je me suis trompé en écrivant la dérivée.
Il s'agit bien de x^n * ( n/x - n -1)

Ensuite ce que tu viens de me dire :
n/x - n - 1 < 0
(n - nx - x)/x < 0
n - nx - x < 0
x> n - nx
Voilà jusque là je l'avais déjà fait, mais pour après je sais pas...

[Forhaia]

C'est pas faux, mais ça te fait pas beaucoup avancer.

Tu résous ça en mettant les termes (ici le terme) en x d'un côté, les autres de l'autre...

Mais je me rend compte à l'instant que ta simplification de la dérivée est fausse.

en effet:
là tu as divisé et multiplié par x, ce qui suppose qu'il est non nul, ce qui n'est pas le cas.

IL faut plutôt factoriser par
cela donne finalement


Tu étudies donc le signe de et de

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5ea7aaa4]

Ok alors faisons comme ça

x^(n-1) > 0 pour tout x > 0
x^(n-1) > 0 pour x < 0 quand n impair
x^(n-1) < 0 pour x < 0 quand n pair

Ensuite pour (n- nx - x) :
pour x < 0, (n - nx - x) < 0 car n>0
Après pour x > 0
n - nx - x > 0
x + nx > n
x ( 1 + n ) > n
Enfin je sais pas trop

[Forhaia]

Tu pars dans le mauvais sens.

Il faut écrire: n - nx - x < 0 et chercher les valeurs de x pour lesquelles c'est vrai

et n - nx - x > 0 et chercher les valeurs de x pour lesquelles c'est vrai


Si tu devais chercher le signe de 2-2x-x, comment procèderais tu?
tu fais pareil sauf qu'au lieu de 2 tu as n...

[invite5ea7aaa4]

n - nx - x < 0
x + nx > n
(n+1)x > n
x > n / (n+1)

Voilà j'arrive à ça

[invite5ea7aaa4]

De plus, n / (n+1) > 0

[Forhaia]

Oui c'est ça, maintenant tu peut faire ton tableau de signe...

[invite5ea7aaa4]

Je viens de vérifier à la calculatrice et je pense que c'est bon.
On a donc pour les signe de f' :
si n impair, alors f' > 0 sur -infini 0
f' < 0 pour le reste avec un passage à 0 en n/(n+1)

si n pair, f' toujours n'gatif avec passage à 0 en n/(n+1)

Est-ce correct?

[invite5ea7aaa4]

Dans cette visée, je verrai un extrema local pour n impair en x=0

Pour fn(x) = 1, avec le théorème des valeurs intermédiaires, on va trouver une solution pou -infini<x<0
Mais pour résoudre l'équation....

[Forhaia]

Non, pas vraiment,

Fait deux tableaux de signe (l'un avec n pair, l'autre n impair) avec
signe de , signe de n-xn-x et signe de et enfin seulement variations de f.

[invite5ea7aaa4]

Oui oui c'est ce que j'ai fait
Sauf que pour le tableau de signe, il faut mettre x= 0 et x= n(n+1)
Comme n/(n+1) > 0, on le met après 0

Je te dis les nouvelles variations que je trouve :
n impair : f croissant sur -infini ; n/(n+1) et décroissant sur le reste
n pair : f décroissant sur R

On a donc comme extrema local : n/(n+1)

Voilà, j'espère que c'est bon

[invite5ea7aaa4]

Oup je me suis trompé pour n pair :
f décroissant sur -infini;0 , croissant sur 0;n/(n+1) et décroissant sur le reste

[invite5ea7aaa4]

Et pour les extrema locaux on a :
pour n impair : n/(n+1) (maximum)
pour n pair : 0 minimum et n/(n+1) maximum

[Forhaia]

C'est tout bon!

Tu peux maintenant déduire le nombre de solution de fn (x) = 1 sur R
avec le TVI...

[invite5ea7aaa4]

Eh bien comme n/(n+1) différent de 1, donc il n'y a pas de solution pour n impair.
En revanche, pour n pair, il existe une solution sur -infini;0.
Voilà je crois que c'est bon.
Juste une dernière question : l'image d'un cercle par une rotation est un cercle de même rayon, le centre est juste décalé de l'angle de la rotation?
Merci pour tous en tout cas

[invite1237a629]

Salut,

Tu peux regarder ici : http://www.crdp.ac-grenoble.fr/imel/...e/50/fiche.htm

La rotation se fait sur tous les points du cercle. Cela signifie donc que leur position "relative" (position des uns par rapport aux autres) reste inchangée.

Donc voui, le centre fait sa rotation et le rayon ne bouge pas
Enfin je crois... j'pense qu'il faut différencier le cas où le centre de la rotation est le centre du cercle (le lien est plus fiable )

[Forhaia]

C'est bien ça pour les solutions!

Pour un cercle de centre O et de rayon r, son image par une rotation sera le cercle de O' et de rayon r, avec O' image de O par la rotation.

Si le centre de rotation et le cercle sont confondu, le centre et son image sont confondu, donc l'image du cercle et le cercle sont confondus.

[invite5ea7aaa4]

Ok merci pour le site, j'vais y jeter un coup d'oeil

[invite5ea7aaa4]

Ok merci beaucoup pour tout

[Forhaia]

De rien!