Argument d'un nombre complexe

[invite924e7419]

Bonjour à tous!
Pouvez-vous me dire si je suis bien partie pour trouver le module de ce nombre complexe, et m'aider pour trouver son argument s'il-vous-plait?

j est le nombre complexe de module 1 et d'argument .

1) Ecrire sous forme trigonométrique les nombres complexes (1+j)² et (1+j)³.

--> Posons j₁=(1+j)²
j₁=(1+2j+j²)

|j₁|=|1+2j+j²|
=|1|+2|j|+|j²|
=1+2+1
=4

c'est là que je bloque:

arg(j₁)=arg (1+2j+j²)
=arg ((1+j)(1+j))=arg(1+j)+arg(1+j)

je ne sais pas comment continuer ce calcul
pouvez vous me donner une piste?

Merci d'avance!
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[invite3df1c846]

Bonjour!!

Je ne sais pas trop ce que vous avez vu dans les complexes mais si vous avez vu les formes trigos, tu connais sûrement aussi les formes exponentielles!!

Le plus simple ici (même pour ce qui est de calculer le module ce que tu as finalement bien fait), est de trouver le complexe (appelons le g) correspondant à la somme des complexes 1+j !! A ce nouveau complexe tu lui trouves facilement un module et un argument.

Ensuite lorsque tu élèves un complexe au carré, tu as dû voir des règles de calculs, qui te permettent d'éviter de développer comme une brute ton complexe (surtout lorsque l'on augmente dans les degrés)!!

Enfin si cela n'est pas le cas, tu peux toujours développer et te rapporter aux formules qui te permettent de déduire le cosinus et le sinus de ton nouveau complexe élevé au carré!!

Dans tous les cas, je pense qu'il te faudra d'abord calculer le nouveau complexe g=1+j (ça devrait pas te prendre trop de temps)!!

[invite924e7419]

Merci beaucoup pour ta réponse!

Alors, si je pose g=1+j, on a:


Mais j'ai toujours ce probleme pour calculer l'argument:


Mais je n'ai pas de formule qui me permet de calculer arg (x+y) dans mon cours
Cela doit être simple mais je ne vois pas du tout!

En ce qui concerne le cours sur les nombres complexes, j'ai tout vu, y compris l'écriture exponentielle.

En tout cas, merci pour l'idée de faire apparaître le complexe g, c'est beaucoup plus simple pour les calculs, c'est clair!

Bonne journée

[invite924e7419]

Horreur!
je suis allée trop vite dans mon calcul! J'ai fait n'importe quoi, je le recommence.
J'ai oublié que c'était la somme de deux nombres complexes

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite924e7419]

Ca fait donc:

Posons g=z₁+z₂
avec:
z₁=1
z₂=j

|z₁|=|1|=1
|z₂|=|j|=1

Pour l'argument, cela donne:

=1

?

[invite3df1c846]

nan pour la somme de deux complexes on additionne pas les arguments comme tu l'as mit à la fin c'est le début qui était juste!!

Mais en fait l'idée que je te propose est de trouver la forme exponentielle de j, à partir de cette forme expo tu trouves facilement la forme trigo et donc enfin la forme algèbrique, à laquelle tu pourras additionner 1 et donc trouver g=1+j

Tu trouves ensuites facilement par le chemin inverse la forme trigo de g puis sa forme exponentiel!!!
Tu en déduis le rayon (module) et l'angle (argument) de g !!

Ensuite tu dois savoir que le carré d'un complexe implique que le nouveau module est le carré du module de ton complexe (sans le carré) Oula compliqué comme explication ^^

Sinon pour l'argument, tu as l'égalité arg = n arg z

La seule difficulté ici est de bien manipuler le cercle trigo, rien de plus!!

Hésite pas si j'ai pas été bien clair car j'ai l'impression que c'est le cas ^^

[invite924e7419]

Ca fait donc:

Posons g=z₁+z₂
avec:
z₁=1
z₂=j

|z₁|=|1|=1
|z₂|=|j|=1

Pour l'argument, cela donne:



?

[invite3df1c846]

^^ non Toujours pas!!

En fait pour


on peut le mettre sous la forme trigo puis sous la forme algébrique :





De plus :



Donc

Tu trouves g puis à l'aide du cercle trigo tu peux trouver l'angle teta du complexe g (je t'aide le module n'est pas compliqué il est de 1).

Ensuite le module d'un complexe au carré est égal au module au carré de ce complexe et l'argument respecte la règle que je t'ai mise au message précédent, à savoir :

[invite924e7419]

Alors:





Tiens, c'est bizarre je n'ai jamais mis un nombre complexe sous forme algébrique à partir de sa forme trigonométrique... Un bon entrainement!

ca donne:



donc

d'où:





je ne sais pas s'il y a des fautes

donc
|g|=1

"Ensuite tu dois savoir que le carré d'un complexe implique que le nouveau module est le carré du module de ton complexe (sans le carré)"

Après avoir relu plusieurs fois ta phrase, je pense que je me souviens de mon cours, donc ça fait:

comme |g|=1 d'après mes calculs (aie aie aie)
|g²|=1

et comme tu le rappelles si bien (et heuresement), on a zⁿ=n arg (z) donc g²=2arg(g) donc
arg(g²)=

g²=g ?
C'est bizarre non?

Merci pour ton aide! Je pense qu'il y a des fautes

[invite924e7419]

oh! j'ai trouvé la même chose que toi au début! cool!

[invite3df1c846]

Non à part que tu dis à la fin que g²=g alors que c'est g²=j, je ne décèle pas d'erreurs majeures ^^ !!

Tu devrais normalement pas avoir trop de mal à faire la même chose pour !!!!

[invite924e7419]

Merci beaucoup pour ton aide précieuse!

[invite924e7419]

pour (j+1)³,je trouve |g³|=1 et arg (g³)=

[invite3df1c846]

Voilà le principe a l'air compris!!

En espérant que ça soit retenu ^^

Bonne année à toi !!

[invite924e7419]

La dernière question de l'exercice est "Déterminer les valeurs prises par

J'ai juste un problème de compréhension de l'énoncé, il faut que je trouve ce que vaut la somme des (1+j)^k et que je le démontre par récurrence ou il faut que je dise que (1+j)^k=e^{n pi/3} (et le démontrer par récurrence) ?
merci!